高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 Word版含答案_20210103224748

1、淘宝店铺：漫兮教育第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系知识点一直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫作这条

2、斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_.(2)斜率公式：经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.易误提醒任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x轴垂直，即倾斜角为时，斜率不存在)自测练习1若经过两点a(4,2y1)，b(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()a1b3c0 d2解析：由ktan 1.得42y2.y3.答案：b2如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()ak1<k2<k3bk3<k1<k2ck3<k2<k1dk1<k3<k2解析：由题

3、图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，k1<k3<k2.答案：d知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式axbyc0(a2b20)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式(4

4、)由一般式axbyc0确定斜率k时易忽视判断b是否为0，当b0时，k不存在；当b0时，k.自测练习3过点(1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()a.x3y60b.x3y60c.x3y60d.x3y60解析：直线斜率ktan 30°，直线的点斜式方程为y2(x1)，整理得x3y60，故选b.答案：b4已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()a1 b1c2或1 d2或1解析：由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.a2，解得a2或a1.答案：d考点一直线的倾斜角与斜率|1直线xym0(mr)的倾斜角为()a30°b60°c1

5、50° d120°解析：直线的斜率k，tan .又0<180°，150°.故选c.答案：c2直线l：ax(a1)y20的倾斜角大于45°，则a的取值范围是_解析：当a1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求：当a1时，直线l的斜率为，则有>1或<0，解得1<a<或a<1或a>0.综上可知，实数a的取值范围是(0，)答案：(0，)3(2016·太原模拟)已知点a(2，3)，b(3，2)，直线l过点p(1,1)且与线段ab有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_解析：如图，kpa4，kpb.

6、要使直线l与线段ab有交点，则有k或k4.答案：(，4求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出tan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围注意已知倾斜角的范围，求斜率k的范围时注意下列图象的应用：当ktan ，时的图象如图： 考点二直线的方程|根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<<)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)，即x3y

7、40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程解：当斜率不存在时，所求直线方程为x50，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.考点三直线方程的综合应用|直线

8、方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力归纳起来常见的命题探究角度有：1与最值相结合问题2与导数的几何意义相结合问题3与平面向量相结合问题4与数列相结合问题探究一与最值相结合问题1(2015·高考福建卷)若直线1(a>0，b>0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()a2b3c4 d5解析：法一：因为直线1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以1，所以12(当且仅当ab2时取等号)，所以2.又ab2(当且仅当ab2时取等号)，所以ab4(当且仅当ab2时取等号)，故选c.法

9、二：因为直线1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以1，所以ab(ab)2224(当且仅当ab2时取等号)，故选c.答案：c探究二与导数的几何意义相结合问题2已知函数f(x)x4ln x，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_解析：由f(x)1，则kf(1)3，又f(1)1，故切线方程为y13(x1)，即3xy40.答案：3xy40探究三与平面向量相结合问题3在平面直角坐标平面上，(1,4)，(3,1)，且与在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为()a b.c.或 d.解析：直线l的一个方向向量可设为h(1，k)，由题|14k|3k|，解得k或k，故选c.

10、答案：c探究四与数列相结合问题4已知数列an的通项公式为an(nn*)，其前n项和sn，则直线1与坐标轴所围成三角形的面积为()a36 b45c50 d55解析：由an可知an，sn1，又知sn，1，n9.直线方程为1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×945，故选b.答案：b(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等

11、式等)来解决 17.忽视零截距致误【典例】设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是a1.易误点评本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况防范措施(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致

12、产生漏解(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用跟踪练习若直线过点p(2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为()a1b2c3 d以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为xya，则a213，有一条综上知，直线过点p(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选b.答案：ba组考点能力演练1直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()a.b.c d解析：设直线l的斜率为k，则k.答案：a2在等腰三角形ao

13、b中，aoab，点o(0,0)，a(1,3)，点b在x轴的正半轴上，则直线ab的方程为()ay13(x3) by13(x3)cy33(x1) dy33(x1)解析：因为aoab，所以直线ab的斜率与直线ao的斜率互为相反数，所以kabkoa3，所以直线ab的点斜式方程为：y33(x1)答案：d3直线2xmy13m0，当m变动时，所有直线都通过定点()a. b.c. d.解析：(2x1)m(y3)0恒成立，2x10，y30，x，y3.定点为.答案：d4(2016·海淀一模)已知点a(1,0)，b(cos ，sin )，且|ab|，则直线ab的方程为()ayx或yxbyx或yxcyx1或

14、yx1dyx或yx解析：|ab| ，所以cos ，sin ±，所以kab±，即直线ab的方程为y±(x1)，所以直线ab的方程为yx或yx，选b.答案：b5(2016·贵阳模拟)直线l经过点a(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()a1<k< bk>1或k<ck>或k<1 dk>或k<1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1，令3<1<3，解不等式可得也可以利用数形结合选d.答案：d6(2016·温州模拟)直线3x4

15、yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_.解析：令x0，得y；令y0，得x.则有2，所以k24.答案：247设点a(1,0)，b(1,0)，直线2xyb0与线段ab相交，则b的取值范围是_解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点a(1,0)和点b(1，0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2答案：2,28一条直线经过点a(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析：设直线的斜率为k(k0)，则直线方程为y2k(x2)，由x0知y2k2.由y0知x.由|2k2|1.得k或k2.故直线方程为x2y20或2xy20.答案：x2y20或

16、2xy209已知直线l过点p(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，如图所示，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程解：法一：设直线方程为1(a>0，b>0)，点p(3,2)代入得12，得ab24，从而saboab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，且有a，b(0,23k)，sabo(23k)×(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即abo的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.10已知abc的三个顶

17、点分别为a(3,0)，b(2，1)，c(2,3)，求：(1)bc边所在直线的方程；(2)bc边上中线ad所在直线的方程；(3)bc边的垂直平分线de的方程解：(1)因为直线bc经过b(2,1)和c(2,3)两点，由两点式得bc的方程为，即x2y40.(2)设bc边的中点d的坐标为(x，y)，则x0，y2.bc边的中线ad过点a(3,0)，d(0,2)两点，由截距式得ad所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线bc的斜率k1，则直线bc的垂直平分线de的斜率k22.由(2)知，点d的坐标为(0,2)由点斜式得直线de的方程为y22(x0)，即2xy20.b组高考题型专练1(2014·高考安徽卷)过点p(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()a. b.c. d.解析：法一：如图，过点p作圆的切线pa，pb，切点为a，b.由题意知op2，oa1，则sin ，所以30°，bpa60°.故直线l的倾斜角的取值范围是.选d.法二：设过点p的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1.解得0k.故直线l的倾斜角的取值范