数值分析、计算方法试题库及答案

1、x x 学年第1 学期计算方法课程考试试卷（ a ）开课二级学院：理学院，考试时间： x 年_ 月_ 日时考试形式：闭卷、开卷，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：题序一二三四五六七总分得分评卷人一、填空（每个空3 分，共 27 分）1，设*2.6718,2.671xx，则*x有 _位有效数字2，*2.8451x是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差*re_ 3，设)6,2,3(x，则1x_，x_ 4，设0)(xf, 则由梯形公式计算的近似值t 和定积分badxxfi)(的值的大小关系为 _ 5, 设(0)1,(1)3,(2)4,(3)2ffff，01 2 3f， ，_ 6, 对点),

2、 2, 1(),(niyxii拟建立模型2bxay，则ba ,满足的正规方程组为_ 7，若ba,满足的正规方程组为：nininiiiiininiiiyxbxaxybxna1112111则xy与之间的关系式为_ 8，对幂法迭代公式)()1(kkaxx当k充分大时有常数s使)()1(kksxx，则a的按模最大的特征值1_ 装订线二、设( 2)0 ,(0)2 ,(2)8fff，求)(xp使)()(iixfxp,)2, 1 , 0(i；又设mxf)(，则估计余项)()()(xpxfxr的大小。 （15 分）三、设(0)1,(0.5)5 ,(1)6 ,(1.5)3 ,(2)2fffff，( )kfm (

3、2,3,4)k，（1）计算20)(dxxf， （2）估计截断误差的大小（12 分）寂涯网络 xxxx 学年第1 学期计算方法课程试卷a 第 1 页 共 4 页寂涯网络 xxxx 学年第1 学期计算方法课程试卷a 第 2 页 共 4 页四、设方程012523xx在 2,1内有实根，试写出迭代公式,2,1,0)(1kxxkk使kx，并说明迭代公式的收敛性。（10 分）五、设有线性方程组bax，其中582,3015515103531ba（1）求alu分解 ; (2) 求方程组的解(3) 判断矩阵a的正定性（ 14 分）装订线寂涯网络 xxxx 学年第1 学期计算方法课程试卷a 第 3 页 共 4 页

4、六、设有线性方程组bax，其中144212441a，试讨论 jacobi 迭代法和gauss-seidel迭代法的收敛性。 （14 分）七、设i jn naa是n阶实对称正定矩阵，a经过一次高斯消元计算变为211aota，其中t为行向量，o是零列向量，试证明2a是对称正定矩阵（8 分）xx xx 学年第 1 学期计算方法课程考试试卷（ b）开课二级学院：理学院，考试时间： xx 年_12_月_31_日时考试形式：闭卷、开卷，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：题序一二三四五六七八总分得分评卷人一、填空（每空3 分，共 27 分）1，牛顿 柯特斯求积公式的系数)3(1c_ 2, 设x的相

5、对误差为，则x的相对误差为_3, 设*4.5585x是经四舍五入得到的近似值，则xx*_ 4, 设(2,2, 8)x，则1x_，x_ 5，对实验数据),2 , 1(),(niyxii拟建立模型1abxy，则,a b满足的正规方程组为_ 6, 若ba,满足的正规方程组为：211242111nniiiinnniiiiiiinax byx ax bx y则xy与之间的关系式为_ 7，若1是1a的按模最大的特征值，则a的按模最小的特征值为_ 8，对幂法迭代公式)()1(kkaxx当k充分大时有常数qp,使六、设方程324100 xx在 2,1内有实根，试写出迭代公式, 2 , 1 ,0)(1kxxkk

6、使kx。 （ 10 分）装订线七、设a是非奇异矩阵，矩阵序列kx满足)2(1kkkaxixx，若1)(0axi，证明：1limaxkk（8 分）xx xx 学年第 1 学期计算方法课程试卷（ a）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级： 07 数学,07 信算 1,2 教师：何满喜一、填空（共 27 分，每空 3 分）1， 3 2，411043， 11 6 4，it5，136，211242111nniiiinnniiiiiiinax byx ax bx y7，1abxy8，s二（共 15 分）、由公式得0010012012(3)( )(),(),()()311(2)(2)22622(

