【知识】二次函数知识点总结

1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【关键字】学问二次函数学问点总结及相关典型题目11² 相关概念及定义第一部分 二次函数根底学问Ø 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数Ø 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项² 二次函数各种形式之间的变换Ø 二次函数用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函数由特别到一般，可分为以

2、下几种形式：；.² 二次函数解析式的表示方法Ø 一般式：（，为常数，）；Ø 顶点式：（，为常数，）；Ø 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.Ø 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.Ø 二次函数的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而增大；x < 0 时， y随

3、 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 x > 0 时，y 随 x 的增大增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值0 ² 二次函数的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a > 0向上(0，c)y 轴性质性质x > 0 时， y 随 x 的增大而增大； x < 0 时， y随 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值xc a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而减小； x < 0 时， y随x的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c² 二

4、次函数的性质：a 的符开口方向顶点坐标对称轴性质号a > 0向上(h ，0)x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随 xx=h的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 a < 0向下(h ，0)x=hx > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随 x的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 性质x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k x > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y

5、 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值k ² 二次函数的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a > 0向上(h ，k )x=ha < 0向下(h ，k )x=h² 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.Ø 的符号打算抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、外形相同.Ø 对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.Ø 顶点坐标坐标：Ø 顶点打算抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.&

6、#178; 抛物线中，与函数图像的关系Ø 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，明显 当a > 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当a < 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大 总结起来， a 打算了抛物线开口的大小和方向， a 的正负打算开口方向， a 的大小决定开口的大小Ø 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下， b 打算了抛物线的对称轴 在a > 0 的前提下，当b > 0 时， -b < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当b = 0 时， - b

7、2a当b < 0 时， - b2a= 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b2a当b = 0 时， - b2a当b < 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来，在a 确定的前提下， b 打算了抛物线对称轴的位置 总结：Ø 常数项c 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标

8、为正； 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来， c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的² 求抛物线的顶点、对称轴的方法Ø 公 式 法 ： y = ax 2+ bx + c =æ+aç xèb ö2 +2a ÷ø4ac - b 2 4a， 顶 点 是（- b4ac - b 2b，2a4a），对称轴是

9、直线 x = - 2a .Ø 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a(x - h)2到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h .+ k 的形式，得Ø 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.² 用待定系数法求二次函数的解析式Ø 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.Ø 顶点式： y = a(x -

10、 h)2+ k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.Ø 交 点 式： 已 知图 像与 x 轴 的 交 点 坐 标 x 1 、 x2 ， 通 常 选 用 交 点 式 ：y = a(x - x1)(x - x ).2² 直线与抛物线的交点Ø y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).Ø 与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h , ah 2 + bh + c ).Ø 抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x

11、 轴的两个交点的横坐标 x 1、 x2 ，是对应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点Û d > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上） Û d = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；没有交点Û d < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.Ø 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax(2 + bx

12、)+ c = k 的两个实数根.()Ø 一次函数 y = kx + nk ¹ 0的图像l 与二次函数 y = ax 2+ bx + ca ¹ 0的图像ì y = kx + ng 的交点，由方程组 íî y = ax2 + bx + c的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时Û l 与g 有两个交点; 方程组只有一组解时Û l 与g 只有一个交点； 方程组无解时Û l 与g 没有交点.Ø 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为a(x ，0)

13、，b(x1，0)，由于 x 、 x212是方程ax 2 + bx + c = 0 的两个根，故x + x= - b , x × x= cab = x112- x=2a12a(x - x )212(x - x )2 - 4x x121 2=æç-÷-b ö2èa ø4cab2 - 4acada=² 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达Ø 关于 x 轴对称y = ax2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx - c ；y =

14、 a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 - k ；Ø 关于 y 轴对称y = ax2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ；y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2 + k ；Ø 关于原点对称y = ax2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )

15、2 - k ；Ø 关于顶点对称b2y = ax2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c -；2ay = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k Ø 关于点(m，n)对称y = a (x - h )2 + k 关于点(m，n)对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - kØ 总结：依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变 化，因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便

16、利运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出 其对称抛物线的表达式² 二次函数图象的平移Ø 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其顶点坐标(h ，k )； 保持抛物线 y = ax2 的外形不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2Ø平

17、移规律向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”² 依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。33Ø 三点式。1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 a（ 的解析式。，0），b（ 2，0），c（0，-3）三点，求抛物线2，已知抛物线y=a(x-1)+4

18、 ， 经过点a（2，3），求抛物线的解析式。Ø 顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为a（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。Ø 交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。12，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=Ø 定点式。a(x-2a)(x-b)的解析式。21，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 y = - 15 - ax 2 +x + 2a - 2 经过 x 轴上一2

19、2定点 q，直线 y = (a - 2)x + 2 经过点q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2 过直线y=mx-2m+2 上的定点a，求抛物线的解析式。Ø 平移式。1， 把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线 y = - x 2 + x - 3 向上平移,使抛物线经过点c(0,2),求抛物线的解析式.Ø 距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1

