2018届中考数学复习专题25等腰三角形、等边三角形试题(A卷,含解析)

1、等腰三角形、等边三角形 一、选择题 1. （山东临沂，12, 3 分）如图，将等边厶 ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到 EDC 连接 AD BD.则下列结论： AC=ADBDL AC;四边形 ACED 是菱形其中正确的个数是（ ） 【答案】D 【逐步提示】 本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判 定与性质，先由等边三角形的性质得出 / ACBM DCE=60 , AC=CD 从而得出厶 ACD 是等边三角形，得出正确；再判断四边形 ABCD 是菱形，得出正 确；然后根据结论得出四边形 ACED 是菱形，得出正确. 【详细解答】解：/ ABC EDC 是等边三角形，/ ACBM DCE

2、=60 , AC=CD/ ACD=180 -Z ACB- / DCE=60 ACD 是等边三角形， AD=AC 故正确； 由可得 AD=BC=AB=CD.四边形 ABCD 是菱形， BDLAC 故正确； 由可得 AD=AC=CE=DE 故四边形 ACED 是菱形，即正确. 综上可得正确，共 3 个故选 D. 【解后反思】 解答本题需掌握以下知识：（1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内 角都等于60; （2）等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形； 菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是

3、菱形；四条边都相等的 四边形是菱形； （4）菱形的性质：菱形是四条边都相等；菱形的对角线互相垂直且平分；菱形的每一条对角线平分一组对 角. 【关键词】 等边三角形的判定；等边三角形的性质；菱形的判定；菱形的性质 2.（山东泰安，18, 3 分）如图，在 PAB中, PA= PB M N K分别是边PA PB AB上的点，且 AM= BK, BN =AK若Z MKN= 44,则Z P的度数为（ ） 题目已有条件，选择便捷可行的判定方法. 【关键词】 等腰三角形的性质 ；三角形的外角；三角形全等的判定A . 44 【答案】D 【逐步提示】 等三角形的判定方法. .88 .92 得到对应 出Z P的

4、度数. 要三角形的性通过题中所给的条件 全等三角形的判定与性质， 解题的关键是解题的关键是熟练掌握全 AM= BK BN= AK 以及由 PA= PB 可证Z A=Z B所以 AKIW BNK 邻的Z Z _ B. 又T AM= BK BN= AK AKMA BNK(SAS, AMK=Z BKN A/ MKN-Z BKN=Z A+Z AM, A=ZBMKN Z MK比 44 , AZ A= 44 , / P= 180 - 2Z A= 180 - 2 X 44= 92SSS SAS AAS ASA解题时可根据 C 利用外角 M 本题考查 B P 66 2 3. 4. （四川达州，9, 3 分）如

5、图，在 ABC 中，BF 平分/ ABC AF 丄 BF 于点 F, D 为 AB 的中点，连接 DF 并延长 交 AC于点 E.若 AB=10, BC=16 则线段 EF 的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 第 9 题图 【答案】B 【逐步提示】 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定 解题的 关键是根据边角关系得到 DE/ BC,从而得到厶 AD0A ABC.解题思路是：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半及 D 是 AB 的中点，可得 DF= DB= 5,则/ DBF=Z DFB 又 BF 平分/ ABC 则/ DFB=Z CBF 贝 U

6、DE/ BC,易 得厶 ADEA ABC,根据相似三角形对应边成比例求得 DE 则 EF 可求. 【详细解答】 解：AF 丄 BF, D 是 AB 的中点，/ DF= DB= 5 , /-Z DBF=Z DFB 又T BF 平分/ ABC CBF=Z AD DE 1 DE DBF, /.Z DFB=Z CBF, / DE/ BC, /Z ADE=Z ABC Z AED=Z ACB / ADEA ABC / AB=灵 /-=亦,/ DE= 8. / EF= DE DF= 8-5= 3.故选择 B . 【解后反思】1.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 .2.在等腰三角形中，注意用“等边对等

7、角”完成 边角关系的转化. 【关键词】直角三角形斜边上的中线与斜边的关系；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定 5. （四川省绵阳市，7 , 3 分）如图，平行四边形 ABCD勺周长是 26cm,对角线AC与 BD交于点O, ACL AB E 是BC中点， AOD勺周长比 AOB勺周长多 3cm,则AE的长度为 （ ） + AB= 13;由厶AOD勺周长比 AOB的周长多 3cm,得到口 ABC顷邻边的差，即 AD- AB= 3 .联立方程组解 得BC= &最后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AE长. 【详细解答】 解：因为四边形 ABCD是平行四边形，所以