7、 )( )(2) (2)33!168 3(2) (2)366273 3p xf xf xxxxf xxxxxxxxxxxxfr xxx xmmxx xm三（共 12 分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得20)(dxxf4)2()1(2)5.1 ()5.0(4)0(3fffffh=47621h2)(2880),()4(414fhabsfr3hhmm2,144028800213若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8 分，扣除方法分数4 分。四、（10 分）把方程012523xx等价变为以下方程：512xx2 计算方法课程试卷a 参考答案及评分标准

8、第1 页 共3 页,512)(xx取2,)5(1212)(3xx则有2有因此对21x, 1616122)51 (1212)5(1212)(33xx2,)(1是收敛的式所以由定理可知迭代公kkxx即迭代公式512)(1kkkxxx收敛于方程在区间2,1内根上。2五、（14 分）因为13521352,31 01 58310251 53 055055a b5（1）a=lu=5000105311050130013(2) 方程组的解为; 121321xxx3（3） 由于 a=500010531105013001=100010531511105013001所以矩阵a 是对称正定的3六（14 分）、1104

9、4()202 ,440bdda2031bi2所以10)(1b，由定理可知简单（jacobi）迭代法收敛。312100044044()2 100020810 ,244 1000016 24bilu22(3232)0ib2所以2()164 141b，由定理可知seidel 迭代法不收敛。3 计算方法课程试卷a 参考答案及评分标准第2 页 共3 页七（8 分）、证：2a的元素为)1(11111111)1(i jijijjijijiaaaaaaaaaa，因此2a为对称矩阵。2记1001001,11211111niimmlaam，则211211110000aooaaaalltt2对任意 n-1 维非零向

10、量0 x，作ttxx), 0(0，记xlyt1，则0,0ayyyt，2而0,0), 0()()(020020021101111xaxxaxxaooaxxallxxlaxlayytttttttttt，从而2a为正定矩阵。2 计算方法课程试卷a 参考答案及评分标准第3 页 共3 页课程编号： 12000044北京理工大学 2010-2011 学年第一学期xx 级计算机学院数值分析期末试卷a卷班级学号姓名成绩注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。一、填空题（2 02）1.设 x=0.231是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有位

11、有效数字。2.设32,1223xa， a_ _， x _ _，ax_ _ (注意：不计算 ax的值) 。3.非线性方程 f(x)=0 的迭代函数 x= (x)在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。4.若f(x)=x7 x3 1 ， 则f20,21,22,23,24,25,26,27= ，f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 。5.区间a,b上的三次样条插值函数s(x)在a,b上具有直到阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时， 若所求节点靠近首节点， 应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选

12、用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数 ai(x)的特点是：niixa0)(；所以当系数 ai(x)满足，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有效数字。9.对 任 意 初 始 向 量x(0)及 任 意 向 量g ， 线 性 方 程 组 的 迭 代 公 式x(k+1)=bx(k)+g(k=0,1, ) 收 敛 于 方 程 组 的 精 确 解x* 的 充 分 必 要 条 件是。10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是。x 0

13、0.5 1 1.5 2 2.5 y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,n)来实现的，其中的残差 ri，(i=0,1,n)。13. 在非线性方程 f(x)=0 使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x) 的 二 阶 导 数 不 变 号 ， 则 初 始 点x0的 选 取 依 据为。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、迭代计算。二、判断题 (在题目后的 ( )中填上“”或“” 。) （101）1、 若 a 是 n 阶非奇异矩阵， 则线性方程组 axb 一

14、定可以使用高斯消元法求解。( ) 2、 解 非 线 性 方 程 f(x)=0的 牛 顿 迭 代 法 在 单 根x* 附 近 是 平 方 收 敛 的 。( ) 3、 若 a 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式),.,2, 1(1niaanijjijii则 解 线 性 方 程 组ax b的 高 斯 塞 德 尔 迭 代 法 一 定 收 敛 。( ) 4、 样条插值一种分段插值。( ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、 截断误差及舍入误差。( ) 7、 解 线性 方 程 组 的 的 平

