高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4.3 平面向量的数量积 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第三节平面向量的数量积1数量积的定义及长度、角度问题(1)理解数量积的含义及其物理意义(2)了解向量数量积与向量投影的关系(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直2数量积的综合应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题知识点一平面向量的数量积1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作oa，ob，则aob叫作向量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是0°180°，a与b同向时，夹角0°；a与b反向时，夹角180°.(3

2、)向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作ab.2平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数量|a|b|·cos 叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b|a|b|·cos .规定0·a0.当ab时，90°，这时a·b0.(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积易误提醒1两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角2在向量数量积的几何意义中，

3、投影是一个数量，不是向量3在实数运算中，若a，br，则|ab|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|a|·|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|a·b|a|·|b|·|cos |，而|cos |1.必记结论两向量a与b的夹角为锐角cosa，b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角cosa，b<0，且a与b不共线自测练习1. 已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且a·b2，则a与b的夹角为()a. b.c. d.解析：向量a，b满足|a|1，|b|4，且a·b2，设a与b的夹角为，则cos

4、 ，.答案：c2已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2ab)·b()a1 b0c1 d2解析：(2ab)·b2a·bb22|a|·|b|·cosa，b|b|22×1×1×cos 60°10.答案：b3已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()a2 b.c2 d解析：b在a方向上的投影为|b|cos 120°.故选d.答案：d知识点二数量积的性质及坐标运算1向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·ee·a|a|co

5、sa，e(2)aba·b0.(3)a·a|a|2，|a|.(4)cosa，b.(5)|a·b|a|b|.2数量积的运算律(1)交换律：a·bb·a.(2)分配律：(ab)·ca·cb·c.(3)对r，(a·b)(a)·ba·(b)3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|易

6、误提醒1实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若a·ba·c(a0)，则不一定得到bc.2实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线自测练习4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_.解析：mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，(mn)·(mn)(23,3)

7、·(1，1)0，从而3.答案：35已知向量a与b的夹角为120°，|a|1，|b|3，则|5ab|.解析：由a·b|a|·|b|cosa，b1×3×cos 120°，得|5ab| 7.答案：7考点一平面向量数量积的运算|1(2015·高考全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)·a()a1 b0c1 d2解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)·a(1,0)·(1，1)1.答案：c2(2015·高考山东卷)已知菱形abcd的边长为a，abc60°，则

8、·()aa2 ba2c.a2 d.a2解析：在菱形abcd中，所以·()···a2a×a×cos 60°a2a2a2.答案：d3如图，ab是半圆o的直径，c，d是弧ab的三等分点，m，n是线段ab的三等分点，若oa6，则·_.解析：法一：因为·()·()····|·|cos 180°|·|cos 60°|·|·cos 60°|·|·cos 60°4

9、661826.法二：以点o为坐标原点，ab所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则m(2,0)，n(2,0)，c(3,3)，d(3，3)，所以(1,3)，(1,3)，·12726.答案：26向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.考点二平面向量数量积的性质应用|平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题探

10、究角度有：1平面向量的模2平面向量的夹角3平面向量的垂直探究一平面向量的模1(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则|e1e2|()a. b.c1 d.解析：由题意可得e1·e2，所以|e1e2|1.答案：c2已知平面向量a(1，)，|ab|1，则|b|的取值范围是_. 解析：设b(x，y)，则|ab|1，即点(x，y)在圆(x1)2(y)21上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是1,3答案：1,3探究二平面向量的夹角3若向量a与b不共线，a·b0，且cab，则向量a与c的

11、夹角为()a0 b.c. d.解析：c·a·aa·ab·aa·aa·a0，ca，即向量a与c的夹角为，故选d.答案：d4(2015·苏州二模)设向量a(x,2)，b(2,1)，若a，b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为_解析：由题意可得，a·b2x2>0，且x40，故实数x的取值范围为(1,4)(4，)答案：(1,4)(4，)探究三平面向量的垂直5(2015·高考福建卷)设a(1,2)，b(1,1)，cakb，若bc，则实数k值等于()a bc. d.解析：因为c(1k,2k)，b·c0，

12、所以1k2k0，解得k，故选a.答案：a6(2015·高考重庆卷)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()a. b.c. d解析：由条件，得(ab)·(3a2b)3a22b2a·b0，即a·b3a22b2.又|a|b|，所以a·b3·22b2b2，所以cosa，b，所以a，b，故选a.答案：a平面向量数量积求解问题的三个策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方