20、(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x 轴交于a、b 两点，与 轴交于 c 点，且ab=bc,求此抛物线的解析式。Ø 对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 a,b（点 a 在点 b 左边）两点，交 y 轴于点 c,且3ob-oa=oc，求此抛物线的解析式。4Ø 对称式。1， 平行四边形abcd 对角线ac 在 x 轴上，且a（-10，0

21、），ac=16，d（2，6）。ad 交 y 轴于e，将三角形 abc 沿x 轴折叠，点 b 到 b1的位置，求经过 a,b,e 三点的抛物线的解析式。2， 求与抛物线y=x2+4x+3 关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。Ø 切点式。1，已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2Ø 判别式式。+k 的唯一公共点a（2，1）,求抛物线的解析式。1、已知关于 x 的一元二次方程（ m+1）x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3 解析式。2、 已

22、知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如特 y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常数， a ¹ 0) ，特别留意a 不为零那么 y 叫做 x 的二次函数。y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a ¹ 0) 叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 x = - b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方

23、向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1） 先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，并用虚线画出对称轴（2） 求抛物线 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点a,b 及抛物线与 y 轴的交点 c，再找到点 c 的对称点 d。将这五个点按从左到右的挨次连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 c 及对称点 d。由 c、m、d 三点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b，然后顺次连接五

24、点，画出二次函数的图像。学问点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点（1） 一般一般式： y = ax 2（2） 两根当抛物线 y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常数，a ¹ 0)+ bx + c 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2 + bx + c = 0 有 实 根 x和 x12存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式ax 2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) ， 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c可 转 化 为 两 根 式y = a(x - x1)(x -

25、x2) 。假如没有交点，则不能这样表示。a 的确定值越大，抛物线的开口越小,a 的确定值越大，抛物线的开口越小.（3） 三顶点 顶点式： y = a(x - h) 2学问点三、二次函数的最值+ k (a, h, k是常数，a ¹ 0)假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x = - b 时， y2a最值= 4ac - b 2 。4a假如自变量的取值范围是 x1£ x £ x2，那么，首先要看 - b 是否在自变量取值范围2ax£ x £ x12内，若在此范围内，则当x= - b 时， y2a最值= 4ac

26、- b 2 ；若不在此范围内，则4a需要考虑函数在 x1£ x £ x2范围内的增减性，假如在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当x = x2时， y最大= ax 22+ bx2+ c ，当x = x1时， y最小= ax 2 + bx11+ c ；假如在此范围内，y随 x的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x = x1时 ， y最大= ax 21+ bx1+ c ， 当 x = x时 ，2y= ax 2最小2+ bx2+ c 。函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y = ax 2当 a > 0 时开口向上x = 0（ y 轴）（0,0）y = ax 2 + ky =

27、 a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c当 a < 0时开口向下x = 0（ y 轴）x = h(0,k )( h ,0)x = h( h , k )x = -2ab(- b4ac - b 22a，4a)、几种特别的二次函数的图像特征如下：学问点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a ¹ 0)a>0a<0yy图像0x0x（1）抛物线开口向上，并向上无限延长；（1）抛物线开口向下，并向下无限延长；（2）对称轴是 x= - b ，顶点坐标是（ - b2a

28、2a，（2）对称轴是x= - b ，顶点坐标是（- b ，2a2a4ac - b 2）；4a4ac - b 2）；4a（3）在对称轴的左侧，即当 x< - b2a时，y 随 x（3）在对称轴的左侧，即当x< - b 时，y 随性质的增大而减小； 在对称轴的右侧， 即当2ax 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> - b 时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2a右增；x> - b 时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a增右减；（4）抛物线有最低点，当x= - b2a时，y 有最小（4）抛物线有最高点，当 x= - b 时，y 有最2a值， y=4ac - b 24a

29、大值， y=最小值最大值4ac - b 24a2、二次函数 y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常数，a ¹ 0) 中， a、b、c 的含义：a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x= - b2ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。因此一元二次方程中的d = b 2 - 4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当d >0 时，图像与x 轴有两个交点；当d =0 时，图像与x 轴

30、有一个交点； 当d <0 时，图像与x 轴没有交点。学问点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点a 坐标为（x ，y ）点b 坐标为（x ，y ）1122则 ab 间的距离，即线段ab 的长度为 (x1- x )2 + (y21- y )2a20xb学问点五 二次函数y = ax 2+ bx + c 图象的画法Ø 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax2 + bx + c 化为顶点式 y = a(x - h)2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两

31、侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h ，c)、与x 轴的交点(x1，0)， (x2，0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.Ø 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）a、a > 0，b > 0，c > 0b、a < 0，b > 0，c < 0c、a < 0，b < 0，c > 0d、a < 0，b < 0，c < 0、函数 y = ax 2 - a与y = a (a ¹ 0) 在同一坐标系中的图