8、 AD= BC因为口 ABCD勺周长是 26cm ,所以AD= BC 且AB+ BC= 13.因为 AOD勺周长比 AOB勺周长多 3cm,所以AD- AB= 3,即BC AB= 3.+，得 2BC= 16 ,所以BC= &因为ACLAB所以Z BA= 90 ,又因为 E是BC中点，所以 AE= - BC= - X 8 = 4., 2 2 故选择 B. 【解后反思】（1）在直角三角形中出现斜边中点时，一般利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 求斜边上的中线长.（2 ）平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分. 4cm C. 【逐步提示】 本题考查了平

9、行四边形的性质由 5m D. 8cm ABCD勺周长是 26cm,得到口 ABCD两邻边的和，即为 AD B. 3 6.（四川南充，7 , 3 分）如图，在Rt ABC Z A=30 , BC=1，点D, E分别 直角边BC AC的中点，贝 U DE的长为（ ） E A. 1 B. 2 C. . 3 D. 1+ 3 【答案】A 【逐步提示】 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形的性质，解题的关键是能根据 30。所对的直角边等于 斜边的一半推出斜边的长.由“ 30 度角所对的直角边等于斜边的一半”求得 AB=2BC=2 然后根据三角形中位线 1 定理求得 DE= AB. 2 【详细解答】 解：

10、如在 Rt ABC 中，/ C=9C，/ A=30 , AB=2BC=2 又点 D E 分别是 AC BC 的中点， DE ACB 的中位线， 1 DE= AB=1. 2 故选择 A. 【解后反思】 遇到条件是中点计算线段的长，常考虑三角形的中位线定理；遇锐角有 30的直角三角形常考虑 直角三角形的性质：30 度角所对的直角边等于斜边的一半. 【关键词】 三角形中位线定理 7.（四川省宜宾市，5, 3 分）如图，在 ABC 中，/ C=9C,AC=4,BC=3,将厶 ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落 在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，贝 U B D 两点间的距离为

11、（ ） A. 10 B.2 ,2 C.3 D.2 . 5 【答案】A 【逐步提示】要求两点 B、D 的距离，连接 BD,从图上发现 BD 是三角形 BDE 的一边，且三角形 BDE 是直角三角 形，DE=BC=3 如能求出 BE 长，贝 U BD 可用勾股定理求出， BE=AB-AE AB 是直角三角形 ABC 的斜边可求，AE=AC=4, 所以问题可解 【详细解答】 解：连接 BD因为 / C=900,AC=4,BC=3,所以 AB= AC B 4 3 =5 , AE=AC=4 所以 BE=1, 又 DE=3,Z DEAN C=9C,所以 BD= DE2 BE2 二 1 9 = 10,故选

12、A. 【解后反思】解此类题，要紧扣旋转不改变图形的形状和大小，由此可得出一些线段及角的值，象本题中的 4 AE=AC=4 BC=DE=3Z DEAN C=90,都是解题过程中不可缺少的条件 . 【关键词】 旋转；图形旋转的特性；勾股定理； 二、填空题 1.（浙江金华，16, 4 分）由 6 根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 ABCDEF相邻两钢管可以转动.已知各钢管的5 8 3=AE: 4,解得 AE=. 3 作直线 AF, ED, BC,三直线相交于点 H, N, M,因为/ A=Z B=Z C=Z D=120, AB=DE=1 米，BC=CD=EF=FA 米，所以 FEH CDN 均为边长

13、为 2 的等边三角形， ABM 为边长 1 等边三角形，所以 EF/ BC AB/ DE AF/ CD 连接 AE,则厶 AEH 为直角三角形，所以 AE=2 、3 , ADAE=2、3 ;连接 CF,由平行线分线段成比例可得 CF/ DE, 由勾股定理得 AC= 7 ,同理可得 CE=DF= 7 ,现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动 ，则所用三根钢条总长度 的最小值是 AC+CE+DF=3 7 . 【解后反思】固定多边形的形状需要将多边形通过连对角线的方式将多边形转化为多个三角形, 利用相关知识求得相关线段的长度. 【关键词】三角形的稳定性；最小值 3.（四川省绵阳市，14 , 3 分）如

14、图，AC/ BD AB与CD相交于点0,若AO= AC / A= 48, / D=_ . A 【答案】66 . 长度为 AB=DE=1 米，BC=CD=EF=FA米 （铰接点长度忽略不计） A F米 / B=Z C=Z D=120,现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活 E 【答案】 8 _B C D -；（2） （第 16 题图 1） 3 （1）连接 AE,根据线段间的比例关系得到 【逐步提示】 AE 的长.（2） 形对角线的长度根据图形特征构造 线的长度得到三根钢条总长度的最小值. 【解析】（1）连接 AE 因为 AF: AB=FE ED=2: 1,所以 AE/ BD.所以 FAEA FBD,

