电磁波的传播-第二部分 均匀平面电磁波的反射与透射

1、第四章 电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上（半无界空间）的反射与透射问题；三.在有限空间传播-导行电磁波第二部分 均匀平面电磁波的反射与透射导言：前面讨论了均匀平面波在单一媒质中的传播规律。然而，电磁波在传播过程中不可避免地会碰到不同形状的分界面，为此需研究波在分界面上所遵循的规律和传播特性。为分析方便，我们仅考虑不同介质分界面为无线把平面的情况（即半无界空间）情形。一般说来，电磁波在传播过程中遇到两种不同波阻抗的介质分界面时，在分界面上，将有一部分能量被反射回来，形成反射波；另一部分或透过界面继续传

2、播，形成透射波。本部分主要内容：讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在分界面上的反射与透射问题；学习方法：本部分所要解决的问题是在已知入射波的频率、振幅、极化、传播方向和两介质的介电常数条件下，确定反射波和透射波的。在分界面上，电磁场满足边界条件，所以，问题的实质就是如何利用边界条件求解反射波和透射波。由于任意极化的入射波总可以分解成两个相互垂直的线极化波，所以，我们只讨论线极化均匀平面电磁波向无限大不同介质分界面垂直入射和斜入射的反射和透射。学习要求：掌握如何利用边界条件确定反射波和透射波；记住全空间电磁波表达式（各种情形的）；记住反射、透射系数等。会举一反三，灵活应用。图4.1-1均匀平面波

3、的垂直入射 § 4.1均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射前面讨论了均匀平面波在单一媒质中的传播规律。然而，电磁波在传播过程中不可避免地会碰到不同形状的分界面，为此需研究波在分界面上所遵循的规律和传播特性。为分析简便，假设分界面为无限大的平面，如图4.1-1所示，在分界面上取一点作坐标原点，取z轴与分界面垂直，并由媒质指向媒质。我们把在第一种媒质中投射到分界面的波称为入射波.把透过分界面在第二种媒质中传播的波称为透射波（transmitted wave）,把从分界面上返回到第一种媒质中传播的波称为反射波（reflected wave）.4.1.1对理想导体的垂直入射 设图4.1-1中

4、媒质是理想介质()，媒质是理想导体()，均匀平面波由媒质沿z轴方向向媒质垂直入射，由于电磁波不能穿入理想导体，全部电磁能量都将被边界反射回来。为简便起见，下面讨论线极化波，取电场强度的方向为x轴的正方向，则入射波的一般表达式为 ， （4.1.1-1）式中，为分界面上入射电场的复振幅。在理想导体表面应满足电场切向分量为零的边界条件，因此反射波的电场也将是x方向线极化的，其电磁场表达式为 （4.1.1-2）为处的反射波的电场复振幅。注意上式中反射波向-z方向传播，反射波磁场矢量指向-y方向。（下面只要知道即可知道反射波表达式）利用理想导体表面的边界条件，在处由式（4.1.1-1）和式（4.1.1-

5、2）可得，即故在的媒质中合成波为 (4.1.1-3)瞬时值为 (4.1.1-4)式中是的初相角，电磁波的振幅是 (4.1.1-5)图4.1-2驻波的振幅分布示意图由上式可知: 在（）即处，电场的振幅等于零，而且这些零点的位置都不随时间变化，称为电场的波节点（nodal point）。而在即处，电场的振幅最大，这些最大值的位置也不随时间变化，称为电场的波腹点（loop point）。由式（(4.1.1-5)）画出电磁波的振幅分布如图4.1-2所示。 理想导体表面为电场波节点，电场波腹点和波节点每隔交替出现，两个相邻波节点之间的距离为。磁场强度的波节点对应于电场的波腹点，而磁场强度的波腹点对应于电

