专题8.7 立体几何中的向量方法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版

1、专题8.7 立体几何中的向量方法新课程考试要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标

2、系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知识清单】知识点1利用空间向量证明平行问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空

3、间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.知识点2利用空间向量证明垂直问题1. 用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和

4、l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1·v20. 设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu. 设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1·u20.2.共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)知识点3异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点o作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角范围：两异面直线所成角的取值范围是向量求法：设直线a，b的方

5、向向量为a，b，其夹角为，则有.知识点4直线与平面所成角1直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.知识点5二面角1求二面角的大小(1)如图1，ab、cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小(或)知识点6利用向量求空间距离1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)

6、；a(a1，a2，a3)；a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则.2. 点面距的求法如图，设ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离d.【考点分类剖析】考点一 ：利用空间向量证明平行问题【典例1】(湖北高考真题)如图，在棱长为2的正方体

7、中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1） 当时，证明：直线平面.【答案】直线平面.【解析】以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，由已知得，所以，（1）证明：当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法【变式探究】（选自天津高考真题）如图，在三棱锥p-abc中，pa底面abc，.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，pa=ac=4，ab=2. （）求证：mn平面bde；【答案】 （）证明见解析 【解析】如图，以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得a（0，0，

8、0），b（2，0，0），c（0，4，0），p（0，0，4），d（0，0，2），e（0，2，2），m（0，0，1），n（1，2，0）.（）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面bde的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面bde，所以mn/平面bde.【总结提升】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题考点二 ： 利用空间向量证明垂直问题【典例2】（2021·浙江高二期末）已知正方体，是棱的中点，则在棱上

9、存在点，使得（ ）abc平面d平面【答案】b【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，设（，则，因为，所以不可能平行，即不可能平行，又，因此可以垂直，即与可能垂直，设平面的一个法向量为，则，取，则，与不可能平行，因此与平面不可能垂直，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，故选：b【规律方法】用空间向量证明垂直问题的方法【变式探究】在边长是2的正方体-中，分别为的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. (1)求ef的长 (2)证明

10、：平面； (3)证明: 平面.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】 (1)如图建立空间直角坐标系 4分（2） 而 平面 8分（3） 又 平面. 【总结提升】1.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础3.证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直考点三 ： 异面直线所成的角【典例

11、3】（2021·天津高二期末）如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为dd1，bd的中点，点g在cd上，且cgcd.（1）求证：efb1c；（2）求ef与c1g所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解【详解】以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.则e（），（1），（2）由（1）知，设ef与c1g所成角为，则故ef与c1g所成角的余弦值为【特别提醒】提醒：两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异

12、面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角【变式探究】（2021·江苏省苏州第十中学校高一月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为_；异面直线所成角的余弦为_.【答案】； . 【解析】求得，取的中点，由得点是四面体外接球的球心，外接球半径，进而可得外接球的体积；证得平面，建系如图，由空间向量的夹角公式可得结果.【详解】依题意可知，当时，则，取的中点，则；又，则，所以，即点是四面体外接球的球心，外接球半径，故外接球的体积.依题意，当时，则，又，且，所以平面. 以点为原点，为轴，轴建立空间直角坐标系如图.

13、过点作于点，由得，则，所以，又，则，.设异面直线，所成的角为，则.故答案为：；.【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解考点四 ： 直线与平面所成角【典例4】（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，m，n分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）要证，可证，由题意可得，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别

14、求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出【详解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由题意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式探究

15、】（2020·北京高考真题）如图，在正方体中，e为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.考点五 ： 二面角【典例5】（江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中调研数学试题）已知在四棱锥中，平面为的中点.（1）求证;平面;（2）若，求锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析

16、；（2）.【解析】（1）取的中点为，分别连接，证明后可得线面平行；（2）以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】（1）证明：取的中点为，分别连接又因为为的中点，所以，且又因为所以，所以四边形是平行四边形，所以又平面平面 所以平面 （2）解：由题意三条直线两两相互垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，因为在四边形中，所以点在线段的垂直平分线上.又因为所以所以有点，所以设平面的一个法向量，则 令得 易知平面的一个法向量为， 因为，所以 ，所以锐二面角的余弦值为.【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法

17、向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小【变式探究】（2019年高考全国卷理）图1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形，其中ab=1，be=bf=2，fbc=60°，将其沿ab，bc折起使得be与bf重合，连结dg，如图2.（1）证明：图2中的a，c，g，d四点共面，且平面abc平面bcge；（2）求图2中的二面角bcga的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知得

18、adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg确定一个平面，从而a，c，g，d四点共面由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge又因为ab平面abc，所以平面abc平面bcge（2）作ehbc，垂足为h因为eh平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc由已知，菱形bcge的边长为2，ebc=60°，可求得bh=1，eh=以h为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz，则a（1，1，0），c（1，0，0），g（2，0，），=（1，0，），=（2，1，0）设平面acgd的法向量为n=（x，y，z），则即所以可取n=（3，6，）又平面bcge的法向量可取为m=（0，1，0），所以因此二面角bcga的大小为30°考点六 ： 利用向量求空间距离【典例6】（2021·北京高二期末）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求直线