15、所以 AF: FB=AE BD 即 2: AE/ BD.再由 FAEA FBD,通过相似三角形的性质求得 固定多边形的形状需要通过连接对角线将多边形转化为多个三角形来达到目的，为此需要求得多边 ，出多个等边三角形，根据图形条件求得相关对角线的长度，通过比较对角 所以 MCF 为边长 3 的等边三角形，所以 CF=3;连接 AC 作 AGL MN 于点 G 由已知条件可得 AG= 2 GC=2, 根据图形的特征 C D （第 16题图 2） 6 【逐步提示】 本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质.由 AO= AC / A= 48。得/ C= 66 .由AC/ BD 得Z D=Z 8= 66

16、.7 【详细解答】 解：因为AO= AC所以/ C=Z AOC 18 A = 18 - 48 = 66 .因为 AC/ BD所以/ D 2 2 =Z C= 66。，故答案为 66. 【解后反思】（1 ）在等腰三角形中，顶角与底角中知道任一个的度数，就可求出另一个的度数. （2）平行线 的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 【关键词】 等腰三角形的性质；平行线的性质. 三、解答题 1.（山东荷泽，23, 10 分）如图， ACB和厶DCE匀为等腰三角形，点 A, D, E在同一直线上，连接 BE （1）如图 1,若/ CAB=Z CBA=Z CDE=Z CED= 50 ,

17、求证：AD= BE 求/ AEB的度数. （2）如图 2，若/ ACB=Z DCE= 120, CMI DCE中 DE边上的高，ABE中AE边上的高，试证明： AE =2、3CW BN 3 【逐步提示】（ ACD BCE 贝 的两底角之和，从 在 Rt 【详纟 解：由得 ACDA BCECAD/CBE 在厶 ABE 中，/ AEB=180 / EAB- / ABE=180 / EAB- / ABO / CBE=180 / EAB- / ABO / CAD180/ CAB- / ABC180 50 50 =80. 1 （2）证明：在等腰 DCE中，T CD=CE / DCE120 , CML D

18、E/ DCIM- / DCE60, DMEM 2 在 Rt CDM中, DMCM tan / DCIM CM- tan60 =；3CM 二 DE=2 J3 CM 由（1）中，得/ AEB=180/ CAB- / AB（=180 （180 120 ）=120 ,二/ BEN60 在 Rt BEN中, sin / BEN-B , A BE=BN sin60 BE 2 73 由（1）中知 AD=BE A AD=dBN 3 A AE=DE AD=2 、. 3 CW BN 即 AE=2 . 3 CW BN 3 3 【解后反思】（1）含有特殊角的等腰三角形，往往通过作底边上的高转化为解直角三角形的问题.

19、等腰三角形 ACB和厶DCE的底角相等, 由中厶ACDA BCE AEB的度数；（2）显然 的长，结论即可获证. ACD/ BCE于是易证 EAB与/ ABE之和等于等腰 ACB C冲用高CM表示DE的长， 2.3 3 BN / ACB和DCE均为等腰三角形 C 8 （2）在解决几何综合题中，相等角与线段的等量转换往往是沟通解证思路的“桥梁” ，起着关键作用. 【关键词】 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；解直角三角形；直角三角形的性 质 2. （山东威海，24, 11） （11 分）如图，在 ABC 和 BCD 中,/ BAC=Z BCD=90 , AB=A（ CB

20、=CD 延长 CA 至点 E, 使 AE=A（延长 CB 至点 F,使 BF=BC 连接 AD AF, DF, EF.延长 DB 交 EF 于点 N. (1)求证：AD=AF 求证：BD=EF 试判断四边形 ABNE 勺形状，并说明理由 【逐步提示】 根据条件可得 ABFA ACD 贝 U AD=AF (2)根据条件可得 AEFA ABD 贝卩 BD=EF 根据条件可得四边形 ABNE 的形状为矩形，再由 AE=AB 可得矩形 ABNE 为正方形。 【详细解答】解： AB=AC, / BAC=90 , / ABC2 ACB=45 . / / ABF=135 . / / BCD=90 , / A

21、CD=135 , / ABF=/ ACD. / CB=CD CB=BF - BF=CD. 在厶 ABF 和厶 ACD 中, v AB=AC, / ABF=/ ACD BF=CD ABFA ACD - AD=AF; (2) 由(1)知,AF=AD ABFA ACD / EAB=/ DAC. / / BAC=90 , / EAB 玄 BAC=90 , / EAF=/ BAD. / AB=AC, AC=AE AB=AE. 在厶 AEF 和厶 ABD 中,v AE=AB, / EAF=/ BAD AF=AD AEFA ABD - BD=EF; (3) 四边形 ABNE 是正方形。 v CD=CB /

