高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6.6 直接证明与间接证明 Word版含答案_20210103224750

1、淘宝店铺：漫兮教育第六节直接证明与间接证明直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点(2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点知识点一直接证明1综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法2分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法易误提醒用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要

2、证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论p，再说明所要证明的数学问题成立自测练习1要证明<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()a综合法b分析法c反证法 d归纳法解析：要证明<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明答案：b2要证：a2b21a2b20，只要证明()a2ab1a2b20ba2b210c.1a2b20d(a21)(b21)0解析：a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案：d知识点二间接证明反证法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法易误提醒利用反证法证明数学问题时，没有用假设

3、命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的自测练习3用反证法证明“如果a>b，那么>”假设内容应是()a. b.<c.且< d.或<解析：假设结论不成立，即>的否定为.答案：d4设a，b，c(，0)，则a，b，c()a都不大于2 b都不小于2c至少有一个不大于2 d至少有一个不小于2解析：因为abc6，所以三者不能都大于2.答案：c考点一综合法的应用|已知a，b，c为不全相等的正数，求证：>3.证明因为a，b，c为不全相等的正数，所以3，>22233，即>3.综合法证题的思路1设数列an的前n项和为sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使

4、得snam，则称an是“h数列”(1)若数列an的前n项和sn2n(nn*)，证明：an是“h数列”；(2)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“h数列”bn和cn，使得anbncn(nn*)成立证明：(1)由已知，当n1时，an1sn1sn2n12n2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数mn1，使得sn2nam.所以an是“h数列”(2)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nn*)令bnna1，cn(n1)(da1)，则anbncn(nn*)下面证bn是“h数列”设bn的前n项和为tn，则tna1(nn*)于是对任意的正整数n，总存在正整数m，使得tn

5、bm，所以bn是“h数列”同理可证cn也是“h数列”所以任意的等差数列an，总存在两个“h数列”bn和cn，使得anbncn(nn*)成立考点二分析法|已知a>0，证明a2.证明要证a2，只需证(2)因为a>0，所以(2)>0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a>0，a2显然成立，所以要证的不等式成立分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2已知a，b，m都是正数，且a<b，求证：>.证明：要证明>，由

6、于a，b，m都是正数，只需证a(bm)<b(am)，只需证am<bm，因为m>0，所以只需证a<b.又已知a<b，所以原不等式成立考点三反证法|等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解(1)由已知得所以d2，故an2n1，snn(n)(2)证明：由(1)，得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因为p，q，rn*，所以所以2pr，

7、(pr)20.所以pr，这与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列反证法证明问题的五个注意点(1)分清问题的条件和结论；(2)假设所要证的结论不成立，而假设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误，即结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)；(5)应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的3已知a1a2a3a4>100，求证：a1，a

8、2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4>100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.13.综合法与分析法证题中的易误点【典例】(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1<abc，证明loga blogb clogc alogb alogc bloga c.证明(1)由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy·

9、(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设loga bx，logb cy，由对数的换底公式得logc a，logb a，logc b，loga cxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy，其中xloga b1，ylogb c1.故由(1)可知所要证明的不等式成立易误点评(1)证明问题(1)有两处易误点：不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形，从而导致无法证明不等式成立(2)证明问题(2)时常因忽

10、视条件“1<abc”而不能挖掘出其隐含条件，即xloga b，ylogb c，从而无法证明不等式防范措施(1)在解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程(2)通过a，b，c的范围得到loga b1，logb c1，联想到x1，y1，从而可令loga bx，logb cy，再利用对数换底公式，把不等式转化为关于x，y的不等式跟踪练习设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数证明：由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x)将x换成x代入上式可得ff，即ff，由偶

11、函数的定义可知f为偶函数a组考点能力演练1已知函数f(x)x，a，b是正实数，af，bf()，cf，则a、b、c的大小关系为()aabcbacbcbca dcba解析：.又f(x)x在r上为减函数ff()f即abc，选a.答案：a2(2016·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且abc0，求证<a”索的因应是()aab>0bac>0c(ab)(ac)>0 d(ab)(ac)<0解析：<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2

12、>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.答案：c3设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x2>0，则f(x1)f(x2)的值()a恒为负值 b恒等于零c恒为正值 d无法确定正负解析：由f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是r上的单调递减函数，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)<0，故选a.答案：a4不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()a成等比数列

13、而非等差数列b成等差数列而非等比数列c既成等差数列又成等比数列d既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列答案：b5(2016·大连模拟)设s是至少含有两个元素的集合，在s上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，bs，对于有序元素对(a，b)，在s中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，bs，有a*(b*a)b，则对任意的a，bs，下列等式中不恒成立的是()a(a*b)*aaba*(b*a)*(a*b)acb*(b*b)b d(a*b)*b*(a*b)b解析：由已知条件可得对任意a，bs，a*(b*a)b

14、，则b*(b*b)b，a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a，(a*b)*b*(a*b)(a*b)*ab，即选项b，c，d中的等式均恒成立，仅选项a中的等式不恒成立故选a.答案：a6(2016·华师附中一模)如果ab>ab，则a，b应满足的条件是_解析：ab>ab()2·()>0a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab7若p，q(a0)，则p，q的大小关系是_解析：p22a722a72，q22a722a72，p2<q2，又p>0，q>0，p<q.答案：p<q8某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义

15、，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|<.那么他的反设应该是_答案：“存在x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|”9已知a，b，m为非零实数，且a2b22m0，12m0.(1)求证：；(2)求证：m.证明：(1)(分析法)要证成立，只需证(a2b2)9，即证149，即证4.根据基本不等式，有2 4成立，所以原不等式成立(2)(综合法)因为a2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.因为a2b2m

16、2>0，2m1>0，所以m.10已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在1,1上的最大值为2，最小值为.求证：a0且<2.证明：假设a0或2.(1)当a0时，由ac0，得f(x)bx，显然b0.由题意得f(x)bx在1,1上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件，得|b|(|b|)2，这与|b|(|b|)0相矛盾，所以a0.(2)当2时，由二次函数的对称轴为x，知f(x)在1,1上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得所以或又ac0，则此时b无解，所以<2.由(1)(2)，得a0且<2.b组高考题型专练1(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()a方程x3axb0没有实根b方程x3axb0至多有一个实根c方程x3axb0至多有两个实根d方程x3axb0恰好有两个实根解析：反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”答案：a2(2013·高考北京卷改编)给定数列a1，a2，an，对i1,2，n1，该数列前i项的最大值