组合常数在物理学中的运用

1、组合常数在物理学中的运用摘要：量纲分析是物理学屮普遍使用的方法，而组合常数的利用是建立在量 纲分析基础上的一种新的方法。借助于组合常数，物理学中的很多分析和计算变 得简单明了。组合常数在原了物理中的运用较多，其优势也较为明显，在电磁学 等其它领域也冇一些应用。本文对组合常数在原子物理以及其它领域屮的运用进 行了总结归纳，可以看到，利用组合常数分析问题是非常有效，值得推广的。关键字：组合常数；量纲分析；物理常数；原子物理物理量的量纲可以用来分析几个物理量之间的关系，这方法称为量纲分析 ，o通常，一个物理量的量纲是由像长度、质量、时间i类的基础物理量纲结合 而成。量纲分析所依据的重耍原理是，物理规

2、律一定要与其计量物理量的单位无 关。任何有意义的方程式，其左手边与右手边的量纲一定要相同。检查有否符合 这原则是做量纲分析最基木的步骤。2006年国际科技数据委员会推荐的基木物理常数有20个，其屮在最常用的 包含18个常数和2个组合量。不过人们在谈到基木物理常数吋，总会先想到下面 的&个基木物理常数：光速常数，电子电荷，普朗克常数，万有引力常数，电子 静止质量，质子静止质量，阿伏加德罗常数和玻尔兹曼常数。最主要是它们出现 得较早，所起的作用较重要和人们经常使用的缘故。但是除这20个基木物理常数 外，物理常数还有另外一种形式，就是rfl这些基本物理常数优化组合而成的组合 常'数，

3、这些组合常数总是严格地以相同的形式出现在物理学的规律屮，如精细结 构常数（ = %啊,玻尔半径 =警手，法拉第f = n,、e等，都有简明的 量纲和物理意义。1原子物理学中的组合常数的运用1.1原子物理学中的常见的组合常数原子物理学中的基本物理常数有电子电量，电子静止质量，光速，普朗克 常数，真空中的介电常数，里徳伯常数，精细结构常数，约化普朗克常数， 它们按某种同定的组合形成组合常数出现在原子物理学的规律屮，具有简洁的数 值和量纲，在原子物理学中常见的组合常数有：(1)(2)(3)才.44加吹 力c = 197"mwv = 197nm或he = 1240/m-mev =.2nm -

4、 kevmec2 =q.5mev =5lkevhcrg= 3.6ev(4)eh2me=9.27x 10_24j r_, = 5.79xios 厂(5)e4mte= 4ghzt'(6)e-一 0.467切厂】(7)7unec1.2组合常数在数值计算方面的运用在原子物理学里，为了避免计算公式的太过于繁杂，常耍用原子单位来表示 有关数据和公式，这些单位中许多都是由一些基本的物理常数组合而成的，利用 上而的组合常数，同时要考虑量纲，特殊情况做其它考虑，就能够得到一些常用 的复杂的推导与计算所得到的结果泅。0.511mw电子的经典半径“）的计算：考虑长度量纲，用（1）式除以（2）得=2.818

5、fin = r(精细结构常数&的计算：用（1）式除以（2）式可以得到无量纲的常数&a4fm-mev 1=-a197 fm-mev 137并扩展为1.44? z - =a a 197/1 n电子的康普顿波长尢“的计算：考虑长度量纲，用（2）式除以（3）得91fin-mev0.511mw这是电子的约化康普顿波长。上式可扩展为，即（2）式除以（3）1240fin-mev0.511mw< =%=2426 fin = aec电子轨道运动的速度叫的计算：从量纲分析知，速度只能由光速c与无量纲的常数q （或q）组合而成。ca = %从而可知轨道速度的量级为g倍的光速。原子的能量乞的计算

6、：耍求原子的能量先耍知道原子的能量经典表达式e = mv22ze14隔厂=mv22将匕的表达式带入原子的能量经典表达式，得到原子能量的量子表达式=阻（一qc）22 n（4 亦（）02 方 2玻尔原子的轨道半径乙的计算：同样考虑长度量纲，用上面已经得到的长度 与q组合，可得到新的长度量。首先是得到第一玻尔轨道半径=4 = 0.0529呦其次述可得到玻尔轨道半径由上可以看岀，电子经典半径、电子的康普顿波长、电子的轨道半径之间依次差 a倍。里徳伯常量/?的计算：将上述所得的原子的能量表达式写成与光谱规律相一 致的形式时，有并由上式得到:原了的角动量厶的计算：将叫和/;的表达式代人角动量的经典表达式l

