从第五公设的怀疑到罗氏几何的创建

1、从第五公设的研究到罗氏几何的创建From the study of the parallel postulate to the establishment of the non-Euclideam geomtry 王小燕摘 要：本文简述了历史上人们对第五公设的怀疑和研究，介绍了罗氏几何的诞生和发展，以及在重重阻碍下，几何模型的提出。简单介绍了非欧几何诞生对数学发展的重要意义。【注】非欧几何包含罗氏几何以及黎曼几何，本文提到的非欧几何仅指罗氏几何。 关键词：欧氏几何；第五公设；罗氏几何；克莱因模型；庞加莱模型Key words: Eustachian geometry;fifth postula

2、te;the Luos geometry;the Klein model;the Poincare model 欧几里得的几何原本从公元前三百年建立起，就以其概念清晰、定义明确、公理直观可靠且普遍成立，公设清楚可信且易于想象、公里条目少等等多条优势一统几何天下。无可非议，这部无与伦比的著作总结了前人的结晶，其中确立的科学思维对数学发展贡献是重大的。然而，欧几里得几何并非完美到无懈可击，在公元前3世纪到18世纪，人们在公认其完美的同时也一直对原本中的第五公设的正确性耿耿于怀。在人们的不断探究，失败的证明中，积累了很多的经验，为开启对第五公设的有意义研究，对新几何的建立有重大意义。 第五公设的研究

3、： 对于几何原本第五公设（若一直线与两直线相交，且同侧两相交内角之和小于两直角，则两直线延长后比相交于同侧的一角）的正确性一直受到人们的质疑，长期以来数学家们从两方面对其进行研究。一类尝试是试图寻找一个比较容易接受、更加自然的等价公社来替代它。对于这一类尝试，很多数学家，例如Joseph Fenn 和Legendre等试图寻求不证自明的代替公理，然而往往当数学家们以为他们已经达到了目标，在进一步的检查中看出这些替代公理不是真正让人满意的。普莱菲儿无意中发现的一条替代公设（过直线外一点能且只能做一条直线与已知直线平行）也即是所谓的平行公设，因为其最为简单，因此受到普遍采用，现在中学数学教科书在欧

4、式几何学习部分，也常用这一叙述形式替代第五公设。但是这些替代公设和第五公设一样不好接受、不自然。对于第二类尝试，人们试图从其他九条公理使用直接或间接的办法推导出来。但在18世纪之前并未出现有意义的进展，直到18世纪中叶，萨凯里、兰伯特等的研究才取得进步性的成果。萨凯里在他的Euclides ab Omni Naevo Vindicatus书中，从著名的萨凯里四边形出发，来证明平行公设。其证明如下，有一个等腰双直角四边形ABCD中，如图1，A,B是直角，且AB=CD，容易证明B=C，B和C的关系可能有三种情况：2（1） 直角假设：B和C均为直角； （2） 钝角假设：B和C均为钝角；（3） 锐角假

5、设：B和C均为锐角；可以证明直角假设相当于平行公设的成立，在钝角假设下可以证明有矛盾，因为这时四边形四内角之和大于360°，他分成的两个三角形中至少有一个内角和大于180°。但在绝对几何中已经证明了一切三角形内角和不大于180°，故导出矛盾。 图1 图2萨凯里其次考虑了第三个假设，并证明了许多有趣的定理，他继续进行直到得出如下定理：已知任一点A与一条直线b（图2），在锐角假设下，在过A的直线族中，有两直线p、q，把直线族分成两部分，第一部分包含在b相交的那些直线，第二部分包含的那些直线（在角里面）将在直线b上某处和b有公垂线，直线p与q本身都渐进于b。如果我们把过

6、A任意延长后也不会相交的直线都称为平行线，则过A可以作无穷条与b平行的直线。虽然萨凯里的证明没有得到任何矛盾，但他却发现这个结论与其他结论不大合情理，于是他花大量的篇幅论证锐角假设绝对不真。但在今天看来，锐角假设是成立，它就是罗巴切夫斯基几何的基础之一。将第五公设研究推进一步的是兰伯特，他在对平行公理的研究上和萨凯里一样，考虑一个四边形，他的三个角是直角，并研究第四个角是直角、钝角和锐角的可能性。直角假设仍然给出欧几里得几何，钝角假设会给出矛盾（此处不给证明，可参考齐民友数学与文化第一版134页证明过程）。锐角假设下得到的结论和萨凯里的差不多，但是和萨凯里不同的是，他不认为锐角假设导出的结论是

