(完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十八讲由中点想到什么

1、N,连结 MN 则 AB 与 MN 的关系是（）第1页（共8页）兰州第十中学数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中 点想到什么？常见的联想路径是：1 中线倍长；2 作直角三角形斜边中线；3.构造中位线；4构造中心对称全等三角形等.熟悉以下基本图形，基本结论：鸟4且例题求解【例 1】 如图，在厶 ABC 中，/ B=2/ C, AD 丄 BC 于 D, M 为 BC 的中点，AB=10cm,贝

2、U MD 勺长为_（“希望杯”邀请赛试题）思路点拨 取 AB 中点 N,为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件.注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：（1） 利用直角三角斜边中线定理；（2） 运用中位线定理；（3）倍长（或折半）法.【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，一组对边 AB=CD 另一组对边 AX BC 分别取 AD BC 的中点 M第2页（共8页）A . AB=MN B . ABMN C. AB ABC 的中线,（2003 年广西中考题）2.如图， ABC 中、BC= a,中点,则旺2（|a）D、E1;分另【J是 A

3、B:若 D3、E3分别是AC 的中点,则D1E1DB E2C 的中点.则a;若 D2、E2分别是 DB E1C 的21 37D3E3(a a) a若 Dn3 32 48En 分另【J是 D-1B、En-1C 的中点,贝UDnEn= （n 1 且 n 为整数）.(200l年山东省济南市中考题）3如图, ABC 边长分别为 AD=14 BC=I6, AC=2Q P 为/ A 的平分线AD 上一点，且 BP 丄 AD, M 为 BC 的中点，则PM 的值是4.如图,梯形 ABCD 中, AD/ BC,对角线 ACL BD, AC=5cm BD=12cm 则该梯形的中位线的长等于cmDMpt第5页（共

4、8页）5.如图，在梯形 ABCD 中, AD/ EF/ GH/ BC, AE=EG=GB=AD=18BC=32 贝 U EF+GH=()A . 40 B . 48 C 50 D . 566. 如图，在梯形 ABCD 中, AD/ BC, E、F 分别是对角线 BD AC 的中点，若 AD=6cm BC=18cm，则 EF 的长 为（）A . 8cm D . 7cm C . 6cm D . 5cm7.如图，矩形纸片 ABC沿 DF 折叠后，点 C 落在 AB 上的 E 点，DE DF 三等分/ ADC AB 的长为 6，则梯 形ABCD 的中位线长为（）A.不能确定B . 23C ., 3D .

5、,3+1（2001 年浙江省宁波市中考题）&已知四边形 ABCD 和对角线 AG BD,顺次连结各边中点得四边形MNPQ 给出以下 6 个命题:若所得四边形MNPQ矩形，则原四边形 ABCD 为菱形；若所得四边形MNPQ菱形，则原四边形 ABCD 为矩形；若所得四边形MNPQ矩形，贝 U AC 丄 BD若所得四边形MNPQ菱形，贝 U AC=BD若所得四边形MNPQ矩形，则/ BAD=90 ;若所得四边形MNPQ菱形，贝 U AB=AD以上命题中，正确的是（）A. B . C .D .（2001 年江苏省苏州市中考题）9.如图，已知 ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE D

6、GL CE, G 为垂足.求证：（1）G是 CE 的中点；（2003 年上海市中考题）10 .如图，已知在正方形 ABCD 中, E 为 DC 上一点，连结 BE,作 CF 丄 BE 于 P,交 AD 于 F 点，若恰好使得AP=AB 求证：E 是 DC 的中点.4 It)An第6页（共8页）11.如图，在梯形/ ABCa n _（1）求证：EF= FB;（第毎、11（2）SBCE能否为 S梯形ABCD的！？若不能，说明理由；若能，求出AB 与 CD 的关系.312 .如图，已知 AGL BD, AF 丄 CE BD CF 分别是/ ABC 和/ ACB 的角平分线,若 BF=2, ED=3

7、GC=4 则厶ABC 的周长为（2002 年四川省竞赛题）13.四边形 ADCD 勺对角线 AC BD 相交于点 F，M N 分别为 AB CD 中点，MN 分别交 BD AC 于 P、Q,/ FPQ=ZFQP 若 BD=1Q 贝 U AC=（重庆市竞赛题）CP 的长是B/ CD 以14 .四边形 ABCD 中, ADBC C、F 分别是 AB CD 的中点，AD BC 的延长线分别与EF 的延长线交于 H、G,则/ AHE / BGE 填“”或“=”或“ ”号)15.如图,在厶 ABC 中,DC=4 BC 边上的中线 AD=2, AB+AC=3V7，贝 U SAABC等于(A.1516.如图