7、 = mvr中，这样就可以得到角动量的量子表达式：= fnevnrn = me (-ac)严汽")=ntinz.原子的磁矩“的计算：将原子的角动量厶的量子表达式带入用电子轨道磁矩与电子轨道角动量间的经典表达式厶就可以得到2阻e . ,ac 、 ehu =nn =(eajn = nur2me 2 14 叫b其中卩 b是玻尔磁子，mb = na. =- = 5.788x10_5v-7-124mne由此乂可以看出磁矩与电矩(“j量级相差处倍.在&粒子散射理论中，瞄准距离b、卢瑟福&散射公式瞄准距离b：ez a叫 e2 乙z 行b =r-p- =cot= 1.44 xcot

8、fm4亦° mv2/24亦° ea(mev) 2ea(mev) 2卢瑟福&散射公式： sin4 - = ntn(-)2 x 1.44fm mev dg 22ea(mevy氢原了、类氢离了及碱金屈原了的能级、基态电离能、线系公式能级可直接用1叽 = 3.6ev表示成：zzzen = rhcr u rhcr九=xl3,6ev nnn基态电离能:w=z" xl3.6ev线系公式：hv = z* xl3.6(n = m +1,m + 2nt rt1v =亍 213.6w, 11、-z x()1.24xl03ev -nm m n-1.096x 10"4 x

9、z* (一-v)c7hn =血 +1,加 + 2nt n对于氢原子和类氢离子z* = z发生塞曼分裂的光谱线同原谱线z间的频率、能量、波数z差: 频率z差：av = v-v = m,g2-mg-b(t) = |m,g° -mgx4b(t)ghz4me7i能量之差：ae = e'-e = m2g2-mg-b(t) = m9g2 -mb(t)x5j9xlq-5b(t)ev 4mnc7nne波数z差：i1ev=- = m2g2-mg-b(t) = m2g2 -ml8ixoa61b(t)cm-1a a47nnec自旋和轨道相互作用产生的能级分裂值：7*47*4ae = x 7.25

10、x i (t4幺v 或历=x 5.84门n3/(/ + l)n3/(/ + l)1. 2组合常数在定量估算方面的运用1. 2. 1对葡萄干模型产生大角散射可能性的估算汤姆逊葡萄干模型，对入射粒子的最大作用力f发生于掠射，这时原子的 zw对入射的正电荷f二互二，其屮匂为真空介电常数，/?为原子半径。4兀邛图1散射引起的动量变化figithe change of momentum from the scattering如图1,为了估计q粒子由散射而引起的动量变化，因而由动量定理可以 推出。粒子的最大散射角去=2fr® 二曲gr) = “ j : 2zp mavlm v24亦。r mav2

11、2 a其中p是入射口粒子的动量，f是粒子与原子核发生相互作用被散射后的动量。 代入组合常数数值就可得：2zxl44?mwv0.1加 x ea(mev)7= 3xi(y5(md)其中码为q粒子的动能，roanm,把与电子的碰撞考虑在内，则产生的最大7散射角为&vl(f4(sd),这样如果以入射粒子动能为lomev,靶核为金，7=79 来估算，每次碰撞粒子的最大散射角将小于lftsdd, 1佃要引起1°的偏传必须经过多次碰撞，但是每次的碰撞都是无规则对的，所以汤姆逊模型产生大角散射根 本不可能。1. 2. 2不确定关系式在宏观和微观的效果估算冏假定电子可以在第一玻尔半径= 0.0

12、53/?7/7范围内运动，即ax = 0.053肋,那么由不确定关系20 > h可得:fphe2mcax1.24nm kev511辰#(137尸0.053肋2由此可看出动量的不确定度非常大，而对宏观一个10g小球以10肋速度运动，如果zlv = 10_5cm,则由不确定关系式得:= 6.6xl024a/? _ 力 ax _ 6.6 x 10-27 gcm2 ： s p p 10x10x10"5c7?2/5因而曲宏观物体引起的不确定度小得完全口j以忽略。1.2. 3原子内部磁场的估算血"我们都知道原子处于弱磁场中时会发生塞曼效应，在强磁场中时会发生帕邢 一巴克效应，那么

13、原子内部磁场有多大，与外场相比怎样才算弱场或强场呢?用 组合常数对锂原子和钠原子的内部磁场进行定量估算就可以对原子内部磁场冇 一个认识，从而更深刻理解塞曼效应和帕邢一巴克效应。对碱金属原子：eis = -a 鸟=±以对碱金属的主线系有：2砧=晋hcm2用钠双线589防77和5896防八 可估算出钠原子内部磁场为：b=20t用锂双线670.785沏和670.800讪 估算锂原子内部磁场为：b二0. 357t1.3组合常数在检验公式方面的运用在原子物理学里，公式的过于繁杂，常使用原了单位（atomic unit简写为a. u.）来检 验有关数据和公式的正确性。下面举一些简单的例子进行运用

