整式分式复习资料教学文案

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法 : 同底数幂相乘 , 底数不变 , 指数相加 . 即a m a na m n ( m , n 都是正整数)（2）幂的乘方 : 幂的乘方 : 底数不变 ,指数相乘 . 即(am ) namn ( m , n 都是正整数 )（3）积的乘方 : 先把积中的每一个因式分别乘方, 再把所得的结果相乘 . 即 (ab) na nb n ( n 是正整数 )（4）同底数幂的除法 : 同底数幂相除 , 底数

2、不变 , 指数相减 . （这个也可以看做分式的运算）即ama na m n ( a 0, m ,n 都是正整数，且 m n )零指数幂 : 不等于零的数的零次幂等于1. 即 a01( a 0).推导过程： ama ma m- ma01（这里面注意： a0，因为分母中有 a）负整数指数幂 :不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 ap1p( a 0,p 是正整数 ).a例 1.计算 3(a 3 )32(a 4 ) 2 a解: 3(a 3 ) 32( a4 ) 2 a =3a 92a8 a 3a92a95a9点评 : 在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大

3、括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例 2：0. 252009×420098100×0. 5300解：0. 252009×420098100×0. 5300（ 0. 25×4）2009（23 ）100× 0. 530012009（ 2×0. 5）300300110【知识点二】整式乘法(1) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘 , 对于只在一个单项式里含有的字母, 则连同它的指数作为积的一个因数 . 即： 3a2 b4c× 2x3bc6=(3 ×2)(b

4、4×b)(c ×c6) ×a2× x3 =6a2x3b5c7(2) 单项式乘多项式只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除单项式与多项式相乘 , 就是根据乘法对加法的分配律, 用单项式乘多项式的每一项, 再把所得的积相加 .即： a(m+n)=am+an（单项式计算部分与上面原理相同）(3) 多项式乘多项式多项式与多项式相乘 , 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 , 再把所得的积相加 . （就是反复多用几次乘法分配律） 。即：（ a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。（单项式计算部分与上面原理相同）例 3. 计算： (

5、1) (3a 2b3 c) (2ab 2 ) 2(3a 3b) ； (2)（ 2a3-3a+5）（3-a 2 ）；23解: (1) (3 a 2b3 c)(2 ab2 )2(3a3 b)23= ( 3 a 2b3 c) ( 4 a 2b4 ) (3a3 b)29=3 4(3)(a2 a 2a3 ) (b3b4b) c 2a7b8c2 9(2) （2a3 -3a+5）（3-a 2）=6a32a 59a3a 3155a2=2a59a35a 29a15点评：为防止“漏项”， 应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项； 要正确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；

6、通常情况下，最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】：乘法公式(1) 平方差公式 : 两个数的和与这两个数的积 , 等于这两个数的平方差 .即 a b a b a 2b2 .(2) 完全平方公式 : 两数和 ( 或差 ) 的平方 , 等于它们的平方和 , 加( 或减 ) 它们的积的 2 倍.即:a b 2a22ab b2 ,ab 2a 22abb2例 4.利用乘法公式计算 :4m 32n 4m 32n解:4m 32n4m32n 4m32n 4m3 2n 22= 4m3 2n=16m 29 12n4n2=16m 24n 212n9点评 : 巧妙的将 32n 看作一个整体是解决本题的关键 .【

7、知识点四】 ：整式除法（了解即可，这几年几乎不从这部分里出题）(1) 单项式除以单项式 : 单项式相除 , 把系数、同底数幂分别相除后 , 作为商的因式 ; 对于只在被除式里含有的只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除字母 , 则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2) 多项式除以单项式 : 多项式除以单项式 , 先把这个多项式的每一项分别除以单项式, 再把所得的商相加 .【知识点五】因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 .2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”

8、、“十字相乘法” . （前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不常考，但是用好了会简化许多计算）一、提公因式法 .am+an=a(m+n)二、运用公式法 .a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；三、分组分解法 .把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提公因式或运用公式，然后再进行下一步的因式分解（一）分组后能直接提公因式例 5、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后

9、两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= ( m n)(a b)【注】 分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。（二）分组后能直接运用公式例 6、分解因式： x2y 2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x 2y 2 )(ax ay)= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xya)例 7、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (a 22abb2 ) c2= (

10、ab) 2c2= (abc)( ab c)四、十字相乘法 .（这是因式分解的最精华部分，但是大纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很多）（一）二次项系数为1 的二次三项式2特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 8、分解因式： x2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 从 中 可 以 发 现 只 有2×3 的分解适合，即 2+3=5

11、。解： x 25x 6 = x 212(2 3) x 2 313只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除= ( x 2)( x 3)例 6、分解因式： x2 7x 6解：原式 = x2( 1)( 6) x ( 1)( 6)1-1= ( x1)( x6)1-6（ -1） +（ -6） = -7（二）二次项系数不为1 的二次三项式条件：（ 1） aa1a2（ 2） cc1c2（ 3） b a1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = ( a1 x c1 )(a2 x例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11ax 2bxca