15、方根 直 接 解 法 适 用 于任 何 线 性 方 程 组 axb。( ) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。( ) 10 、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。( ) 三、计算题（58+10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5 位)。112123454321321321xxxxxxxxx2、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式p4(x)，并写出其截断误差的表达式(设 f(x)在插值

16、区间上具有直到五阶连续导数)。xi0 1 2 f(xi) 1 -1 3 f (xi) 1 5 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。4、设 y=sinx，当取 x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数 ? 5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.11 0.00 1.50 1.80 f(xi) -1.23 -0.10 1.17 1.58 若用插值

17、法计算， x 约为多少时 f(x)=1。(计算时小数点后保留5 位)。6、应用牛顿法于方程，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 （计算时小数点后保留4 位)。课程编号： 12000044北京理工大学 xx-2010 学年第二学期xx 级计算机学院数值分析期末试卷a卷班级学号姓名成绩注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。四、填空题（ 2 02）15. 设 x=0.231是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有2 位有效数字。16. 设3

18、2,1223xa， a _5 _， x _ 3_，ax_15_ _。17. 非线性方程 f(x)=0 的迭代函数 x= (x)在有解区间满足| (x)| 1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。22. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4 位有效数字。23. 对 任 意 初 始 向 量x(0)及 任 意 向 量g ， 线 性 方 程 组 的 迭 代 公 式x(k+1)=bx(k)+g(k=0,1, ) 收 敛 于 方 程 组 的 精 确 解x* 的 充 分 必 要 条 件 是(b)1 。24. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5 。x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y

19、=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 25. 牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|0 。28. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。五、判断题（ 101）10、若 a 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 axb 一定可以使用高斯消元法求解。( ) 11、解 非线 性方 程 f(x)=0 的牛 顿迭代法 在单 根 x* 附近是平方收 敛的。( ) 12、若 a 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式),.,2,1(1niaanijjijii则 解 线 性 方 程 组ax b的 高 斯 塞 德 尔 迭 代 法 一 定 收 敛 。( ) 13、样条插值一种分段

20、插值。( ) 14、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( ) 15、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。( ) 16、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组axb。( ) 17、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( ) 18、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。( ) 10 、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。( ) 六、计算题（ 510）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。112123454

21、321321321xxxxxxxxx解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：112412345321321321xxxxxxxxxl21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：8.152.06.26.10.42.0123453232321xxxxxxx（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：6.10.42.08.152.06.2123453232321xxxxxxxl32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：38466.00.384628.152.06.212345332321xxxxxx回代得：00010. 199999.500005

22、. 3321xxx2、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式p4(x)，并写出其截断误差的表达式(设 f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi0 1 2 f(xi) 1 -1 3 f (xi) 1 5 解答：做差商表xi f(xi) fxi,xi+1 fxi.xi+1.xi+2 fxi,xi+1,xi+2,xi+3 fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4 0 1 1 -1 -2 1 -1 1 3 2 3 4 3 0 2 3 5 1 -2 -1 p4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) r4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)

23、(x-1)(x-2)(x-2) 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：4、设 y=sinx，当取 x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数 ? 5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.11 0.00 1.50 1.80 f(xi) -1.23 -0.10 1.17 1.58

24、若用插值法计算， x 约为多少时 f(x)=1。(计算时小数点后保留5 位)。6、应用牛顿法于方程，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 （计算时小数点后保留4 位)。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf65843312431432321421xxxxxxxxxxxx65843312431432321421xxxxxxxxxxxx华南农业大学期末考试试卷（a 卷）2007 学年第二学期考试科目：数值分析考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分1 2 3 4 5 6 得分评阅人一、判断题（每小题2 分，共 10 分）1. 用计

25、算机求1000100011nn时，应按照n从小到大的顺序相加。（）2. 为了减少误差 ,应将表达式20011999改写为220011999进行计算。（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2 分，共 36 分）1. 已知数 a 的有效数为0.01 ，则它的绝对误差限为_ ，相对误差限为_. 2. 设1010021,5 ,1301ax则1a_ ，2x_ ，ax_. 3. 已知

