2018届高考数学黄金考点精析精训考点02命题及其关系、充分条件与必要条件理

1、考点2命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1. 最新考试说明：(1 )了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系.(2) 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2. 命题方向预测：(1 )四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现.(3) 本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础 知识的同时，重在掌握其它相关数学知识A .3. 课本结论总结：(1) 命题的概念

2、在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.(2) 四种命题及其关系1四种命题及其关系2四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题,它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件1若p= q，则p是q充分条件，q是p的必要条件2若p= q，且q= p，则p是q充要条件24.名师二级结论：(1)常见结论的否定形式结论是都是大于小于至少一个至多一个至少n个至多有n个对所有x，成立p或qp且q对任何x，不成立否疋不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有(n-1)个至少有(

3、n + 1)个存在某x，不成立且p或q)存在某x，成立(2)充要条件判定方法定义法：若p= q，则p是q充分条件；若q= p，则p是q必要条件；若p= q， 且q= p，则p是q充要条件.集合法：若满足条件p的集合为 A,满足条件q的集合为 B,若A.；B,则p是q的充分不 必要条件；若BA,则p是q必要不充分条件；若 A=B 则，p是q充要条件。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常 用集合法3利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为若p则q”，则有如下结论:5.课本经典习题: (1)新课标 A 版第 8 页习题 1.1A 组，第 2 题【经典理由】本

4、题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点, 也是一个常考点 新课标 A 版第 12 页习题 1.2A 组第 3 题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性6.考点交汇展示:（1）与集合交汇例 1 设A,B是两个集合，则“A|B二A”是“AB”的（）(1)若原命题为真逆命题为假，则(2)若原命题为假逆命题为真，则(3)若原命题与逆命题都为真，则(4)若原命题与逆命题都为假，则p是q的充分不必要条件；p是q的必要不充分条件；p是q的充要条件；p是q的既不充分也不必要条件3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C

5、.【解析】由题意得，ARB二A= A B，反之，AB= A B = A，故为充要条件，选 C.（2）与不等式交汇例 2【2017 天津，文 2】设xR，则“2-X_0”是“|X-1$1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】2-xQ?贝|x-l|l,x|0 x2）c2,据此可知：“2-葢生（T是葢广的的必要的必要不充分条件，本题选择E选项一（3）与函数交汇nn1例 3【2017 天津，理 4】设R，则“I|”是“sin”的12122（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【

6、解析】nnI .一I:n10sin二1，但 v- 0,sin -，不满足12 126 22n n|，所以是充分不必要条件，选A.12 12（4 ）与平面向量结合例 4 设平面向量a,b,c均为非零向量，则“a（b-c） =0”是“b = c”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B4【解析】由b=c得，b-c=0，得ab-c = 0；反之不成立，故ab-c = 0是b = c的必要而不充分条件.(5) 与复数交汇a,b R，则“a二b =1”是“(a bi)2= 2i”的()【2016 高考山东卷】已知直线a,b分别在两个不同的平

7、面f线b相交”是“平面a和平面3相交”的( )(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解折】 试题分析：试题分析：“直线门和直线占相交直线门和直线占相交 亠亠 平面讯呼面平面讯呼面0相交相交& &但但“平面氏和平面目相交平面氏和平面目相交”声“直线直线 点和直线*相交匕所以葺牝和直阴狡”是“平面肚和平面0相交”的充分不龙嗫条件，故选(7)与数列交汇4 z例 7【2016 高考天津卷】 设an是首项为正数的等比数列， 公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n| = |可| =J/+沪,故原命題为真：逆命题：若|珂卜|引卜则可宀互为共觇复数；如

8、可=3 +亿Z2=4+込且|珂卜|引卜匚但此时可宀不 互为共辄复，故逆命题为假；否命题：若习不互为共辄复数，则|可卜|可|;如可=3+ 4八习4+3八 此时可，习不互为共辄复，但|咼| = |勺| =5,故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题 为真；故选月.2. 【2017 北京卷】能够说明“设 a, b, c 是任意实数若 abc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a, b, c 的值依次为 _.【答案】-1 , -2 , -3 （答案不唯一）【解析】试题分折：_t -2-3,-1+（-2） = -3-3相矛盾所以验证是假命題一【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法