14、（1）电子的玻尔第一速度的计算公式v（ =ac的正确性：c的单位是加/$, a是 无量纲常数，因而qc的单位是加/$,从而证明这个公式是正确的。（2）电子的康普顿波长的计算公式尢絕=%疋的止确性：加的单位是 fin-mev , mec2的单位是mev ,因而%心二的单位是向，从而证明这个公式 的正确性。2组合常数在电磁学中的运用2. 1在电场中的运用相对于惯性系静止的两个点电荷间的静电力服从库仑定律，即f = k 讐（8）厂其中£是比例常量，依赖于各量单位的选取。国际单位制是目前国际上流行的一种单位制（简记作si）,其力学及电磁学 部分叫做mksa制。该制以长度、质量、时间及电流为基

15、木量。以米、千克、 秒、及安培为基本单位。电荷在mksa制中单位为库仑（记作c）,它与安培和秒 的关系为1c = 1a-5o必须指出，采用mksa制时，上式中齐量的单位已分别指 定为n （牛顿）、c和加，故k只能由实验测出，实验测得fc«9xl09/v-m2/c2 <>为方便起见，在mksa制屮常将斤写成!的形式，相应的常量£（）为 4%0=8.9xl0-12c2/（/v-m2）o引入后，式就改写成(9)1 q24兀£()r2式虽比式复杂，但由它推岀的许多关系式却比较简单。2. 2在磁场中的运用点电荷的场强公式对讨论静电场的重要性是人所共知的。从这一公

16、式岀发， 通过求和或积分就可求得形形色色的电荷分布所激发的静电场e。静电场中与点 电荷所对应的是载有电流的元段，简称电流元。为了得到形形色色的载流导线所激发的静电场丘，需要知道电流元所激发的元磁场da的公式。设导线的电流为 z,以矢量d,代表导线上任意有向元段（加的方向与电流相同），则该载流元段 （电流元）可用矢量帀7做定量描述（7d7对应于点电荷的g）。与点电荷不同， 曲于恒定电流的闭合性，恒定电流元不会m独存在，因此不口j能通过实验直接测 出恒定电流元的磁场。但是，只耍默认磁场与电场一样服从叠加原理，则任何形 状的载有恒定电流的导线的磁场都是它的所有元段的磁场的矢量和。通过对不同 的形状的

17、载流导线的实验研究（包括安培的平行直长节流导线的实验），人们相 信电流元7加激发的元磁场a由下式表示（国际单位制）：4兀 厂其中r是电流元7加（看作位于一点）与场点p的距离，乙是从7加指向p的 单位矢量，“）/4龙是与库仑定律的国际制表达式屮k = 1/40的对应的常量，英 中;/o=4xlo-7 n/a2（n和a分别代表牛顿和安培），式通常称为毕奥萨伐尔 定律。任意形状的、载冇恒定屯流的导线的磁场多可以从式出发借助积分求得。23电和磁关系的运用在众多的基木物理常数中，光速c可以说是第一个最重要的组合常数。光速 c首先是通过测量得到的，而现在它是一个不带误差的规定值。但是在麦克斯韦 （jc.

18、maxwell, 18311879）时代，光速c是作为电磁波的辐射参数出现的。 18551862年，麦克斯韦在安培和法拉第等人研究的基础上做了大量的工作，提 出了电动力学理论，创立了麦克斯韦方程组，把电和磁统一起來了。根据这一 理论得出了一个联系于坯、“。的新常数c =刁亘，c即为电磁波在真空中传£（）"（）播的速度。这个速度是一个常数，此常数使得电常数坯，磁常数“°之间建立起 了亲密的联系，电和磁z间就建立了联系，因而c成了电磁统一理小的重要常数。把匂、“。的值代入可得c就等于光速。这是一个惊人的巧合，它说明了电 磁现彖与现彖之间有着统一的联系。当时据此结论，麦

19、克斯韦提岀了著名的光的 电磁波理论，第一次从理论上揭示了光与电磁波的内在木质。勺是与电相互作 用有关的常数，a）是与磁相互作用有关的常数，它们的组合止体现了电、磁作 用的统一，也正是这两个常数的组合预言了电磁波的存在，而光速c的正确测定 又验证了电磁波的存在。这是自牛顿的大运动定律统一物理现象z后的又一次物 理世界的大统一3。3组合常数在宇宙学中的运用黑洞是宇宙中一个事件的集合或者空间-时间区域，光或任何物质都不可能 从该区域逃逸而到达远处的观察者。研究黑洞的爛s和温度t涉及热力学理论、 引力理论、相对论和量了理论等，在这些理论中，选“、gm me2、为所 需的组合常数。其中，£为玻