26、53( )245 ,f xxxx则 1,1,0f, 3, 2,1,1,2,3f . 4. 为使求积公式1123133( )()(0)()33f x dxa fa fa f的代数精度尽量高，应使1a，2a，3a，此时公式具有次的代数精度。5. n阶方阵 a 的谱半径()a与它的任意一种范数a的关系是. 6. 用迭代法解线性方程组axb时，使迭代公式(1)( )(0,1,2,)kkxmxnk产生的向量序列( )kx收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组axb时，系数矩阵a可以分解为下三角矩阵l和上三角矩阵u的 乘 积 ， 即.al u若 采 用 高 斯 消 元 法 解axb， 其

27、中4221a， 则l_，u_；若使用克劳特消元法解axb，则11u_ ；若使用平方根方法解axb，则11l与11u的大小关系为_ （选填： ， =，不一定）。8. 以步长为1 的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1yxyy的数值解，其迭代公式为_. 三、计算题（第13、6 小题每题8 分，第 4、5 小题每题7 分，共 46 分）1.以02x为初值用牛顿迭代法求方程3( )310f xxx在区间(1,2)内的根，要求（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,x x计算结果取到小数点后4 位） 。2.给定线性方程组1231231230.4

28、0.410.40.820.40.83xxxxxxxxx（1）分别写出用jacobi 和 gauss-seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。3.已知函数( )yf x在如下节点处的函数值x-1 0 1 2 y1 4 3 0 （1）建立以上数据的差分表；（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2( )p x，并计算(1.1)y的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x -1 0 1 2 y 1 2 5 0 5.已知函数( )yf x在以下节点处的函数值

29、，利用差商表求(3)f和(3)f的近似值。6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。22(01,0.2)(0)0yxyxhyx 1 3 4 y 2 1 8 四、 （ 8 分） 已知 n+1 个数据点( ,)(0,1,2, )iix yin，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。华南农业大学期末考试答案及评分标准（a 卷）2007 学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题： （每小题2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题： （每空 2 分，共 36 分）1.0.005或20.510，0.

30、52. 5, 26,153.0,24. 1,0,1,35. ( )aa6.()1m7. 1042, 1,102128. 11()(1)2nnnnnnyyxyxy或11.52.50.5,0,1,2,nnnyxyn三、解答题（第14 小题每题8 分，第 5、6 小题每题7 分，共 46 分）1. （1）证明：3( )31f xxx，由于a) (1)30,(2)10,ffb) 2( )330(1 ,2),fxxxc) ( )60(1,2),fxxx即( )fx在(1,2)上不变号，d) 对于初值02x，满足(2)(2)0,ff所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4 分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

31、312()31()33nnnnnnnnf xxxxxxfxx2 分取初值02x进行迭代，得11.8889,x1 分21.8795.x1 分2. 解： （1）jacobi 迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83kkkkkkkkkxxxxxxxxx2 分gauss-seidel迭代公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83kkkkkkkkkxxxxxxxxx2 分（ 2 ）jacobi迭代 矩 阵 的 特征 方 程 为0.40.40.40.800.40.

32、8， 展 开 得30.960.2560，即(0.8)(0.40.505)(0.40.505)0，从而得123-1.0928,0.8000,0.2928，（或由单调性易判断必有一个大于1 的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以 jacobi 迭代法发散。2 分gauss-seidel迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8，展开得2(0.8320.128)0，解得1230,0.628,0.204,迭代矩阵的谱半径小于 1，所以 gauss-seidel迭代法收敛。2 分3. 解： （1）建立差分表xyy2y3y101214303134222 分（2）建立牛顿后插公式

33、为223202211232214( )()()()!()()()pxxxxxxxx则所求近似值为21 12 79( . ).p3 分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为1221431112312124( )( )()()!()()pxxxxxx xxx则121 12 68( )( . ).p根据事后误差估计法122220 90 91( )()( . )( . )xrxppx故截断误差20 91 12 792 680 04712 1.( . )( .).r3 分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为22012( ).p xaa xa x根据已知数据，得01211 111002,1115124