9、一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题， 只要举出一个6反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。272. 正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式， 也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要.3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p,则 q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定4. 在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假， 再判断逆命题的真假，

10、然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.【解题技巧】1当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换.2. 在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假.3. 在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面.【易错点睛】1. 区分否命题与命题： 否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.2. 特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.例写出命题“若x2 y2= 0，则x,y全为 0”的否命题.2 2【错解】若x y =0,

11、则x,y全不为 0.【错因分析】将命题否定与否命题混淆；命题结论否定错误，“x,y全为 0”的否定应为“x,y不全为 0”而不是“x,y全为 0” .【预防措施】要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；对条件和结论的否定要正确，如“都sA/rV是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对 立面，抓住这一点就可以避免类似的错误.【正解】若x2y - 0,则x,y不全为 0.热点二充分条件与必要条件1.“x 1”是 “logi（x2） :0”的（）2A、充要条件B、充分不必要条件C 必要不

12、充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B8【解析】logx 2）：0= x 2 4= x -1，因此选B.2 212 直线l : kx 1与圆O: x2y-1相交于A, B两点，贝k =1是“ O的面积为一”2的（ ）A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由k=1时，圆心到直线1:x1的距离d.所以弦长为.2.所以21_ 2 1SOAB2.所以充分性成立，由图形的对成性当 k=-1时，.10AB的面积22 21为丄.所以不要性不成立.故选 A.23. 设U为全集，代B是集合，则“存在集合C使得AC,B5CuC是“A B=Q”的（）A.

13、充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当JcC,昙 uCQ且nc = 0j则= 反之当/nB=0t坯有cCUCt2当A = CfRWQ且|T|C = 0J则反之若ACS=f则AQC = f畫=CQ所*竝3当A = =则月=0;反之/nB =ACCyC.综上所述，澤存在集合 u 梗得/uGBuGQ是-的充要条件.4. 设an是公比为q的等比数列，贝y q 1是 a.为递增数列的（）A充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D.9【解析】当a11 时，数列an递减；当 acO,数列an递增时，0q1.故

14、选 D.【方法规律】101.在进行充分条件、 必要条件的判断时， 首先要明确哪个论断是条件， 哪个论断是结论，再 从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p,结合定义即 可做出判断2.充分条件、必要条件的三种判断方法，要注意灵活应用利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而命题易于求解.对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断.【解题技巧】-1.在进行充要条件判断时， 在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键.2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示

15、两个集合的关系，从而使问题易于求解3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、 直观化外，还可利用原命题和逆否命、 逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.【易错点睛】在判断充要条件时，因条件与结论分不清或因考虑不全面导致致错误例 已知p: “向量a与向量b的夹角 r 为钝角”是q:“a * bv0”的条件【错解】若向量a与的充要条件.:b的夹角 v 为钝角，则COSTv0,即ab V0,故p是q|a|b|【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断,而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“a *b v0”成

16、立时能否导出“向量a与向量b的夹角为钝角”的判断【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件p，哪个是条件q;其次要从两个方向进行判断，即条件p能否导出结论q与结论q能否导出条件p.【正解】【正解】若向量若向量与向量与向量5的夹的夹角角& &为为钝角，钝角，则则cos = -i-0,即曰即曰応応 p、cos-cos- “【解析】因为当时，不成立；当时， ：不成立，所以“ ”是“二”的既不充分也不必要条件，故选D.3. 【2017 四川成都】已知数列订爲是等比数列，则“a：a2”是“数列 fa,为递增数列” 的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件