12、1c1a2c2ba1 c2a2 c1c2 )解： 3x211x10 = ( x2)(3x5)（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a2 8ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b2 = a 2 8b ( 16b)a 8b( 16b)= (a 8b)(a 16b)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例 9、 2x27xy 6 y 2例 10、 x 2 y 23xy 21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1

13、)+(-2)= -3解：原式 = (x2 y)( 2x3 y)解：原式 = ( xy1)( xy 2)【典型题】例 1. 设 m2m20，求 m3 3m22000 的值分析：由 m2 m20 无法求 m，所以要把 m33m22000 及 m2 m20 变形原式 m2·m3m2 2000 2m m23m2 2000 2（ m2m） 2000 2× 2 2000 2004评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法例 2. 化简求值： 5（m n）（mn） 2（ mn）2 3（ mn） 2，其中 m 2，n15分析：先应用乘法公式化简，再代入求值解： 5（mn）（mn） 2（m n）

14、 23（m n） 2 5（ m2n2） 2（m2 2mnn2） 3（m2 2mnn2） 5m25n22m24mn2n23m26mn3n2 10n2 2mn只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除1当 m 2， n 5时，原式 10n22mn2n（ 5nm） 2× 15×（ 5×152） 25×（ 3） 65评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确【注】这类习题一定要先化简，在代数求值，以后的分式部分也要这样做例 3. 已知（ a b） 211，（ a b）25，求（ 1） a2b2；（2）ab分析：利用完全平方公式变形即可

15、222解：由（ a b） 11，得 a 2abb 11由（ ab）2 5，得 a2 2abb253，得 4ab 6故 ab 2例 4 abc 的三边 a、b、c 有如下关系式： c 2 a 22ab 2bc 0 ，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解（还有些题是对某部分因式分解）。证明： c 2 a2 2ab 2bc 0，（ a c ）（a c ） 2b （ a c ） 0 ，（ a c）（a 2b c ） 0 又 a、 b、 c 是 abc 的三条边， a 2b c 0 ， a c 0 ，即 a c ， abc 为等腰三角形。例 5 简便计算

16、2001× 19992001× 1999=（2000+1）（2000-1 ）=20002-1 ×2000+1×2000+1×（ -1 ）=20002-1（用平方差公式也可以直接得到这一步）=4000000-1=3999999例 6计算 am+5bn+1·a-m+6bn-1解： am+5bn+1·a-m+6bn-1分析： 无论指数多繁杂同底数幂结合是关键。=(am+5·a-m+6 )(bn+1·bn-1)=am+5-m+6 bn+1+n-1=a11b2n只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站

17、删除例 7计算 (-1)2k+1· (-)2k解： (-1)2k+1· (-)2k分析： (-1)的奇次幂是 -1=(-1)· (-)2 k（ -1）的偶只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除次幂是 +1=-1·()k利用amn(am)n将(-)2k只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除=-()k=变形(-)2k=(-只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除)2 k=()k例8用简便方法计算：(1)(-9)3·(-)3·()3分析： 本题逆用积的乘方公式，即同指数的若干个幂的积

18、等于它们底数乘积之幂。 ambmcm=(abc)m解：(1)(-9)3·(-只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除)3·()3=(-9)(-)() 3=(9××只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除)3 =23=8例 9 如果 2· 8n· 16n=222, 求 n 的值分析： 依据相等的2 个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。解： 2· 8n· 16n=222又左边 =2· 8n· 16n=2· (2 3)n· (24)n=

19、2·23n·24n=21+3n+4n =21+7n 21+7n =222, 1+7n=22 n=3例 10已知 x12, 求 x21的值xx 2解：（ x1）2=x2-2x· 1 +( 1 )2= x2-2+( 1 )2=4xxxx2 1x x 2 =4+2=6例 11 如果 a 2 b 2 2a 4b 50 ，求 a、b 的值解： a2 b 2 2a 4b 5（ a-1）2 （） 2+b+2 =0例 12所以 a- 1=0 b+2=0所以 a=1b=-2两个连续整数的平方差必是奇数解：设这两个连续整数是 n 和 n+1则 这两个数的平方差是（n+1）2 -n 2

20、=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因为 n 是整数所以 2n+1 是奇数则结论成立。分式一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候值为 0；会解分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知识要点【知识点一】分式的基础知识AA1.分式：整式 A除以整式 B，可以表示成B 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 B 为分式若只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除AAAB0，则 B 有意义；若 B=0，则 B 无意义；若 A=0，B0，则 B 0.2分式的基本性质 ：分式的分子与分母都

21、乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为 AA?C ,AAC(C 0).BB ? CBBC3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分4通分 ：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.【注】通分的关键是确定n 个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式例 1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例 2分别求出使下列式子有意义的x 的值。解: 分式有意义，只要分母不为0 就可以只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除第一个： x-3 0x 3第二个： x -3 0 x 3第三个

