数列求和不等式的证明策略（精）

1、数列求和不等式的证明策略一. 直接放缩型例 1 求证： 丄 v!+ + + < 1(« > 2) 2 n +1 + 22n证明： <-<(k=2)2n n + k n +11 1 1 1 1 1 11 1/+ + + <+ + <+ +in 2n2n n +1 n+ 22n n + n + n +1nn 1111n.2 斤 +1n + 22nn +1例2.设“ =1 +丄+丄+ . +丄卫2.求证：an < 2." t 3"na解析 a = 1 + 丄+丄+ +丄 5 1 + 丄+ 亠 + +丄." 2a 3a

2、na 2232 n2又 f =kk>k(k-lk>21 1 1 1v，k2 r伙 一1)k- k二.于是尙51+丄+丄+ . +丄<1 + (1丄)+ (丄_丄) + + (丄一丄)=2_丄v 2. ”2232 n222 3n-1 n n可放缩成等差数列型 仮!1 1 求证: ""+ » < 71迈 +j23 + jn( + 1) v “ . (nwn+)n(n + l)2 2证明：.*n(n +1) >= n :. jl 2 +23 + +n(n +1) > 1 + 2 + + = 又师莉 仝业2 2vb2 + vt3 + +

3、 jn(/i +1) v丄(3 + 5 + . + 2 + 1)二 +2 <(" + 】),.得证。 v 22三可放缩成等比数列型例 1 数列an满足 an+i=an2-nan+l (ne n+),且 a“nn+2 求证： 一! + ! + + ! < 丄1 + d 1 +1 + a n2证明： an+i=an(an-n) +1 >an(n+2n) +l=2an+l/.an+i+l>2(an+l) an+l>2(an-i+l)即金彳 二 +1)' 2?+ 1)2心(i +1) ' £( ，9丄+丄+ +丄 < 丄+丄+ +

4、丄显-丄 < 丄1 + e 1 + 色1 + q“22232,+,22/,+12例 2.已知 f (x)二丄w (0,+8),数列x满足 xn+i=f (xn) (ne nj ,且 x】二 1,设 an= | xn- v2 i, 兀+ 1s“为%前n项和，证明：sn<o2证明时=|和-血1 = |心-血l = |心二= (血-1)乜匚迦 兀”+1£+1比+11又 xn>0 . ann< (d 1)丨兀” 一° i < (血一1) 2 丨 -v2i<.<(v2-1)z, lx, -v2i = (v2-1)网.sfa】+a2+ + ak

5、("1) + (血一 1尸 + + (©1)"得证。四.可放缩成裂项差式型例1求证：1+丄+厶+ < 2 (ne n+)2232 n2证明： < =- -(n>2)n_ n(n-l) n -1 n11111111 c 1 c/. 1+ + + + < 1 + 1 + += 2<2.2232 n2223 n-i n n仮|j 2 求证：1+*十! + + <3(n> 2,/? g n)22q 22z3 n证明： tn1n 4n+ njn2(n - l)vn + nvn -12= 2(乔 _vt)= 2(l)n(n -1) (

6、j” -1 + 麻) qn(n 一 1) y!n 4n1+迟 + 追+ +玄 <1 + 2(1 一士+ ¥_¥ + +亠一士)亠士<3.23nv2 v2 v3 y/n -1 vn vh五.两项配凑放缩型例1已知 xn=2+，求证：(-1)xi+(-1)2x2+ (-l)nxn<l (ne n+)(-2)匕证明：(-1)%=(-1广2 +-2-(" 3不妨考虑 n 为奇数时，(-l)nxn+(-l)n+1xn+1=-2" +丄31+2“+i _ 1-32" + 2/,+1 2" + 2/,+1<1川+i2“2打+

7、"于是n为偶数时,(g(g+(g1 1+歹+刁2nn为奇数时，前n-1项为偶数项,于是有(-1)xi+(-1)2x2+*+ (-1) <1+ (-1) nxn=l-xn=l- (2+(2)”)二-1+<1,得证。t +-3例2已知an=| 2n-2+(-l)n-1 (netvj,证明：对任意的整数n)>4,证明：由通项公式得a4=2,当n»3且n为奇数时，-1 3r 11 n 32,_1 + t'2d= i+i = xafl atl+ 2 2n'2 +12m_, -1222n'3 + 2n 一 t'2仝(丄+亠,2 22/,

8、_3 2 2,_2 2,_12/j-3当 m>4 且 m 为偶数时， + + + = 4- ( + ) + + (+ )勺 a5a.n a4 a5 %am- 色“22 23242m222 42心 288当 m>4 且 m 为奇数时，+ 4- - + < + 4- + + 勺 a5a,n a4 a5a.n 知+】8综上对任意整数m>4有丄+丄+丄v ?。a4 a5am *评析：由于通项中涉及有git这一符号法则，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易 于求和使问题得证。六.利用题设结论例1已知不等式丄+ + +丄 > 丄1002w 2.10gm表不不超过log ,