6、场的波节点。我们把波节点和波腹点的位置都固定不变的电磁波，称为驻波（standing wave）。 因此，全空间在z=0处被理想导体分割，在z<0的空间，电磁波由入射波和反射波相互叠加的结果，形成驻波。从物理上看，驻波是振幅相等的两个反向波入射波和反射波相互叠加的结果。在电场波腹点，二电场同相叠加，故呈现最大振幅，而在电场波节点，二电场反相叠加，故相消为零。 媒质中的平均功率流密度矢量为 （4.1.1-6） 可见，驻波不传输能量，只存在电场能和磁场能的相互转换。 在z>0的空间，理想导体内，即由于媒质中无电磁场（理想导体内电场、磁场为0），在理想导体表面两侧的磁场切向分量不连续，因

7、而交界面上存在面电流，根据边界条件得理想导体表面的面电流密度为 （4.1.1-7）是入射场的2倍。总结对于线极化波中媒质是理想介质()，垂直入射媒质是理想导体()，电磁波分布情况：在z<0的空间，电磁波由入射波和反射波相互叠加的结果，形成驻波。表达式：，振幅驻波不传输能量，只存在电场能和磁场能的相互转换。在z<0的空间，理想导体内，即由于媒质中无电磁场交界面上存在面电流，面电流密度为是入射场的2倍。以下是入射的平面波是圆极化的，计算方法一样,简单过程如下：如果入射的平面波是圆极化的，以右旋圆极化为例，入射波的电场是 （4.1.1-8a）对理想导体垂直入射，由边界条件可得反射波电场为

8、 （4.1.1-8b）反射波传播方向是-z方向，所以相对于反射波的传播方向，反射波变成了左旋圆极化波。合成电场为 （4.1.1-8c）显然入射波是圆极化波，其合成电场也是驻波。4.1.2对理想介质的垂直入射 参考图4.1-1，设媒质和媒质都是理想介质，即 ，介电常数和磁导率分别是()和()。当x方向线极化的平面波由媒质向媒质垂直入射时，在边界处既有向+z方向传播的透射波，又有向-z方向传播的反射波。由于电场的切向分量在边界面两侧是连续的，反射波和透射波的电场也只有x方向的分量。入射波和反射波的电磁场强度的表达式与式（4.1.1-1）和（4.1.1-2）相同，媒质中的透射波为 （4.1.1-8）

9、式中为处透射波的复振幅。在分界面上，电场、磁场的切向分量连续（因为是理想介质，不同于理想导体，表面没有面电流），于是有 解得 （4.1.1-9）我们定义反射波电场复振幅与入射波电场复振幅的比值为反射系数（reflection coefficient），用 R表示；透射波电场复振幅与入射波电场复振幅的比值为透射系数，用T表示。 （4.1.1-10）于是媒质中合成电场和合成磁场分别为 （4.1.1-11）在媒质中有 （4.1.1-12）因此，电磁波垂直进入两种理想介质，全空间电磁场方程为（4.1.1-11）和（4.1.1-12），分界面上，电磁场连续。下面首先讨论电磁波振幅分布，由式（4.1.1-

10、11）可得 （4.1.1-13）图4.1-3行驻波的振幅分布示意图式中，若，则；若，则；电磁波振幅分布如图4.1-3所示,图中假设,在 即（n=0，1，2，）处，电场振幅达到最小值，为电场波节点，而磁场的振幅达到最大值，有 （4.1.1-14） 而在即处，电场振幅最大，为电场波腹点，磁场振幅最小，有 （4.1.1-15）在电场波腹点处，反射波和入射波的电场同相，因而合成场为最大。而在电场波节点处，反射波和入射波的电场反相，从而形成最小值。这些值的位置都不随时间而变化，具有驻波特性。但反射波的振幅比入射波的振幅小，反射波只与入射波的一部分形成驻波，因而电场振幅最小值不为零而最大值也不到，这时既有

