浅谈数列构造法在数列通项公式求解问题中的应用

1、    浅谈数列“构造法”在数列通项公式求解问题中的应用    李芃可“构造法”是数列求通项公式中的常见题型，也是被广为研究的经典题型，关于此类问题的解法很多，技巧性也强。对我们中学生而言，通过有效例题的练习和归纳，使我们在运算能力、归纳猜想能力、类比转化能力以及运用数学知识分析和解决问题的能力都能有所提升，同时对模型思想加以延伸思考，逐步形成举一反三。笔者结合自己的一点经验，谈谈几点粗浅实践体会。构造数列强调其本身并不是等差或等比数列，但经过适当变形后，可形成一个新数列，而该数列正是等差或等比数列，再根据新数列的特征求出通项公式。以此为出发点，选择模型

2、一作为第一个问题，逐步加深难度，引发思考和探索。模型一：an+1=aan+b，其中nn+，a，b为非零常数，且a1例1.已知数列an满足a1=2，an+1=3an+2（nn+），求数列an通项公式an。提出问题之后，示意我们思考：递推公式中含有一个常数项2和an系数3，若3为1或者2为0，该问题就是简单的等差或等比求通项问题了，正是由于这两个数的引入，使问题复杂化、难度加大。但我们惊奇地发现：若再引入一个常数1，将an+1=3an+2左右两边同时加上1，得到：an+1+1=3an+2+1=3（an+1），于是进一步给出结论：an+1是以首项为3，公比q=3的等比数列，问题迎刃而解。于是提出以下

3、几个问题：（1）模型中，b是一个什么量？（2）你引入的是一个什么量？引入之后有什么结论？b是一个常量，引入1后，该数列会形成一个形如an+1的等比数列，例1得以解答，思考该问题的结论，大胆地给出一个猜想：模型一能否化为an+1+=a（an+）的形式，形成一个形如an+的等比数列，公比q=a，其中为常数。于是，利用待定系数法，验证：令an+1+=a（an+），得：an+1=aan+a-，则a-=b？圯=，所以，存在常数=，使an+为等比数列（首项不为零），公比q=a。模型一的解决是构造问题的基础，由此引发思考：b若不是常数会怎样？如：指数形式、一次函数形式等，带着这样的疑问进入模型二、三、四的研

4、究：模型二：an+1=aan+c·dn，其中nn+，a，c，d为非零常数，且a1，ad模型三：an+1=aan+c·an，其中nn+，a，c为非零常数，且a1模型四：an+1=aan+kn+b，其中nn+，a，k为非零常数，且a1例2.已知数列an满足a1=2，（1）an+1=3an+2·4n（nn+），求数列an通项公式an；（2）an+1=3an+2·3n（nn+），求数列an通项公式an。（3）an+1=3an+2n+1（nn+），求数列an通项公式an。通过对比，模型中的a未做改变，只是不断地变换b的角色：由常数1到2·4n、到2

5、83;3n，再到2n+1，随着这些量的改变，我们的结论是否一成不变呢？复述b=1时的结论，思考这些问题，做类比，提出大胆猜想：是不是b为指数式或一次式就会形成一个形如an+的等比数列呢？其中相应的为指数式或一次式。设法求证以上想法：（1）令an+1+·4n+1=3（an+·4n）an+1=3an+3·4n-·4n+13·4n-·4n+1=2·4n=-2an+1-2·4n+1=3（an-2·4n）（2）令an+1+·3n+1=3（an+·3n）an+1+·3n+1=3an+&#

6、183;3n+1an+1=3an故不存在（3）令an+1+k（n+1）+b=3（an+kn+b）an+1=3an+2kn+2b-k2k=22b-k=1？圯k=1b=1an+1+（n+1）+1=3（an+n+1）發现：对（1）、（3）会形成形如an-2·4n、an+n+1的等比数列，首项均不为零，且公比都为3；而（2）中，由于指数式的底数an与系数3相同，导致方法失效，因此我们应单独将其列出探索新的方法，从指数式与an系数的关系我们发现：将an+1=3an+2·3n两边同时除以3n+1得：+2，会形成一个形如的等差数列，这个结论对我们至关重要，是数列“构造法”的另一个重要内容

7、，综合模型一、二、三、四，我们给出构造思想，对递推公式an+1=aan+b（a为为非零常数，且a1）的数列：（1）b为非零常数时，形成一个形如an+的等比数列，其中=；（2）b为指数式：b=c·dn（ad），形成一个形如an+·dn的等比数列；（3）b为指数式：b=c·an，形成一个形如的等差数列；（4）b为一次式：b=kn+b（k0），形成一个形如an+k1n+b1的等比数列。其中，可构造成等比数列的公比q=a，对式子中出现的，k1，b1，公差均可用待定系数法求解，然后将值带入求数列通项公式。经过上述的探究之后，我们对构造已有一定认识，此时可对模型做进一步的补充和延伸思考：例3.已知数列an满足a1=2，（1）an+1=3an+2·4n+1（nn+），求数列an通项公式an；（2）an+1=3an+2·4n+2n+1（nn+），求数列an通项公式an；从构造的角度出发，例3是之前所讲模型的混合模型，属构造等比数列范畴，因此，运用待定系数法，类比将问题解答，得到自己的收获：会形成一个混合结构的等比数列，公比仍然是q=a。随着构造模型的变化和深入，掌握构造思想尤为重要，使利用数列递推公式运用“构造法”