9、2的最大整23刃 2(2”+*)(2塚*)2-2数。设正数数列仏满足：a, = b(b > 0), < ncln- ,n > 2.n +存求证乙 <,z? >3.2 + mlog2n简析当n>2时° <上亠亠丄巴仝叫二丄+丄，即 n + an-q”an-l% 斤11 、1右 / 11、亡 1n => 2 () n 乂 一 cln cln- nk=2 ak ak- k=2 “于是当h >3时有 >llog2«=> « <.%22"2 +灿io%川例2已知4=1®严(1 + j

10、也+丄.(/)用数学归纳法证明> 2(n > 2)；()对n" +n 2"ln(l + x)<x对兀>0都成立，证明(无理数g2.71828)解析()结合第(/)问结论及所给题设条件ln(l + x)<x(x>0)的结构特征，可得放缩思路：如“ +土+ *=> 叽進吨+± + * + 1叫=>。于是讼十in讥莎亍刁x(1叫+1 -1叫)5工1=1r=l1 1+ n2+/i + r°ina” -lntzj < 2 => an <."+ 巾_/" + 讪 _1)lna+1+

11、1)-叽心吨+乔产冇”一1旳一zz> ln(a” + 1) - ln(g“ + 1) < 1 < 1， i(i -1)n=工ln(% +l)-lna +1) <工i=2i=2即 ln(d” +1) < 1 + ln3 => a” < 3e-1 < e2.七.利用单调性放缩(i)a“ >n + 2；例1.设数列a“满足°卄=a：-叫+1( w nj ,当a>3时证明对所有n > 1,有(ii)1w 1 + a】 l + a? 1 + a” 2解析 用数学归纳法：当"1时显然成立，假设当n>k时成立即纵从+

12、 2,贝ij当m = r +1 时=线(畋 一r) +1 n 色(p + 2-r) +1 n (k + 2) 2 +1 > p + 3 ,成立。(n)利用上述部分放缩的结论纵+沱2务+1来放缩通项，可得例2已知各项均为正数的数列%的前n项和满足s” >1,且6s” =(色+1)(%+2),皿矿(1) 求©的通项公式;(2) 设数列乞满足°”(2%-1) = 1,并记7；为仇的前n项和，求证：37； +1 > log2(an + 3),n e n*(i )解：由a】=s| =2(+1)+2)，解得a】 = l或a)= 2,由假设ai=s)>l,因此a】

13、 = 2。又由 an+i = sn+i_ sn=2(a”+ + l)(a“+ + 2) - an +l)(a” +2),6 6得 an+i 為-3 = 0 或 an+i=an因an>0,故an+i=an不成立，舍去。因此an+-a-3 = 0o从而(an)是公差为3,首项为2的等差数列，故aj的通项为an=3n-2o(ii)由 -1) = 1 可解得从而7；=也 +e + + /?“ =log j 才因此 37；+1-10艮(勺+3) = log3n + 2/(/? + !)3“+ 2f (/?) 3n + 5<3n + 3<3n + 2(3n + 5)(3/? + 2)因(

14、3舁 + 3)2-(3/? + 5)(3川 + 2)2=9/? + 7>0,故f(n + !)>/(«)特别的 fm >/(l) = >1 o 从而 3tn + 1-logg +3) = log f(n)x),即 37；+1>1(崔2(5+3)。例15数列&”由下列条件确定：x =a>0 9 a;/+1 =-, n g n(i)证明：对na 2总2(兀”丿有xn> (id证明：对n>2总有%”* (02年北京卷第(19)题)解析构造函数fx) = -x + -，易知/(兀)在石,+8)是增函数。i x丿xk +在爸,+00)递增

15、故林+ >= ya.对(ii)有 xn -xn+1xn)x - -i它在需,+8)上是增函数, x丿得证。故有无“-占+1=£ xn->f(-ja) = 0921兀”丿八.数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题:已知函数f(x)是在(0,+8)上每一点处可导的函数，若xf7(x)>f(x)在x>0上恒成立，1) 略；2)求证：当 xi>0, x2>0 时有 f (xi+x2) >f (xi) +f (x2) ； 3)已知不等式 ln(l+x) <x 在 x>t 且s时恒成立

16、，求证：卩22+却何+. +击吨+ 1)22(” +爲+ 2)其中第3问给出的参考答案为：由 2)结论推广到一般有 f (xi) +f (x2) + + f (xn)<f (xi+x2+ + xn) (n>2),设 f (x) =xlnx,则 在 xi>0(i=l, -n)时，有 xilnxi+x2lnx2+ + xnlnxn<(xi+x2+ + xn) in(x)+x2+ + xn),令拓科g丄+丄+ + 1 - 22-3 n(n +1)又心筒市丄_1_272 + 2记 s=xl+x2+.+xn=_(xi+x2+ + xn) in(x1+x2+ + xn)尙）亠2（斤+1為+ 2）<(x1+x2+ + xn) in (1-) <-72 + 1 n + iyppy+亦占严詁厂一2（ + 1；（ + 2厂原不等式成立。上述证法的技巧性太强，通过结论2）的推广，及sn的缩小与放大的同时运用，才使得 放缩的尺度恰如其分，笔者经过进一步研究，得出了以下简洁证法：当ke n+时, 吨+ 1)2 > 1叱= >*='伙+ 1)2伙+ 1)2 伙 + 1)2 伙+ 1)伙+ 2) k + l k+29"+卩32+.+討眉测+ 1)21 1 1>1112232 (斤 + 1)2、111