2022届高三数学一轮复习（原卷版）第四章 4.5三角恒等变换-教师版

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角abc中，sin asin b和cos acos b大小不确定(×)(3)若45°，则tan tan 1tan tan .()(4)对任意角都有1sin (sin cos )2.()(5)y3sin x4cos x的最大值是7.(×)(6)在非直角三角形中，tan atan btan ctan atan btan c()2、sin 18°cos 27°cos 18°sin 27°的

2、值是()a. b.c. d答案a解析sin 18°cos 27°cos 18°sin 27°sin(18°27°)sin 45°.3、化简等于()a1 b. c. d2答案c解析原式.4、tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°_.答案解析tan 60°tan(20°40°)，tan 20°tan 40°tan 60°(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40&#

3、176;，原式tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°.5、已知2cos2xsin 2xasin(x)b(a0)，则a_，b_.答案1解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1asin(x)b(a0)，a，b1.作业检查无第2课时阶段训练例1(1)化简：_.(2)若sin()，是第三象限角，则等于()a. bc2 d2答案(1)cos 2x(2)b解析(1)原式cos 2x.(2).sin()sin ，sin .是第三象限角，cos ，故原式.【同步练习】(1)已知cos(x)，则cos xcos(x)_.(2)若，

4、且3cos 2sin，则sin 2的值为()a. b c. d答案(1)1(2)d解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)×()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _.答案解析为锐角，sin .，(0，)，0<<.又sin()<sin ，>，cos().cos cos()cos()cos sin()sin ××.

5、(2)已知tan 2.求tan()的值；求的值解tan()3.1.命题点2给值求角问题例3(1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()a. b.c. d.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_答案(1)c(2)解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin >0.又(，2)，(，2)，.(2)tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin

6、 ，cos ，则_.答案解析，为锐角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.又0<<，.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角【同步练习】(1)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()a. b.c. d.(2)若sin 2，sin()，且，则的值是()a. b.c.或 d.答案(1)c(2)a解析(1)、均为锐角，<<.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin

7、()××().(2)因为，sin 2>0，所以2，所以cos 2且，又因为sin()>0，所以，所以cos()，因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2×()()×，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2()×()×，又，2，所以，故选a.第3课时阶段重难点梳理1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin ，(c()cos()cos_cos_sin_sin_，(c()sin()sin_cos_cos_sin_，(s()sin()sin_cos_

8、cos_sin_，(s()tan()，(t()tan().(t()2二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.【知识拓展】1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.3辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .重点题型训练题型三三角恒等变换的应用例4已知函数f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为x|xk，kzf(x)4tan xcos xcos4si

9、n xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期t.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kz.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.设a，bx|kxk，kz，易知ab.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减【同步练习】(1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为_(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，1si

10、n(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，t.题型五 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用例5 已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，6分因此f(x)的最小正周期为，最大值为.7分(2)当x时，02x，9分从而当02x，即x时，f(x)单调递增，11分当2x，即x时，f(x)单调递减13分综上可知，f(x)在上单调递

11、增；在上单调递减思导总结(1) 解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)常见的配角技巧：2()()，()，()()等二、三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性(3)研究yasin(x)型函数的最值、单调性，

12、可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决作业布置1设tan()，则tan()等于()a2 b2 c4 d4答案c解析因为tan()，所以tan ，故tan()4，故选c.2若cos，则sin 2等于()a. b. c d答案d解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 22×1，故选d.3已知tan 3，则的值等于()a2 b3c4 d6答案d解析2tan 2×36.4已知tan()，且<<0，则等于()a bc d.答案a解析由tan()，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .5设(0，)，(0，)，且t

13、an ，则()a3 b2c3 d2答案b解析由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.6函数f(x)sin(2x)cos(2x)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为()a.，kzb.，kzc.，kzd.，kz答案c解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意知2×k(kz)，k(kz)|，.f(x)2sin.由2k2x2k(kz)，得kxk(kz)故选c.7已知函数f(x)sin xcos xcos2x，xr，则函数f(x)的最小值为_，函数f(x)

14、的单调递增区间为_答案2k，k，kz解析因为f(x)sin 2xsin(2x)1，所以f(x)的最小值为2.令2k2x2k，kz，解得f(x)的单调递增区间为k，k，kz.8若锐角、满足(1tan )(1tan )4，则_.答案解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.9化简：_.答案4解析原式4.10函数f(x)sin x2sin2x (x)的最小值是_答案1解析f(x)sin x(1cos x)2sin(x)1，又x，x，f(x)min2sin 11.11已知2sin tan 3，且0<<.(1)求的值；(2)求函数f(x)4cos xcos(x)

15、在0，上的值域解(1)由已知，得2sin23cos ，则2cos23cos 20，所以cos 或cos 2(舍去)，又因为0<<，所以.(2)由(1)，得f(x)4cos xcos(x)4cos x(cos xsin x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x12sin(2x)，由0x，得2x，所以当x0时，f(x)取得最小值f(0)2，当x时，f(x)取得最大值f()3，所以函数f(x)在0，上的值域为2,3 *12.已知函数f(x)sinsin()(1)求函数f(x)在，0上的单调区间；(2)已知角满足(0，)，2f(2)4f(2)1，求f()的值解f(x)sinsin()sincossin x.(1)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，0(2)2f(2)4f(2)1sin 22sin(2)12sin cos 2(cos2sin2)1cos22sin cos 3sin20(cos 3sin )(cos sin )0.(0，)，cos sin 0tan 1得，f()sin. *13.已知函数f(x)2cos2x12cos xsin x(01)，直线x是f(x)图象的一条对称轴(1)试求的值；(2)已知函数yg(x)的图象是由y