浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面

1、浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面几何问题北京市延庆县教科研屮心吴喜儒苑东合一、向量的地位、作用分析向量是近代数学中重要和基木的数学概念之一，它是沟通代数、儿何与三角函数的一种 工具，有着丰富的实际背景。在高中阶段，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量 及其运算的意义，能用向量语言和方法表示和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力 和解决实际imj题的能力。彖数一样，向量是可以“算”的，从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳 跃。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到笫三个向量，也满足 结合律，有零元，示十= 所以向量的加法、减法运算是属于型的

2、代数 运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，它满足一系 列运算规则，例如，结合律：农，分配率：倉等。所以, 数与向量的数乘也是一种运算，是属于型的代数运算；向量的数量积的特征是 两个向最通过数量及运算得到一个数，同样，它也满足一系列的运算规则，例如，分配率: 认（&+劝=讥42力,等，所以向虽的数量积也是-种运算，是属于型的 代数运算。向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数的运算相比, 向量的运算扩充了运算对象。向最运算更加清晰地展示了三种类型的代数运算的特征以及代 数运算的功能,同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律,这对于

3、学生进一步理 解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学 生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。向量既是代数的对象，乂是儿何的对象，它是沟通代数与儿何的桥梁。标准将向 量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、儿何与三角函数的联系， 体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。标准要求学生经历用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切 公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和羌、和差化积、半角公式等。这个过程 有助于学住体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及

4、三角恒等变换公式z间的内在联 系。二、用“向量法”解决解析几何问题举例例1用“向量法”判断两条直线的位宜关系1" i 线4 咼况十 by +"c = 04 bf * q）f线a: |jr 十 by "tc = 0 （ilj "b * q）直线人的方向向量为sq,法向量为尺二s耳）；直线4的方向向量为d （-a）,法向量为泾=4码）；7i与7>的夹角为二则有:云用 廉矗u>n$2 -丄2耳h 0 u>£与珀相交；sttbmxs<=>-人b、= qo 召或a与 j 重合;a丄&伺>«8丄用q*

5、4耳=0专召丄右.8ss=|8f <a9b >=河引i4a4热昂|1-1*1何耳x"毎例2用“向量法”推导解析儿何屮的基本公式1两点的距离公式:已知两点成屿m凤召宀），求3s血解：冃（乞-和”-片）|= j包-可力+5-片尸2. 中点坐标公式：已知两点心风耳必），w）是线段m的中点，求点的坐标.w 、ac = -jw解：因为c0）是线段m的中点，所以2石=仓（巧十巧）刃=£s -fi）卜十乃）2解得:123. 点到直线的距离公式：已知点0小）和直线*：缶十妙十宀0（才十炉叭求点f到直线/的距离.解：通过点比屿刃）作直线曲，并r与直线'垂直，设垂足为尺忌亠

6、）.则问题可转化 为求匸和品两点之间的距离问题.如图，直线/的一个法向最为"«人町，设点以“5为直线？上的任意一点，则有+£>*+0 = 0(1)方向上的射影为向量材设点f到直线？的距离为彳1,则"御设向量3与向量壬的夹角为耳,“卒冃囲金伞勿弓函111響x 则21而a 0p=(aj)-(«i-o!-/j = a+flki-(+4/) = i+flri+c卄|払严卡i所以， 抵+沪4. 求线段的中垂线所在直线的方程已知两点武刃人（可宀），求线段ab的屮垂线所在肓线/的方程.c（瓯叼 a+21）一解：线段上的中点处标为22,向量"3

7、 g吨兀卄），则与向量而垂直的一个向量* =,即/的一个方向向量为儿可-可,设/上任意一点为*口力,则cp（誉旷今由褊"cp得:&-筈1hr-驾令3-乃）=0(xj-xx + ca-br-=0整理得:运用“向量法”解决解析儿何问题，过程简捷，思路清晰，避免了 “解析法”小因为直 线斜率是否存在产牛的分类讨论.三、用“向量法”解决三角问题举例1用“向量法”推导两角差的余弦公式已知角馄 fi 证明：co«(<k-/9 = cmacm/94-shdfai fl证明：以处标原点为中心作单位圆，以°为始边作角以 戸，它们的终边分别与单位p(co«a)

8、,e(cos a « a.op 冃豆1=1因此存在上乙使得a-fi=<op.oq >十2&或- <op,oe>+2far成立.内为 opoq = (ga,ih= c<»acos4-3n an 0op oqopioq m<op oq>所以 cos(<z-/j) = ceiacc«/f 4-sbkzlh 02. 用“向量法”推导止弦定理_ b _ c已知在中，角z.c的对边分别是“少.求证：心上«c 证明：(1)当为直角三角形时，不妨设角=90*,»a=tshs = -.shc = -则有：a