11、驻波成分，又有行波成分，故称之为行驻波，如下式所示 （4.1.1-16）式中第一项: 向+z方向传播的行波，第二项: 驻波。为了反映行驻波状态的驻波成分大小，定义电场振幅的最大值与最小值之比为驻波比（standing wave ratio），用表示 （4.1.1-17a）也可以用驻波比表示反射系数 （4.1.1-17b）下面讨论功率的传输。利用式（4.1.1-17a、b），在媒质中，向-z方向传输的功率密度为 （4.1.1-18a）它等于入射波传输的功率减去反射波向相反方向传输的功率。在媒质中，向+z方向透射的功率密度是 （4.1.1-18b）将反射系数和透射系数的计算公式代入以上两式，可以得

12、出，媒质中在-z方向传输的功率等于媒质中向+z方向透射的功率，符合能量守恒定律。前面学过波阻抗的概念，是针对电磁波向一个方向传播的情况。现在媒质中有双向传播的波同时存在，我们定义电场复振幅与磁场复振幅之比为等效波阻抗 （z<0） （4.1.1-19）等效波阻抗是一个复数，说明电场和磁场相位一般不相同。等效波阻抗用于计算多层媒质的垂直入射问题将带来很大方便。 如果媒质和媒质是有损耗媒质，可用复介电常数代替实数介电常数，上述分析方法仍然适用。例如电磁波由空气垂直入射于良导体表面，将良导体的波阻抗代入式可得反射系数 （4.1.1-20）由该反射系数可求出透射进入导体的功率密度 （4.1.1-2

13、1）式中为入射波的功率流密度矢量。透射进入导体的功率被导体所损耗，由上式可见，频率越高，透射进入导体而损耗的功率越大，该功率由于趋肤效应将集中在导体表面；电导率越大，透射进入导体的损耗功率越小，大部分功率被反射掉，进入导体的功率也集中在导体表面,越大穿透深度越小。 § 4.2均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射图4.2-1平面波的等相位面4.2.1沿任意方向传播的平面电磁波向z方向传播的均匀平面波可表示为 （4.2-1） 因为kz=常数就是z=常数，所以等相位面是垂直于z轴的平面，如图4.2-1a所示，等相位面上任一点的矢径为 ，则等相位面也可表示成常数。因此沿z方向传播的电场可表示成

14、 如果平面波沿任意方向传播，如图4.2-1b，等相位面是 常数的平面，与垂直。仿照上式，可写出电磁波的表达式 其中 （4.2-2） 图4.2-2视在相速式中是传播方向单位矢量的方向余弦，称为传播矢量（Propagation Vector），或波矢量，其方向和模值分别表示电磁波的传播方向和传播常数。由式（4.2-2），沿任意方向传播的平面波可表示为如果取沿z方向的传播常数为，则称为z方向的视在相速。 只表示波的等相位面沿z轴移动的速度，并不表示能量的传播速度，如图4.2-2所示，点的能量是由后面的A点按光速传播而来的，并不是由P点传来的。4.2.2平面波对理想介质的斜入射当电磁波以任意角度入射到

15、平面边界上时,称之为斜入射（oblique incidence）。我们把由入射波传播方向与分界面法线方向组成的平面称为入射平面（plane of incidence）。若入射波电场矢量垂直于入射平面，称为垂直极化波. 若电场矢量平行于入射平面，称为平行极化波（parallel polarized wave）。任意极化的平面波都可以分解为垂直极化波和平行极化波的合成。4.2.2.1垂直极化波的斜入射 如4.2-3垂直极化的入射、反射和透射如图4.2-3所示，设媒质的介质参量分别为()，媒质的介质参量为()。入射平面位于xz平面，电场与入射平面垂直，以入射角入射到理想介质平面上，则入射波的传播方向

16、为. 入射电磁波可表示为 （4.2-3a）反射波和折射波的电场和入射波一样只有y分量这是由入射波和边界条件决定的，垂直极化的入射波只能产生垂直极化的反射波和折射波。 反射波可表示为 其中表示反射波的传播方向。 （4.2-3b） 媒质中的折射波（refracted wave）可表示为 其中 表示折射波传播方向。 （4.2-3c） 在的分界面上，电场的切向分量连续，于是有其中。上式对分界面上任意的x、y都成立，即电场在处空间变化必须相同，上式中的各指数必须相等，因而有 （4.2-4） 式（4.2-4）称为界面相位匹配条件。由等式其中 、 是的方向余弦。在分界面上任意点都成立，于是有 （4.2-5）

