数学解题策略之一“拆”字诀

1、数学解题策略之一“拆”字诀“拆”就是按照解决问题的需要，把整体分成部分，因此“拆分”是很重要的。在数 学解题中，巧妙地运用“分拆”的策略，往往会达到“金蚕脱壳”或“釜底抽薪” z感觉, 给人以“情理之中，意料之外”的效果。“拆”是有目的的“拆”，中心是为了解决问题。下 而我们通过具体例题阐述它的思想方法和技巧。1）常数“分拆”例、（2007年中国东南地区奥林匹克试题）设正实数ci,b,c满足abc = l,求证：对于ak bk ck 3整数k>2有上一 +丄+a+b b+c c+a 2证明 因为 + 丄(d + b) + (丄 + 丄+ +丄)(共k 2个)=-a a + h 42222

2、k 2a 、r1 /小 k_2> a (a +b)a+b 242同理可得bkb + cwt(b + c)_k 2> c (c + a) c + d 242三式相加有1 f >(a + b + c) (a + b + c) 伙一 2)a+ b b + c c +a 222=-9a + b + c)-(k-2)2 2a -伙一 l)-(-2) = -(利用平均值不等式a+h + c> 3abc )2 2 2评注：以上解法妙在巧拆常数，为用平均值不等式做了很好的铺热例2、已知加，是正整数,且1 <m<n ,求证：（1 +加）"> （1 +川）&qu

3、ot;。证明 (1 + n)m = (1 + /1)(1 + )(1 + m) 1 1 1 (一共 m 个(1 + n), n - m 个 1)m(l + ri) + n- mn评注：本题证明中把“1”分拆成7?-m个1进行相乘法，而后利用平均值不等式。例3、第36届美国普特南试题）设s/乞，求证:l_lnn + 1)« -n v s” <n-n - l)n m_1 (n > 2)证明 由平均值不等式得，当n>2时，有丄（s“+）=丄（i + i）+（i+_l）+.+（i+丄）注意等号不能成立，另外，我们有匕s-s”)= h-1n-（_*）+（1 冷）+（1 弓n

4、一1-1i同样等号不能成立，所以s” < n g 1）厂匚|因此 n（n + l）n - n < sn <n-（n- l）n ,_1 （n > 2）评注：本题巧妙之处在于把拆分成“个1的和，从而为平均值不等式的顺 利应用创造了条件，使问题的解决既简洁又迅速。例4、设a. > 0,b. > 0且满足£山< 1,£勺<n ,求证:(=1 1=1(1 1>"1 1)+ + k2“2 丿宀仇丿+ >(« + !)"证明：由己知条件和平均值不等式，得4 + - -1弘2心<(r <-

5、 nsb?叽(勺仏i仇)” <1ni111111r 11"i n+l乂由于 丄 + = + +-+ + > (h + 1)(y() aibjncijna(nc”bi nabr i i i i 蔺 r i i 石> +ir（一y（-）（）"（）（）”（）l na %l na2 b2 l nan hn>（n + l）m评注：本题的关键是把丄拆分成丄+丄+丄，再利用平均值不等 a（nai nanai式。2）通项“分拆”斤1例k （2（x）7年全国髙中数学联赛试题）设° = y,求证：当正整数n>2幺 g + 1-k）证明由丁 g + k)1

6、n + 1因此十是对任意正整数n>21n +1(n +1)(/1 + 2)(72 + 1)(7? + 2)>0所以心+】5评注：一般来说，处理数列问题，往往从研究“通项”入手，对“通项”进 行拆分，以此发现解题规律，进一步发现最有意义的简捷解法。本题就是展示这 样的思想方法，当然有些技巧十分巧妙，练就需要不断地积累和揣摩。3）和式“分拆”1149例题1、已知 x, y.z e （-1j）,且xyz = ，求函数u= + + 的最“36-x4一），9-z小值。2 2解山题意x2a,e（-l,l）,故4949+ 4-y2 +9-z2424=(1+/+十+)+(1+亍+£+.)

7、+(l+j?+)3 + (宀才+(*+* +和+、3 + 3引亠2 .2 _236 +口 362= 3(1 +1361361+ ) = 3136108当且仅当宀冷诗时,等号成立,所幼取最小值將评注：函数的幕级数展开虽然是高等数学内容，但是，中学里有特殊函数的 幕级数展开无穷递缩等比数列的求和公式：一!一 = l + x + x2 + - - -（|x| v 1）,巧1 x 妙利用这个关系可快速解决问题。4）整休“拆分”例i、求函数尸2（*+2宀1）的值域;解：显然所给函数是奇函数，因此只需研究兀no的情况。原函数可变形为1 1 x x 2 x2+l x2+l利用基本不等式处（晋尸就有当os x

8、v 1 时，y >0,_ i-xx-x2v2(x2+1) v2(x2+1)当x = 1吋，v = 0当x > 1吋，1 - xx - x1 z 1 -xx 一兀、21y =w (+)='v2(x2 +1) v2(x2 +1)8 x2 +1 x2+l8占+莎28而且当归+厲时等号成立。因此原函数值域为44另解：显然原函数可以变形为:1 2x 1-x2v = 4 1 + x2 1 + x2类比三角函数中的万能公式，令x = tan« ,就得到y =-sin4cr,从而求得函数值域。8评注：两种方法有一个共同的特点就是进行有目的的“拆分”，将所给函数 转化为我们所熟悉的表达式，进而用熟悉的不等式或函数知识加以解决，因此我 们称为化生为熟，当然技巧的应用时不可缺少。总之，“拆分”具有一定的技巧性，需要对问题进行全方位、多方面的考虑。对一个对 象能从多介度观察，善于发现隐藏在题口背后的规律，从而进行有效的拆分，发现最有意义 的简捷解法是数学解题的一种策略，同时，有些拆分的技巧十分巧妙，不容易马上被发现, 也不是一朝一夕就能掌握的，它需要不断积累，细心品味，