9、a ,即_ a _ a _ c «_ 4_ c五才"_金£卫_金(7由直角三介形探索用“向虽法”证明正弦定理，如图，设与m平行f同向的单位向量疋的夹角为为丿，则了丄曲，与陀= m ,为了与三角形中的量建立联系在等式的两边同乘以丿得:381 f = ,整理得<»（2）当aaa7为锐角三角形时,过点三作单位向量丿垂直于ac则与砌的夹角为90*-4,与cb的夹角为90*-c:ac4ca8与（1）比较，为了与三角形中的量建立联系在等式的两边同乘以得到 jc+cb) = j-ab二|了 | 上61 cm90* 亠 |了 | 咖| c«490*-c)

10、斗 了 | 肿13(剜-血a _ ci _ c« a m(7 ,同理可得th母m csin ash b sh(7(3)当amc为钝角三角形时，与边)类似可证.所以在任意三角形中，角的对边分别是。上2a b _ c都有五shc成立.3. 用“向量法”推导余弦定理己知在屮，角a.b.c的对边分别是b=o 力 4沪 2o6证明：如图,ac = abk t为了得到沪等式两边同乘以疋,= ab22abkbc2二丽十2| 丽1 而|8<(180*-0)十0=ca 2oac0ib同理可证：4,1 =*j +<：j -2hccosa ; ca = + a3 2o6cosg四、用“向量法”

11、解决立体几何问题举例空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示具有大小和方向的量，它的运算：加法、 减法、数乘、数量积也完全相同.因此，利用空间向量解决立体儿何问题，也是先利用向量 表示空间的点、直线、平面等元素，建立立体几何与空间向量的联系；进行空间向量的运算; 作出结果的几何解释，继而得出几何结论.1用“向量法”判断岂线与平而的关系如图，设直线'的方向向量是s,平面二的法向量*贝ij：或zcz<z<=>tt±v«>u- v = oq= 0lca=a =:与壬不垂直«»-v *0«* 0/丄aofilf i? q

12、if工矽0 （码毎9）=上（引禺 g）2. 用“向量法”求平面的斜线与平面所成的角的大小已知直线！是平面：的一条斜线，厂是直线/在二内的射影，贝i”与厂所夹的角即为斜线？与平面二所成的角，设为f.如图，设总线？的方向向量是“如平而二的法向量帀=为锐角时,当s为钝角时,总之,'|«|q 愿肩百'x&f茗禹若向均为单位向量,则金日=jg +aa十¥= i3. 用“向量法”求二面角的大小利用空间向量法求二面角的大小，可以冇两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到 一个与棱垂肓的向最，则这两个向量的夹角（或其补角）的人小就是二面角的平面和的人小; 二是通过平

13、面的法向量來求：设二面角的两个面的法向量分别为吗勺，则二面角的大小等 于n （或煮一5观）4. 用“向量法”求点到平面的距离在空间氏角坐标系°一*中，已知平面：外一点与，平面：的法向最 移=，求点f到平而二的距离.解：如图，设点耳）为平面二内的己知一点，则向量尺卩在向量厂方向的射 彫的长度就是点f到平面二的距离，记）严苗.所以,将蚌p =（叫-7和卩=他4巧）代入上式即可求得点f到平面二的距离.五、用“向量法”解决平面几何问题举例课标要求：体会平面向量在平面儿何小的作用，初步学会用向量的方法解决简单的 平而儿何问题.例1如图，在平行四边形omc屮，cm |= 6jqb|= 4 s o

14、cf= 8求乙他及zcoa解：设off = ac = s , oa = bc =bvoc = ob+fic=a4-*, = (5+*)-(«+*)f+2fl -*+|*(l a42|a|a |cmzao0-i-ppa 64 = 164-2x4x6xcmzao04-3«y.s=7 zc6m = anxm .同理可求的8例2如图，在皿d中，点是对角线加上的两点，且朋求证:abffcpd证明：设mm砒基底伍易:., - abi/cp主要是平血向量基本定理这-一向量核心内容的应用，向量的自山平移给儿何证明带來 了优势.用向量方法解决平面几何问题的基本步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题屮涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向最问题；通过向最运算，研究几何元素 之间的关系；把运算结果“翻译”成儿何关系.总z,向量是近代数学中垂要和基础的数学概念z