22、BCD=90 , / CBD=45 . v / ABC=45 , / ABD=90 , / ABN=90 . 由(2)知，/ EAB=90 , AEFA ABD - / AEF=/ ABD=90 . 四边形 ABNE 是矩形 又v AE=AB,.矩形 ABNE 是正方形 【解后反思】(1)要证明两条线段相等的思路有：借助于其所在的两个三角形全等；等角对等边；平行四边形的 b c 性质；若 ，则 b=c； (2)平行四边形、矩形及正方形的判定方法 .两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 a a 形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平 行四边形；对角线互相平分 的

23、四边形是平行四边形； 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的 平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形 【关键词】 等腰直角三角形的性质；全等三角形的条 件和性质；矩形的条件；正方形的条件 3. (山东潍坊，24, 12 分)如图，在菱形 ABC中, AB=2,/ BA!=60,过点 D作DEL AB于点E, DH BC于 点F. (1) 如图 1,连接 AC分别交DE DF于点M N,求证：MN =】AC ； 3 (2) 如图 2,将/ EDF以点D为旋转中心旋转，其两边 DE、DF分别与直线 AB BC相交于点

24、G P,连接GP 当厶DGP勺面9 积等于 3 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向.10 (2)先解Rt DAE和Rt DCF得到DE=DF=T3，然后根据垂直和旋转得到角的关系，利用 ASA证明 DE DFP从而DGDP,而/ GDPZ EDF=60,故可得 DGP为等边三角形； 利用面积等于 3/3求出DG的长度， 再 解Rt DGE出旋转角/ EDG勺大小，同理可得逆时针旋转时结论同样存在. 【详细解答】(1)证明：连接 BD设BD交AC于 0 图1 在菱形 ABC中 , / DAB=60 , AD=AB ABD为等边三角形. DEL AB E为AB中点， / AE/ CD AM AE

25、 1 CM CD 2， 同理：=1 , AN 2 M N是线段AC的三等分点， 1 - MN AC . 3 (2)解： AB/ CD / BAD60 , 【逐步提示】 本题考查了菱形的性质、 平行线分线段成比例、 全等、旋转等方法来证明题目中的线段和角的关系. 全等三角形的判定和性质, 解题的关键是利用相似、 (1)连接BD设BD交AC于0,先证明 ABD是等边三角形, 根据三线合一的 性质，得到AE=1 AB从而AE=1 DC 2 2 再根据平行线分线段成比例可得 AM AE MC DC 2 同理可得 CN 1 AN 匕，则MN是AC的三等分点，结论可证; 11 / ADC120 , 又/

26、ADE/ CDI=30 , / EDF=60 . 当/ EDFB时针旋转时，由旋转的性质知/ EDG/FDP / GDP/ EDF60 ,12 / DE=DF= 3，/ DEG/ DFR=90 DEGA DFP DGDR DGP是等边三角形， 则 S .DGP DG2, 3 由 DG2 =33，又 DG0，解得 DG2. 3 , 4 所以，当顺时针旋转 60时， DGP勺面积也是 3 3 . 综上所述，当/ EDF以点D为旋转中心顺时针或逆时针旋转 60时， DGP勺面积是 3 3 . 【解后反思】此类问题容易出错的地方是：不能正确的利用图形的旋转变换找到边角之间的关系并使之对应起 来解答本题

27、时需利用菱形的性质，结合已知条件，仔细观察图形，找出图中的等边三角形、全等三角形、直角 三角形，结合三角形的边角关系解直角三角形是解决此类问题的一般思路. 【关键词】菱形的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质；旋转；解直角三角形；平行线分线段成比例； 分类讨论思想； 4. (浙江宁波，25, 12 分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线 段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似， 我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线 (1)如图 1，在 ABC 中，CD 为角平分线，/ A = 40 ，/ B = 60 ，求证：ABC 的完美分割线 在厶 ABC 中，/ A = 48 ,。是厶 ABC 的完美分割线，且 ACD 为等腰三角形，求/ ACB 的度数. 如图 2,在厶 ABC 中，AC = 2 , BC = 2 , CD ABC 的完美分割线，且 ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形 【逐步提示】 本题考查了等腰三角形、相似三角形、分类讨论思想，解题的关键是正确理解新定义的概念“三角 形的完美分割线” (1)只要证明厶 ACD 为等腰三角形，且 BCMA BAC 相似，可得。是厶 ABC 的