13、法有：a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，则|a|.考点三平面向量与三角函数的综合应用|在如图所示的平面直角坐标系中，已知点a(1,0)和点b(1，0)，|1，且aocx，其中o为坐标原点(1)若x，设点d为线段oa上的动点，求|的最小值；(2)若x，向量m，n(1cos x，sin x2cos x)，求m·n的最小值及对应的x值解(1)设d(t,0)(0t1)，由题易知c，所以，所以|2tt2t2t12(0t1)，所以当t时，|最小，为.(2)由题意得c(cos x，sin x)，m(cos x1，sin x)，则m·n1cos2x

14、sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin.因为x，所以2x，所以当2x，即x时，sin取得最大值1，所以m·n的最小值为1，此时x.平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(2015·惠州二调)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(

15、2)设函数f(x)a·b，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x ，从而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.8.忽视向量夹角范围致误【典例】设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解因为e1·e2|e1|

16、e2|cos 60°2×1×1，所以(2te17e2)·(e1te2)2te7te(2t27)e1·e28t7t2t272t215t7.因为向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，所以(2te17e2)·(e1te2)<0，即2t215t7<0，解得7<t<.当向量2te17e2与向量e1te2反向时，设2te17e2(e1te2)，<0，则2t27t或t(舍去)因为向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，所以t，故t的取值范围为.易误点评向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角可得

17、(2te17e2)·(e1te2)<0.易忽略，共线反向的情况导致出错防范措施(1)切记向量夹角的范围是0，(2)a与b夹角为锐角a·b>0且a·b1，a与b夹角为钝角a·b<0且a·b1.跟踪练习已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围解：a与ab均为非零向量，且夹角为锐角，a·(ab)>0，即(1,2)·(1，2)>0.(1)2(2)>0.>.当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即当0时，a与ab共线，综上可

18、知，实数的取值范围为(0，).a组考点能力演练1(2015·陕西模拟)设向量a，b满足|ab|，a·b4，则|ab|()a. b2c2 d.解析：|ab|，a·b4，|ab|2|ab|24a·b16，|ab|2，选c.答案：c2对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是()a|a·b|a|b|b|ab|a|b|c(a·b)·ca·(b·c)da·a|a|2解析：法一：因为|a·b|a|b|cosa，b|，只有当a，b共线时，才有|a·b|a|b|，a不正确；因为|ab|a|b

19、|，所以b不正确；向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·ca·(b·c)，c不正确；由数量积的定义可得a·a|a|2，d正确，故选d.法二：令a(1,0)，b(0,1)，c(1,1)，易验证a，b，c错误，故选d.答案：d3(2015·湘潭调研)在三角形abc中，e，f分别为边ab，ac上的点，且2，若|ab|3，|ac|2，a60°，则·等于()a. b.c. d.解析：因为2，所以，所以·()·()·22·×22×32×2×3

20、×，故选a.答案：a4已知o，a，b三点的坐标分别为o(0,0)，a(3,0)，b(0，3)，且p在线段ab上，t(0t1)，则·的最大值为()a. b3c2 d9解析：设p(x，y)，x0,3，则(x3，y)t(3,3)，即t0,1，所以·3x9(1t)0,9，即·的最大值为9.答案：d5已知向量a，b满足|a|，|b|1，且对于任意实数x，不等式|axb|ab|恒成立，设a，b的夹角为，则sin ()a. b.c. d.解析：如图所示，当(ab)b时，对于任意实数x，axb或axb，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，因为(ab)b，|a|，

21、|b|1，所以tan ，tan ，sin .答案：d6已知平面向量a，b满足a·(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角的大小为_解析：因为a·(ab)3，|a|2，|b|1，所以a·(ab)|a|2a·b3，得a·b1.设向量a与b的夹角为，0，则cos ，解得.答案：7(2016·石家庄质检)若a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量ab在向量b方向上的投影为_解析：依题意得(ab)·ba·bb2，因此ab在向量b方向上的投影为.答案：8.在边长为1的正方形abcd中，e，f分别为bc，dc的中点，则

22、·_.解析：因为，·0，所以··221.答案：19已知abc的面积为2，且满足0<·4，和的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()2sin2cos 2的取值范围解：(1)设abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，则由题意得bcsin 2,0<bccos 4，可得tan 1，又0，.(2)f()2sin2cos 2cos 2(1sin 2)cos 2sin 2cos 212sin1，2.22sin13，函数f()的取值范围是2,310.(2015·杭州模拟)设abc是边长为1的正三角形，点p1，p2，p3四等分线段bc(如图所示)(1)求··的值；(2)设动点p在边bc上，请写出一个|的值使·>0，并说明理由；当·取得最小值时，求cospab的值解：(1)原式·()2.(2)写0到(0可取到