17、D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若 玄堤递增数列一定有an：an彳,-ai：a2成立，当-2,a2二2时，满足ai : a2，而a不是递增数列，所以“a：a?”是“数列曲为递增数列”必要不充分 条件，故选 C.4.【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初】若a,bR，使a b 4成立的一个充 分不必要条件是（）A.a+b兰4B.a4C.a|2且b2D.b4；C 中2色2,2臭2， 不满足a + b4；B 中a=44,b=0 ,不满足 a+|b|4 ； D 中由b 4，但由 a +|b 4 得 不到 b：-4，如a = 1,b=5.选 D.5. 以下四个命题中，真命题的个数为(

18、)1 1集合*ai,a2,a3,a4f的真子集的个数为15；2 2平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；3 3设z(,z C，若z2z2=0，则zi= 0且Z2= 0；4 4设无穷数列 玄的前n项和为Sn,若：Sn是等差数列，则a-定是常数列.(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】对于，集合a1, a2,a3,a?的真子集的个数为 24-1=15，二对；对于，平面内两条直线的夹角不大于直角，而方向向量的夹角可以为钝角，故错；A .对于， 12+i2=0 但 1 与i都不为 0,故错；对于，若Sn是等差数列，可设S=S+(n-1)d, a1=S，当n2时，an=S-S-1=d

19、, 当且仅当 s=d时a是常数列，故错.jf6. “x 0”是 “In(x 1)疔0”的()/yV、A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件)【答案】B【解析】因为In(x 1)：0，所以ln(x - 1)：In1，即 一1：x：0，因而“x：0”是“ln(x - 1) : 0”的必要而不充分条件7.原命题p:“设a、b、cR,若若a b,则则ac2be2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有()个.A. 0B. 1【答案】CD. 414【解析】当衣=0时，4所以原命題是错误的由于席命题与逆否命題的頁假一致，所叹逆否命 题也是错误的；逆命题狩“

20、设acR,若朋曲,则af是正确的，由于否命题与逆命題的直假 致，所以逆命题与否命題都为真命题，所以综上所述，真命题有2个.8. “a = 5”是直线ax _ 2y_仁0与直线5x - 2y c = 0平行”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a=5时，直线ax-2y-1=0与直线5x-2yc=0可能平行或重合；若直线ax -2y =0与直线5x -2y c =0平行，则a=5故选C39. 已知p : x _ k,q :1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是x +1（ ）A.2,二）B.（2,：） C.1,：） D.

21、（：，-1【答案】B332 x【解析】由 ：1得，亠-1二土上：0，即（x-2Xx1） 0，解得x，1或x 2，x 1x 1 x 1由p是q的充分不必要条件知，k 2，故选 B.10.实数a =1”是复数（1 ai）i（aR,i为虚数单位）的模为、.、2”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又不必要条件【答案】A【解析】o =1时,即+=-+; = -1+i,其模为运当（1斗i=-a + i的模为血时，+解彳專即实数是复数C+少SEJV为虚数单位）的模为的的充分非必要条件，选&11.ABC中，角A、B、C的对边分别为a, b, c,则“a = 2bc

22、osC”是“rABC是等腰三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件15C.充分必要条件.既不充分也不必要条件16即b二c，所以ABC是等腰三角形，反之，当ABC是等腰三角形时，不一定有b二c,故“2b cosC”是“.IABC是等腰三角形”的充分不必要条件.12. 若、2、-R且；-kk：三Z,- kk：三Z，9“：=2-”是223“.3tan：-1、.3tan-1僅4”的（）4V IA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由、3ta n二-1 . 3 ta n：-1 = 4知，3ta n ta n：-,3ta n：-、3ta n“】

23、1=473 ta notta n Bta nata nB=V3,tan +tan,tan（口+3） = -751 - ta n.ta n P所以.:=k二3当k=0时，： 1=2二3 /X所以“- -2”是“3tan-1 . 3 tan -1 = 4”的充分不必要条件.3故选AiYyjf吗13.“m =1”是“直线xy=0和直线x + my = 0互相垂直”的（）yA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为m =1时，两直线分别是直线X - y = 0和直线X y二0两直线的斜率分别是 1 和-1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x-y =0和直线x my = 0互相垂直则1 1 （-1）0, m=1.所以必