22、： x20x0例 3如果分式 x3 的值为零，那么 x等于3x9解：依题意得 3x-90 x 3x -3=0x=3综合起来， x=-3 （x=3 的时候分式分母为0，无意义）例 4例 5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。【知识点二】 分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练习，要保证准的基础上，提高速度。】（1）分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系

23、网站删除经观察、类比不难发现例 6（ a2(a - b)2a2- b2b）解：原式 =a(a b)=abb(a - b)例 7.先化简，再求值。【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。】（2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式， 然后再按同分母分式的加减法法则进只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除行计算。例 8例 9【知识点三】分式方程概念：含有分式的等式（

24、方程）叫分式方程。【注】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。 （验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的）验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误； 另一种是把求得未知数的值代入分式的分母， 看分母的值

25、只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。例 10621x 2(x 1)(x 2)解： 方程两边同时乘以 ( x1)(x 2) 得62(x1)( x 1)(x 2)整理，得x 2x60解这个方程，得x 13x 22只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除经检验， x2 是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是x3例 11 年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3 。小丽家去年 12 月份的水费是 15 元，而今年 7 月份的水费则是30 元。已知小丽家今年7 月份的用水量比去年12 月份的用水3量多 5m，求该市今年居民用水的价格。主要的等量关

26、系是：3小丽家今年 7 月份的用水量小丽家去年12 月份的用水量 =5m所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格x 元/ m 3 ，则今年的水价为（ 1+1/3 ）x 元 / m 3，根据题意，得30 15- 5（1 1）x x 3解这个方程，得x=1.5经检验， x=1.5 是所列方程的根。1.5 ×（ 1+1/3 ）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2 元 / m 3。例 12x 21x10x 2x解：原方程变为（x1 ）2+（ x1 ）-2=01xx所以 x=-212xx =x =-1或 x1=1这个方程无解

27、x2是这个方程的跟。经检验， x1=x =-1例 13如果方程xkx2有增根x1, 则 k=_x 211 x解：解这种题，不要先带 x 的值，因为带进去分母为 0，分式无意义，所以，先通分，在通分时，等式两边乘以 0，对等式是没有影响的，所以，原方程可化为：（ x+k ）-x(x+1)=2(x 2-1)整理 3x2-k-2=0此时，带入 x=1，求 k 的值， k=1例 14若 113，求5x3xy5 y 的值 .xyx2xyy解：因为113所以 y-x=3xyxy5x3xy5 y（5 x - y） 3xy5(-3xy)3xy- 12xy12x2xyy=(x - y) - 2xy(-3xy)-

28、 2xy- 5xy5【巩固练习】【整式部分】1、计算：（1）（ 3a 2） 3 ·（ 2a 3 ） 2 ；（2） 3xy 2z·（x 2 y） 2 （3） 21a 2b 3 ÷7a 2 b；（4）7a5b 2 c 3÷（ 3a 3 b）；只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（5）234412）（2 a3 b( x) ( x)2x ( x)( x) x ÷ x（ ）（a - b）634232、若 5n2，4n3，则 20n 的值是；若 2n+116，则 x_.3、已知 (3x 2 y3 ) ? (4xm y4 )(5xy n

29、 )2.4x5y10 求 m、 n 的值4、 (1 1 )(112 )(114 )(118 )115 （提示：用平方差公式）222225、已知 ab9 ， ab 3 ，求 a23abb2 的值6、在长为 a m，宽为 b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为m2 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为 1m的弯曲小路（如图 6），则此时余下草坪的面积为m2 7、若 a、 b、 c 为 ABC的三边，且满足 a2b2 c2 ab acbc，试判断 ABC的形状。8、已知 xy8 ， xy12 ，求：（1） x2 yxy2 （2） x2xyy 2 （3） xy 的值。9

30、、利用因式分解说明： 367612 能被 140 整除10、因式分解（ 1） 2xax 2 yay（ 2） 7a23bab21a（ 3） a2 xa2 y b2 x b2 y ；（ 4） mx mx2n nx（ 5） a2b22ab a21（ 6） (ab)2 (a b)2a 4b4（ 7） y 26y 9x29（ 8） x22xy y2ax ay(9)2x 2-7x 3；(10)6x2-7x-5 ；(11)-3x2 7x-2 ；(12)5x2 6xy-8y2【注】 后四个是用十字相乘法因式分解，尽量做11、已知 xyz0 ，求 (x2y2z2 ) 24y2 z2 的值。12、已知： a、 b、 c 为ABC 的三边，并且满足 a2 (bc)b2 ( ac)c2 (ab)0求证：ABC 是等腰三角形。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【分式部分】1、 已知： 3x-4y-z = 0, 2x+y-8z = 0,求 x 2y2z 2的值 .xyyz2xz