17、 上式说明:反射波也在入射平面内，反射角等于入射角，此即反射定律。由式（4.2-3b）后一个等式可得 （4.2-6） 上式称为斯耐尔(Snell)折射定律。由电磁波边界条件推导出的反射定律、折射定律与光学中的相同,这再一次说明光波也是电磁波。由分界面上磁场切向分量连续的边界条件得 由上式和式（6-82a），可解得反射系数和折射系数（refraction coefficient） （4.2-7a） （4.2-7b） 以上两式称为垂直极化波的菲涅耳(A. J. Fresnel)公式。两系数之间的关系如下 （4.2-8） 4.2.2.2平行极化波的斜入射图4.2-4平行极化的入射、反射和透射如图4.

18、2-4，入射波的电场与入射面平行，仿照垂直极化波的分析方法，利用边界条件可以得出相同的反射定律和折射定律。 平行极化波的菲涅耳公式是 （4.2-9a） （4.2-9b） （4.2-9c） 对于非铁磁性媒质，利用折射定律，反射系数、折射系数又可写成式中，称为相对折射率。（4.2-9d） 图4.2-5反射系数模值随入射角的变化图4.2-5画出了时，反射系数的模值随入射角的变化曲线，由图可见，平行极化波的反射系数在某一入射角变为零，即发生全折射现象，无反射。发生全折射时的入射角称为布儒斯特角（Brewster Angle），记为。由式（4.2-9a）分子为零可得 （4.2-10） 对于垂直极化波，若

19、 ，由式（4.2-7a）可得反射系数 （4.2-11）可见，除非 即 ，否则反射系数不为零。因此，只有平行极化波斜入射时才发生全折射现象（针对 而言）。当一个任意极化的波以入射时，反射波中将只存在垂直极化成分，这就是极化滤除效应。4.2.3平面波对理想导体的斜入射4.2.3.1垂直极化波的斜入射图4.2-6对理想导体平面的斜入射 如图4.2-6（a）所示，入射平面位于xz平面，电场与入射平面垂直，以入射角 入射到理想导体平面上，与理想介质分界面斜入射的区别只是在理想导体中电场等于零。由边界条件，得（4.2-12） 左半空间合成电磁波为 （4.2-13） 上式说明在媒质中合成波具有如下特点： (

20、1)合成电磁波是沿x方向传播的平面波。导体表面起着导行电磁波的作用。在传播方向上，无电场分量但存在磁场分量，这种波称为横电波（Transverse Electric wave），记为TE波。沿x方向的相位常数为，则相速图4.2-7. 大于媒质中的光速 ，其实 是沿x方向观察时的“视在相速”，可以大于光速，但这个速度不是能量传播的速度，下面我们将看到，能速仍小于光速。由于其相速大于光速，我们称这种波为快波。(2)合成波在z方向是一驻波。合成波电磁场分量是z的函数，是非均匀平面波。 (3)当时。因此在处插入一导体板，将不会改变原来的场分布。这就是构成平行板波导的原理.如果垂直于y轴再放置两块理想导体平板，由于电场 与该表面垂直,因此也满足边界条件，这样,4块理想导体平板形成矩形波导，传播TE波。 (4)合成波的平均功率流密度矢量为 （4.2-14） 合成的能量只沿着x方向传播。能量传播速度为 （4.2-15） 说明能量沿x方向的传播速度是 沿x轴的分量，即。 (5)导体表面上存在感应面电流。由边界条件可得 （4.2-16）4.2.3.2平行极化波的斜入射如图4.2-6（b）所示，当平行极化波对理想导体表面斜入射时