20、尔兹曼常数；g为力有引力常数；m为黑洞的量； t为热力学温度。利用观测结果，黑洞的炳与它的视界面积a的1/4成正比，st的量纲是能量, 所以它也必然与a/4成正比，于是有aktm2c44r/cgm $这是唯一的组合，将上式两端消去t ,就得到黑洞爛的表达式s=4g?7 同理，好的量纲是能量,所以有kt = aqcmc2gm2?c3gm式中a为比例因数，由史瓦四黑洞理论的相关结果知q二丄，由此可得黑洞温度t的表达式为s/ikgm以上结果与文献闾中推导和论述的结果完全一致.4组合常数在近代物理学中的运用在近代物理学中,能量的单位常用 3”,波长的单位用“ nm ” 1光子 的能量e = hv ,由

21、频率i/、波长兄、光速c的关系v =得e二竺,h和c都是常z a数，所以加是组合常数，代入已知数值得he = 12.4xl03ev-a = 12.4xl03ev-nm由此的光子的能量为12.4xl03ev - nma厂. he 12.4xl03ev -nme = hv =几a利用这一结果，可以避免能量单位“j”与“少”之间的换算，可以使近代物 理学例题及以后的相关习题计算工作量大大减小。就像在电子设备中用集成电路 來代替分离元件，是电了技术的一次重要革命，那么在这里又为什么不可以用组 合常数替代分离常数呢？通过以上种种方法的列举，基本物理常数及其组合在物理学屮发挥着重要作 用。一些组合常数具有

22、其明确的物理意义，一些却没有明确的物理意义或者是人 们暂时述述不知道其物理意义。有的组合常数是在计算小发挥了作用，有的是在 公式中发挥了作用，同样也有的却是在探索新的理论和规律中发挥了作用，基木 物理常数的探究一直都是物理学者们关注的一大热点，物质世界受到物理常数的 限制，人们在提出创造性规律的同时，往往提出了对应的物理常数,如万有引力常 数、玻耳兹曼常数、光速、普朗克常数等，这种类型的常数开创了它们齐ii的领 域，貝有其广泛性。物理学中不同领域的客体，也有其口己特殊的物理常数。分 析齐种物理问题数量结果的结构发现,它们都是由相关的物理常数和初始条件决 定的。由此，人们在精密的理论方法z外，寻

23、求以物理常数为基础的较为简捷地 获得数量结果的方法，包括量纲分析法、数量级的估算、对称性的考虑、守恒量 的利用、极限情形和特例的讨论、简化模型的选取、概念方法，以及相似和类比 等。使用这些定性、半定量方法时，如果选取恰当的组合常数并正确地使用它们, 不仅能使问题的分析简便、快捷，而且各个物理量间的关系也非常清楚。人们期 吩着从基本物理常数的研究着手去揭开物理学世界的更多更新的神密面纱。但是 物理量之间关系的确定与量纲分析的使用并不一定总是很容易的，这是要求运用 者有相当的经验和对现象本质透彻的了解，但最主要的是，组合常数方法所得出 的结果一定不会超出理论给出的范围。它只是一种计量方法，虽然它是

24、一种比较 简便的方法，但是千万不要幻想它会给你带来超出口前的理论z外的发现。参考文献1 谈庆明量纲分析m.中国科学技术大学出版社，2007, 72 huntley h e. dimensional analysism. london： macdonald, 1952,158.3 卢森错，郭奕玲，沈慧君.2006年基木物理常数国际推荐值j.物理，2008,3 ： 183191.4 杨福家.原了物理学m.北京：高等教育出版社，2000, 47273, 389.5 高丽丽宋文福何训.组合常数方法在原子物理学小的应用j.通化师范学 院学报j, 2004, (10)： 40-42.6 彭双艳原子物理中组合常数的应用.毕节学院学报j,2009,(08) : 57一617 楮圣麟.原子物理学m.北京：高等教育出版社，1979, 30120.8 梁灿彬秦光戎梁竹健.电磁学m北京:高等教育出版社，2004, 67, 177 178.9 dyck r s(jr. ). contcmplllj. physics, 1973, 14(4)： 389.10 杨建平组合常数的物理意义探讨.武汉科技学院学报j,2004, (04) :49- 5311 宋文福.高丽丽，秦显荣.物理学中的组合常数方法j 大庆石油学院学 报,2004, (06) : 63