(完整word版)八年级下册数学-二次根式知识点整理(3),推荐文档

1、1 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做 / Lr L LILLI L-inr-l -f L r / -LLL m -L. a的算术平方根。 2、 解不等式(组)：尤其注意当不等式两边乘(除以)冋个负数，不等号方向改变。 如：-2x 4,不等式两边同除以-2得xv -2。不等式组的解集是两个不等式解集的 1 X -2 的解集为-2 0); | a | = - a (av 0) 、 一次根式的概念 般地，我们把形如a (a 0)的式子叫做二次根式， J 称为二次根号 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点: (1) 二次根式的概念是从形式上界定

2、的，必须含有二次根号._7L”，的根指数 为2,即 V ，我们一般省略根指数2,写作宀。如勺5可以写作J5 (2) 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 (3) 式子a表示非负数a的算术平方根，因此a0, a 0。其中a0是a有意 、 T - - - / / 义的前提条件。 (4) 在具体问题中，如果已知二次根式 a ,就意味着给出了 a0这一隐含条件。 (5) 形如b a (a0)的式子也是二次根式，b与a是相乘的关系。要注意当b是分 数时不能写成带分数例如f 2可写成专，但不能写成2 2 12。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？ ( 1). 6 ; (2

3、) -18 ; (3) x2+1 ; (4) 3-8 ; (5) X2+2X+1 ; (6) 3 | x | ; (7) 1+2x (xv - * )2 二当x取什么实数时，下列各式有意义？ (1) 2-5x ; (2) 4X2+4X+1 二二次根式的性质： 二次根式的性 质 付号语言 文字语言 应用与拓展 、八亠 注意 (a 0)的 性质 寸a o (a 0) 一个非负 数的算术 平方根是 非负数。 (1) 二次根式的非负性( 0, a0)应用较多，如 =0,贝U a+仁0, b-3=0，即 a= -1 , b=3；又如pxa+寸ax ,则x的取 值范围是 x-a 0, a-x 0，解得 x

4、=a。 (2) 具有非负性的性质：a2 0; | a | 0;心 0 (a 0)。 (3) 若 a2+ | b | +讥=0 ,则 a=0, b=0, c=0,即若几个非负数的和等 于0,则这几个非负数分别等于0。 寸a (a0)的最 小值为0。 (萌)2(a0) 的性质 (；a )2 = a (a 0) 一个非负 数的算术 平方根的 平方等于 它本身。 正用公式：(寸5 ) 2=5;(Umi+1 ) 2=mi+1;逆用公式：若 a0,贝U a= (&) 2如：2=(承)2, 2=(寸2) 2 逆用公式可以在实数 范围内分解因式，如口 a2-5=a2- ( 5 ) 2 =(a+V5 )

5、(a- V5 ) 需的性质 a = | a | =a (a0) 或 、Ja2 = | a | = -a (av 0) 一个数的 平方的算 术平方根 等于这个 数的绝对 值。 (1)正用公式：弋(3- n 2) =| 3- n| =3- n (2)逆用 公式：建=13、3 =3 化简形如岳的式 子时，先转化为 | a |形式，再根据 a的符号去掉绝对 值号。 练习：计算(1)c 5 )2 (2) (4.3)2 (3) (-62) (4) - (- 8)2 (6) X2-2X+1 + X2-6X+9 (1 x0)与，a2的区别与联系：4 (2 ) 2 表示的意义不 表示非负数a的算术平方根的 表示

6、a的算术平方根 同 平方 取值范围不同 a 0 a为任意实数 区 读法不同 读作根号a的平方或 a 读作根号a2或 a的平方 的算术平方根的平方 的算术平方根 被开方数不冋 被开方数是a 被开方数是a 别 运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方 运算结果，运算 （寸a ） 2 =a,依据平方与开平 依据算术平方根的定义得到 依据不同 方互为逆运算得到 作用不同 （寸） 2 = a （a0）,正向运用可 萌=| a| ,正向运用可以将根号 化简二次根式，逆向运用可以将任意 内的非负因式取算术平方根移到根 一个非负数写成一个数的平方的形 号外，逆用运用可以将根号外的非 式 负因式平方后移到根号内

7、 联系 含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 结果都是非负数；a0时, (石)wa2 三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方） 把数或表示数的字母连 _ o 接起来的式子叫代数式。例：3, x, x+y,寸3X （x0）, -ab , - （t工0, x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（,v,二等） （1）将两个代数式用关系符号（,V,二等）连接起来的式子叫关系式，方程和不 等式都是关系式。如2x+33x-5是关系式。 x_2 / - 练习：下列式子：0;n 22+x=4;三 1;2a+3b;“ 2-x （x a2+

8、” b2+ (a-b) 2+ (b-1 ) 2- (a-1) 2 题型五：a2 = | a |与三角形三边关系的综合应用 在厶ABC中, a, b, c是三角形的三边长， 化简 (a-b+c) 2-2 | c-a-b | 题型六：逆用( ,a ) 2 = a (a0 )在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式：(1) x4-4 ; (2) x4-4x 2+4(1) - x+5- 3-2x ； (3) x-3+一 3+x 7 二次根式的乘除 1、 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、 单项式与单项式相除