34、0amaaya2 分则4268268 ,468186m mm y1 分建立法方程组为0124268268468186aaa2 分解得0123.5,1.5,1.5.aaa1 分从而得所求一次最小平方逼近多项式为21( )3.5 1.51.5.p xxx1 分5. 解：设2( )p x为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商1433322281(3)(3)pp22273, 33, 3pp22524,3,33,3,3pp2 分因为二次多项式的二阶差商为常数，又2( )p x是( )f x的插值函数，故有2254,3,33,3,32pp2 分而223, 3754, 3,33

35、42pp，因此得293,32p，1 分由于1()( )! ,knkfxk px x xx，从而得2933 32( ) , ,fp2323 3 35( )! , , .fp2 分6. 解：前进欧拉公式：221(,)0.20.2nnnnnnnyyh f xyyxy 1 分后退欧拉公式：2211111(,)0.20.2nnnnnnnyyh f xyyxy 1 分预估时采用欧拉公式*2210.20.2nnnnyyxy1 分校正时采用后退欧拉公式22*1110.20.2nnnnyyxy1 分由初值000002,.xyh知，节点分别为0.2 , (1,2,3,4,5)ixii当10.2,x*2210000

36、.20.20,yyxy2210110 20 20 008*.yyxy，1 分当20.4,x*2221110.20.20.0160,yyxy2221220 20 20 0401*.yyxy. 1 分当30.6,x*2232220.20.20.0724,yyxy2232330 20 20 1131*.yyxy. 1 分当40.8,x*2243330.20.20.1877,yyxy2243440 20 20 2481*.yyxy. 1 分当51.0,x*2254440.20.20.3884,yyxy2254550 20 20 4783*.yyxy. 四、 （8 分）答： 1、可以建立插值函数：（1）

37、newton 基本差商公式00100121001110()()() ,()() ,()()(),nnnpxf xxxf x xxxxxf xx xxxxxxxf xxx1 分（2）lagrange插值多项式0011( )()()()()niinnlxa f xa f xa f xa f x其中0110110 1()()()(), (, , )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxainxxxxxxxx. 1 分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。2 分2、可以建立拟合函数：2012( )mmmpxaa xa xa x1 分其中系数012,na

38、 a aa满足法方程组m mam y, 200000021111112()1()1,()1mmmmnnnnnaf xyxxxaf xyxxxmayaf xyxxx1 分拟合函数的适用条件是：n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。2 分数值分析模拟试卷1 一、填空（共30 分，每空3 分）1 设1511a，则 a 的谱半径)(a_， a 的条件数)(1acond=_. 2 设,2, 1 ,0, 53)(2kkhxxxfk，则,21nnnxxxf_, ,321nnnnxxxxf， _. 3 设21 ,1210,)(2323xcxbxxxxxxs，是以0， 1

39、， 2 为节点的三次样条函数，则b=_,c=_. 4 设0)(kkxq是区间 0，1上权函数为xx)(的最高项系数为1 的正交多项式族，其中1)(0 xq，则10)(dxxxqk_，)(2xq_. 5 设11001aaaaa，当a_时，必有分解式，其中 l 为下三角阵，当其对角线元素)3 ,2, 1(ilii满足条件 _时，这种分解是唯一的. 二、 （ 14 分） 设49, 1,41,)(21023xxxxxf, （1） 试求)(xf在49,41上的三次 hermite 插值多项式)(xh使满足2, 1 , 0),()(ixfxhii，)()(11xfxh. （2）写出余项)()()(xhxf

40、xr的表达式 . 三、 （ 14 分） 设有解方程0cos2312xx的迭代公式为nnxxcos3241，（1） 证明rx0均有xxnxlim（x为方程的根） ；（2） 取40 x，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、 (16 分) 试确定常数a，b，c 和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为gauss型的？五、 （15 分）设有常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy，试用taylor 展开原理构造形如)()(11011nnnnnffhyyy的方法， 使其具有二阶

41、精度，并推导其局部截断误差主项 . 六、 （ 15 分）已知方程组bax，其中21,13 .021ba，（1） 试讨论用jacobi 迭代法和gauss-seidel迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(baxaxxkkk，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、 （ 8 分） 方程组，其中， a 是对称的且非奇异.设 a 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1和2分别为 a 的按模最大和最小的特征值. 数值分析模拟试卷2 填空题（每空2 分，共 30 分）1.近似数231.0 x关于真值229.0 x有_位有