7、错误的，他曾断定，锐角假设将对虚球面（即半径为虚数的球面）成立。兰伯特不同于萨凯里的认识，最先指出了通过替换平行公设而展开新的几何学的道路。萨凯里、兰伯特实际上已经走到了非欧几何的门槛，但由于时代的限制、欧几里得几何千年传统的束缚，他们并未跨越进去。新几何的诞生需要更强大的创造者。 非欧几何的诞生非欧几何的正式诞生，应归功于高斯、鲍耶、罗巴契夫斯基。正如沃尔夫岗.鲍耶说的那样：“许多东西似乎都有一个时机，时机一到就在几个不同地方被发现，好像春天的紫兰罗处处开放一样。”高斯、鲍耶、罗巴契夫斯基几乎同时单独发现了非欧几何。由于以罗巴切夫斯基的发展最为完善，所以称为罗氏几何。但也不能完全否认高斯和鲍

8、耶的工作贡献。高斯最早在1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，他认识到非欧几何最大的事实是他可以描述物质空间，像欧式几何一样的正确，后者不是物质空间所必然有的几何，它的物质真理不能以先验理由来保证，这种认识不需要任何技术性的数学推导。这种超前的认识对于数学发展起到很大的影响，也是对人们形成的固执观念一个很大的挑战。因此对于自己的成果，高斯一直迟迟未公布。我们可以想象被人们称为“数学王子”的高斯，一身作出杰出贡献的高斯都如此犹豫，一方面体现了他本人做事的严谨性，另一方面也体现了在欧式几何统治的时代，新思想的开辟将需要很大的勇气。既高斯之后，第二个最早发现第五公设不可证的是鲍

9、耶。鲍耶在发现非欧几何后，准备将之公之于众。曾将其成果附录在他父亲的著作上发表，后来因为种种原因，最终晚于罗巴切夫斯基发表其成果。但鲍耶的工作也推动了非欧几何的发展。在三个创始人中，系统发表非欧几何课题研究成果并终身捍卫这一成果的杰出代表当属罗巴切夫斯基，他被誉为几何学上的“哥白尼”。罗巴切夫斯基也是企图证明第五公设，他在萨凯里、兰伯特的工作基础上继续下去。和高斯、鲍耶的思想一样，他引用欧氏几何第五公设的相反断言，过直线外一点可以引不止一条直线与已知直线平行。由此出发进行推导而得到一连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出，这些新定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成一个逻辑上可能的、无矛盾的理

10、论，这个理论就是一种新的几何学-非欧几何。 下面重点介绍罗巴切夫斯基的证明。设给定了直线a和直线外一点A，从A引a的垂直线AB,按照罗巴切夫斯基的基本假设。至少存在两条直线b,b，通过A且不与a相交。（如图3）。他考虑所有过A不与a相交的直线的极限情形，指出这样的极限直线有两条（c和c），并证明了不与a相交，c与c构成了所有不与a相交的直线的边界，在这两条边界直线所成夹角内的所有直线都不与a相交（如图4）。罗巴切夫斯基称c与c为a的“平行线”，而落在角内的所有直线叫不相交直线。如果按照不相交即平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可以引无穷多条直线与已知直线平行。 图3 图4

11、罗巴切夫斯基还将夹角的一半称为“平行角”，因小于两直角，故平行角小于两直角。他还发现平行角是点A到直线a的距离d的函数。若把平行角记作(d)，则(d)=2时，就得到欧氏平行公设，若d0，则(d)单调增加且趋于2，而d时，(d)单调减少且趋于0.罗巴切夫斯基领头开创了几何研究的新方向：比如，第五公设是不能证明的；欧式几何的基础命题加上某条公理的否定公理以后，可以展开成另一种与欧几里得几何不同的、逻辑上完整且富有几何内容的新几何学；几种不同几何学从逻辑上推出的正确命题，在运用到现实空间时，其正确性应该用实验来验证，而不是由逻辑体系本身验证。罗氏几何出了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此

12、凡是涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何如果正确，在罗氏几何中也同样是正确的。例如：（1） 同一直线的垂线和斜线不一定相交；（2） 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷；（3） 不存在相似的多边形；（4） 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆；（5） 三角形的内角和小于两直角，假若三角形变大，三边的高都无限增长，则三个内角都趋于0；（6） 非欧三角形的边角关系(如图5)，主要有：cot(a)=cot(c)sinAsinA=cosBsin(b)sin(c)=sin(a)sin(b). 非欧几何的发展非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路。高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基承认