9、，把系数与同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 一、 二次根式的乘法法则 a . b = ab (a0, b0)即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 (1) 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数 a, b均为非负数这一条件。 (2) 推广 a . b . c 二 abc (a0, b0, c0)a b . c d 二ac bd 乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 练习：(1)姬 .V7 ；(2)yj! . V256 ；(3)4畅 .yjy 6 V27 .(-2肃) 二、二次根式乘法法则的逆用 ab =

10、a . b (a0, b0)即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时， 先将被开方数进 行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外 注：(1)公式中的a, b可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a 0, b0,实际上, 公式中的a,b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab0即可，如(-4 ) x( -9) 半-4 . -9。 (2)在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广： abcd = “ a . b . c . d (a0, b0, c0, d0) 练习：化简 (1). 300 ;

11、 (2), (-14 )x( -112); (3) 200a5b4c3 ; (4) 132-122 ; (5) 16x4+32x2 三、二次根式的除法法则 a _ b = 8 (a0, b0)即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变9 a 注：(1) a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a, b都是负数，虽然b 0, a有意义，但 a , b在实数范围内无意义；若b=0,则a无意义。 (3) 在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时 二次根式。 推广：（m/a ）1（ ） = （ml n）x（谄 i命）,其中 a 0, b0, 0。 练习：计算(1)48 1,

12、6 ; 四、二次根式除法法则的逆用 a a b =蚯(a0, b0) 注：公式中的a, b可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0, b0。公式中的 a, b是限制公式右边的，对公式的左边，只要b 0即可。例如计算 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的， 在化简被开方数是分数(或分式) 的二次根式时，先将其化为 击-(a0, b0)的形式，然后利用分式的基本性质，分 子和分母同乘上一个适当的因式， 化去分母中的根号即可。当被开方数是 带分数时，应 先把它化成假分数。(2)如果被开方数是 带分数，应先将其化成假分数，如 1 44必须先化成 以 （3）诗 4a3b 1 （ 4b 寸 72

13、a2b 咕 分母中不含 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 -3 -3，不能写为 匸占，而应免出现 二-4 X 这样的错误。 （2） - ,27 -（器 3 ）； -3 4 4 2 3 10 + 八 4 81X 125 练习：化简（1） 59 ； （2）二下厂 五、最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： （1）被开方数中不含分母，因此 被开方数是整数或整式； （2）被开方数中每一个因数或因式的 指数都是1 化简二次根式的一般方法

14、方法 举 将被开方数中能开得尽方 的因数或因式进行开方 边 “4X2 =2寸2, &3y4=/x2y4. x=xyx 化去 根号 下的 分母 若被开方数中含有 带分数，应先将带 分数化成假分数 V 1 f4 /4X3 2厂亠门 忆寸4寸4X3 2厂 HX 3=3肝或吋抵讨3于 若被开方数中含有 小数，应先将小数 化成分数 - /9 / 90 3 / r9 9 V9 xT0 3 i 7。珂100=討0或应寸10盏金X壮詁0 被开方数是多项式的要先 进行因式分解 /x5+2x3y2+xy4/x (x4+2x2y2+y4)刃x (x2+y2) 2= (x2+y2) Qx 练习：下列二次根式中

15、哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。 （1） 03 ； （ 2）11 xy ； （ 3） ；（ 4） ；（ 5）心a+6a2+9a ； （ 6） Q2（x2-y 2）;（ 732n ；（ 8） 拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去 分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将 分子 和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含 二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不 唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a； a+b与 a+b；

16、a-b与a-b ； a+ b与 a- b； a b+c d与 a b-c d等。 练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）. 240;（ 2） 1.25 ;（3） 1;（ 4）. 75a2b- 5 121b 16a2 11 典型例题剖析 题型一：二次根式乘除法法则成立的条件 (1)若x+3. x-3=(x+3) (x-3 )成立，贝) A x 3 B、x -3 C 、-3 x 6 B 、0 x 0 D 、x6 化简：（1） 12ab. 9a3 T ； (2) 412-402; 22 + 3 28X( -5 27)； (2) 2 2 2 a -b x 6a 题型四：利用二次根式的性质把根号外

17、的非负因数 （式）移到根号内 -2a 1 2a； (4) -a (xv0, yv0) 比较大小：（1） 7 2与3 11; (2) -2 11 与-3 5 ,例如3ab与-4ab x-6成立， 计算：（1） 4 (5 a-b b) a 3a+6b (1) 5 5； (2) -3 2; (3) 1 a； (5) x y 12 3、 整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 4、 平方差公式：（a+b） （a-b ） =a2-b2 完全平方公式（a 士 b） 2=a2 2ab+b2 5、 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得1

18、3 的积相力加, 即卩（a+b） （m+n =am+an+bm+bn 一、可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把 括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变 ， 合并的依据是乘法分配律，如 m a+n a= （m+n . a 练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。 二、二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式进行合并。 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3） 合并被开方数相同的二次根式 一将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变 ， 可简记为：化简T判断T合并。 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下: 运算 一次根式的乘除法* 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简 次根式 先化成最简二次根式，再 合并被开方数相同的二次根式 注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们 也是结果的一部分；