8、,B .旦2正方形 ABCD 中,.2、3AB= 8,D. 口2Q 是 CD 的中点，设/ DAQa,在 CD 上取一点P,使/ BAP= 2a,A. 1 DACED DC 的延长线交 BE 于 F.-.317.如图，已知 A 为 DE 的中点，设 DBG ABC EBC 的面积分别为 Si, S,贝US、S2、Q 之间的关系式是（）A3,、113A.S22（SiS3）B .S22（S3Si）C .S22（SiS3）D .S22（S3Si）18.如图，已知在厶 ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 GA GB 到 E、F,使 DE=DF 过 E、F 分别作 GArGB的垂线，相交于点 P

9、.求证：/ PAE=ZPBF.（2003 年全国初中数学联赛试题 ）19. 如图，梯形 ABCD 中, AD/ BC, AC 丄 BD 于 Q 试判断 AB+CD 与 AD+BC 勺大小，并证明你的结论.（山东省竞赛题）20.已知： ABD 和 ACE 都是直角三角形，且/ ABD2ACE=90 .如图甲，连结 DE,设 M 为 D 正的中点.（1） 求证：MB=M；（2） 设/ BAD=/ CAE 固定 ABD让 Rt ACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB MC 是否还能成立？并证明其结论.（江苏省竞赛题）第MAE)第8页（共8页）DD,垂足分别为 ArB1、CrD.21

10、.如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN 过 ArB CrD4 个顶点分别作 MN 的垂线 AA、BB、CC、(1)求证 AA+ CCi= BBi+DD;(2)如图乙，直线 MN 向上移动，使点A 与点 B、C、D 位于直线 MN 两侧，这时过 A、B、C、D 向直线 MN 引垂线，垂足分别为 A、Bi、C、D,那么 AA、BB、CC、DQ 之间存在什么关系？(3)如图丙，如果将 MN 再向上移动，使其两侧各有 2 个顶点，这时过 A、B C D 向直线 MN 引垂线，垂足分别为 A、B、C、D,那么 AA、BB、CC、DD 之间又存在什么关系？用用图乙用丙3由中点測什么【例求鮮1AZD

11、NM-ZC-Z得J屉第7页(共8页)第10页（共8页）M1& U建姑中点儿连络络Mlf&L血冲点fcM 4(2) FG-y(B+C-fiO. Si-SMBte AG,AF BCT H.K*则NF-嵐几人刃尸恵円為甘-R(5.MHC,FO-y/IK - +( (8KEH)寺MMAC-BCMJJFG.pBCmAin*Ms iiiABEJft其申成R*ntBMJt.fiMR =yAEMtt尺皿卩川、。尺甘掰为四边雜MDE ft边中点BIN边幣PhQR为平轩興爾秋RN.%互相平加VLPQ的中点，A L为WJV的中点.中点丄分辭舟MN曲曲的中必二Ki.y MR& KLyrt.【学

12、力Ml练】y过M UEM交HC廷桧樓于罩燃=HS.C *. C F|-3C-AD)人B S. BK ft PF, D-BE U1.过A 1TAQLAJF：TG评砖长交BT干?鼻?冲BC申贞，可证明 3 阳盜3心IW BGYA寺 CgF：为门中点11* H) )连AE交DC于O.MjAO=EQJ- DC/AH,AEF-iiF建AB=2BC时二*头11. 30 FG-3DE-6fB6-B*CF= A仁1 10 d AD中AE, fttt ME.NK, 11 MF-NE14- AME.ABNF均为尊超三驚最甲三PAEZPHF.|. AB+CDAD+BC AB中点Mm中直M7V.I4 OM= yAB.OJV= yCD. WV= y (AO+ BC),OM4- OMN. -J- Cfi*rD)y(AP+C) )，St AB+COAD+ Bf工心(I)產隹JfV St CE于？由BM=(：M=MV( (2) )MU=MC羽繼卓危，取AD中点0ME申AQHi PBMPCQ.MQ, MP * AECQ MQ -BP,Z BPM=ZWQC曲PBMmQMC碍MB 逐第设它釘变于点O*it OffcOO：丄MM T O. . W A AA, 1M.-V.CC,丄断以A儿#CX：】.从ffll AA +CXt-2OO,，WJlBB1+DD1-=2O