13、并且证明了平行公设是不能由其他九条公理推导出来的，它是独立的命题，所以采取了一个与之矛盾的公理并发展成为全新的几何。他们相信这样的新几何在逻辑上是相容的，并且相信这个几何和欧氏几何一样正确。但是他们没有证明新几何的逻辑相容性（相容性即是无自身的矛盾）。虽然他们证明过许多定理，而且并未得到显明的矛盾，但是或许能导出矛盾的可能性还是存在的。如果这样的情况发生，则他们创建的非欧几何将完全被否认。由此可见，要巩固并且使更多人接受非欧几何，迫切的需要确实地建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。非欧几何的相容性问题归结起来其实在于欧几里得几何的相容性问题，然而欧几里得几何相容性问题却归结于算术的相容性。3

14、经过了很长一段时间，直到1868年，贝尔特拉米从微分几何理论出发，利用曳物线，构造出一种特殊的曲面-伪球面。伪球面是欧式空间中的一个曲面，由一种特殊的曲线绕渐近线旋转而成。在伪球面上，一个图形可以移动并适当弯曲使之与曲面吻合，正如一个平面图形可以弯曲并与圆柱面吻合一样。贝尔特拉米认为，只要给出恰当的变换，落实平面片段上所以得几何关系与适当的伪球面上的关系就能相符。为此规定，直线段对应于伪球面上的测地线，点距对应于伪球面上连结两点的最短距离。如果两个图形可以比较他们的点，使对应点之间的内蕴几何距离相等，则二者是相等的。因此，在伪球面上普通地测量出长度、角度和面积，就相当于测量出了罗氏几何中的长度

15、、角度、面积。这样罗氏几何学的每一个断言都与伪球面的内蕴几何的直观事实相对应，而欧式几何的相容性、完备性、独立性、实在性、有效性、合理性是自明的，并被公认是无可置疑的。由此要证明非欧几何的相容性问题的方法是找出罗氏几何的欧几里得伪球面模型。为了解决这个问题，数学家们不断寻找罗氏几何的现实模型，这样的模型先后由克莱因、庞加莱给出。其中克莱因模型是借助欧氏几何的圆构造的。他以任一点为中心任意长为半径作一圆，称为基圆。将罗氏平面几何中的“点”定义为圆内通常欧几里得点，在基圆上和基圆外的点不算作第一类东西；将“直线”定义为基圆的弦。术语“属于”和“在之间”，按照欧氏几何的理解去理解。由此可以推导出平面

16、公理以及欧几里得里的其他4条公设和公理以及由此推导出的一切结果都正确。由此罗氏平面几何在克莱因模型中得以实现，例如下面运用克莱因模型证明平行公理。 图6 图7在图上从“点”M向“直线”UV可作：（1）同UV相交的“直线”（例如6），（2）表示罗氏的平行“直线”（MU和MV），（3）织补状角之内的“直线”-罗氏的超平行线。无论是“平行线”或是“超平行线”，一概同已知直线“UV”没有公共“点”（非欧的）。在考虑的模型中罗氏公设是实现的。1 图8 图9除了克莱因模型，庞加莱以欧氏几何为基础材料，在欧氏平面上建立半圆模型，将欧氏几何中的“点”和“线”映射到半平面上，并对“属于”和“在之间”按通常定义理

17、解。由此，对第一组公理1-3，第二组公理14进行了论证，同样将罗氏几何在庞加莱模型中一一实现，例如可以验证罗氏几何中所特有的命题：（1）三角形的三个内角和小于二直角，如图（7）；（2）二超平行直线有一且仅有一垂线，如图（8）；（3）如图无论是什么样的锐角，永远存在此角一边的垂线p，同时平行于另一边b，如图（9）；（4）在等距线上的任意三点不在一直线上，如图（10）；（5）等距线与其底的一切垂线（AA,BB,CC）相直交，如图（11）；（6）圆（周）同通过其圆心的直线直交（图12）等等。 图10 图11 图12到此，罗氏几何找到了可以论证的现实模型，它具有了与欧氏几何同等的真实性。非欧几何的重要

18、意义非欧几何的发展是一个漫长的过程，它的诞生标志着长达两千多年的关于欧氏几何第五公设问题探索取得了突破性的进展，它的思想发展也是数学思想史的革新，他在数学史及科学史上的意义几乎是其他数学知识所无法相比的。正如美国著名数学史家M.克莱因所说：“在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个，非欧几何学，在技术上是最简单的，这个创造引起数学的一些重要分支，但他的最终要影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解，以及它和物质世界的关系的理解，并引出关于数学基础的许多问题，这些问题在20世纪仍然在进行着争论。”4非欧几何的诞生完美的体现了数学知识的增长，包括数学概念的提出、数学命题的证明、数学理论的创建等，是数学发展的重要表现，同时也是人们对数学的不断理解与认识的过程。非欧几何的诞生和发展让人们认识到数学空间与物理空间有着本事的区别，这样的