二次根式及其有意义的条件

1、初中数学二次根式及其有意义的条件编稿老师徐文涛一校杨雪二校黄楠审核隋冬梅【考点精讲】概念二次根式表示方法有意义的条件1.二次根式：一般地，我们把形如a （a0）的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，“ a”叫做被开方数。2.当 a 0 时，a 表示 a 的算术平方根，因此a 0；当 a0 时，a 表示 0 的算术平方根，因此a 0。这就是说，a （ a 0）是一个非负数。【典例精析】例题 1下列各式中，是二次根式的有（）10 ，x 23，315，5A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个思路导航： 315 的根指数为3；5 的被开方数是负数，所以不是二次根式；10 ，x 23 ，符合二次根

2、式的条件，所以是二次根式的有3 个。答案： C点评： 二次根式必须满足两个条件：根指数为 2；被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。例题 2当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（ 1）(x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3）11x思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式， 那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。答案： 解：（ 1）因为（ x 3） 20，所以无论x 取任何实数，(x 3) 2 都有意义；（ 2）若43x 有意义，则必有43x0，即当 x 4时，4 3x 有意义；3（ 3）若1有意义，则必有x 1

3、0，即当 x 1 时，1有意义。xx11点评： 本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为 0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。例题 3 已知 x、y 为实数， y=x244 x21 ，试求 3x+4y 的值。x 2思路导航： 根号内是非负数，分母不为0 来综合考虑，得到相应的未知字母的值。x 2402是原式分母，答案： 解：依题意得x2，所以 x =4，所以 x=±2，又因为 x 240所以 x20，所以 x2，所以 x= 2，此时， y= 1 ，所以 3x+4y=3× （ 2）+4×

4、;（ 1）44= 7。点评： 用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。【总结提升】1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：（ 1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如3 ，9 ，0.01 。（ 2）“”的根指数为 2，即“ 2”，我们一般省略根指数2，例如 25 写作5 ，而 35 不是二次根式，所以3 5 不能写作5 。2.需要掌握三个具有非负性的式子：a20； |a| 0；a 0（a0）。例如： x1 +（ y 1） 2+|z|=0 ，x1 =0，（ y 1）2=0，|z|=0 ，则 x= 1，y=1，z=0。2a （ a 0）逆用，即 a

5、23.如果将公式aa （ a 0），就可以把一个非负数写成一个数的平方的形式。例如： 32， aba23b 。（ a b 0）a25a2525)( a5) 。这一公式常用在因式分解中，如：(a（答题时间： 20 分钟）1.下列式子中，是二次根式的是（）A. 7B.3 7C.xD.x2.要使a 是二次根式，则应满足的条件是（）bA. a0且 b0B. a0且 b 0C. a 0D. a 0且 b0b1b3.函数 y中自变量的取值范围在数轴上表示为（）x2A.B.C.D.4.使式子( x 5)2有意义的未知数 x 有（ ）个A. 0B. 1C. 2D.无数5.已知12a 是正整数，则实数a 的最大

6、值为（）A. 12B. 11C. 8D. 36.若 m2n 112n 2 ，则 =_， 。7.要使31有意义，则 x 应满足 _。x2 x18.如果49a 的值是一个整数，且是大于1 的数，那么满足条件的最小的整数a=_。9. x 取什么实数时，下列各式有意义？（ 1）3 4x ；（ 2）3x2 ；（ 3）(x 3) 2；（ 4）3x44 3x10. 已知 a、 b、c为实数，且a 3b 2 2c1 0，求 a、 b、c 的值。1. A解析：二次根式满足两个条件：根指数是2；被开方数为非负数，故选A。2. D解析：根据二次根式的意义，被开方数a 0；又根据分式有意义的条件， b0。b3. D 解析：根据题意，得 x 2 0，解得 x 2，在数轴上表示为故选 D。4. B解析：( x5)20 即 ( x5)20 ，所以 x5 0 ，即 x=5，有 1 个值，故选 B。5. B解析：12a 是正整数， 12 a>0， a<12，当 12a 1 时， a=11，即为最大，故选 B。6. m2n1解析： 2n10 ， 1 2n0 ，所以 n12，此时， m= 2。27. 根据题意得： 3x0且 2x 10，解得： 1 x3。28. 49a =7a ，又 7是质数，故要使49a的值是一个整数，且a 也是整数，a是一个完全平方数， a= 1。9.（ 1） x3