42、效数字；2.设)(xf可微，求方程)(xfx根的牛顿迭代格式是_ ；3.对1)(3xxxf，差商3,2, 1 ,0 f_；4,3 ,2 ,1 ,0f_；4.已知1223,)3, 2(ax，则| ax_，)(1acond_ ；5.用二分法求方程01)(3xxxf在区间 0,1 内的根，进行一步后根所在区间为_，进行二步后根所在区间为_；6.求解线性方程组04511532121xxxx的高斯赛德尔迭代格式为_ ； 该 迭 代 格 式 迭 代 矩 阵 的 谱 半 径)(g_；7.为使两点数值求积公式：111100)()()(xfxfdxxf具有最高的代数精确度，其求积节点应为0 x_ , 1x_,1

43、0_. 8.求 积 公 式)2()1 (23)(30ffdxxf是 否 是 插 值 型 的 _ ， 其 代 数 精 度 为_。二、 （ 12 分） (1)设lua，其中l为下三角阵，u为单位上三角阵。已知2100121001210012a，求l，u。(2)设a为66矩阵，将a进行三角分解：lua，l为单位下三角阵，u为上三角阵，试写出l中的元素65l和u中的元素56u的计算公式。三、 （ 12 分）设函数)(xf在区间 0,3上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3 的多项式)(xh，满足3)1 ()1(, 1)2()2(,1)1()1 (,0)0()0(fhfhfhfh，并写出插值余项。（

44、12 分）线性方程组22112122bxxbxx（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。（2） 设2，给定松弛因子21，请写出解此方程组的sor 方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、 （ 7 分）改写方程042xx为2ln/)4ln(xx的形式，问能否用迭代法求所给方程在 1,2内的实根？六、 （ 7分）证明解方程0)(23ax求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、 （ 12 分）已知.43,21,41210 xxx（1）推导以这3个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；（3） 用所求公式计算102dxx。八、 （ 8 分）若inxxx

45、xxxxxf),()()(10互异，求,10pxxxf的值，这里.1np数值分析模拟试卷3 一、填空题（每空3 分，共 30 分）1设1234)(248xxxxf，则差商2,2,2810f；2在用松弛法(sor) 解线性方程组bax时，若松弛因子满足1|1|，则迭代法；3设, 0)(, 0)(*xfxf要使求*x的newton迭代法至少三阶收敛，)(xf需要满足；4. 设)133)(2()(23xxxxxf,用 newton 迭代法求21x具有二阶收敛的迭代格式为 _ ；求12x具有二阶收敛的迭代格式为_；5已知1327a，则)(a_,)(acond_ 6. 若1x，改变计算式1lglg2xx

46、=_，使计算结果更为精确；7过节点) 3, 2, 1 , 0(,3ixxii的插值多项式为_ ；8. 利用抛物 (simpson)公式求212dxx= 。二、 （ 14 分）已知方阵123111122a，(1) 证明：a 不能被分解成一个单位下三角阵l 和一个上三角阵u 的乘积；(2) 给出 a 的选主元的doolittle 分解，并求出排列阵；(3) 用上述分解求解方程组bax，其中tb)4, 2, 5.3(。三、 （ 12 分）设函数)(xf在区间 0,3上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3 的多项式)(xh，满足40)1()1(,10) 1()1 (,1) 1()1(,0)0()0

47、(fhfhfhfh，并写出插值余项。四、（ 10 分）证明对任意的初值0 x，迭代格式nnxxcos1均收敛于方程xxcos的根，且具有线性收敛速度。五、（ 12 分）在区间 -1,1 上给定函数14)(3xxf，求其在, 12xxspan中关于权函数1)(x的最佳平方逼近多项式。 （可用数据：2123)(,)(, 1)(2210 xxpxxpxp）六、 (12分)(1)试导出切比雪夫(chebyshev)正交多项式)1 , 1, 2, 1 , 0)(arccoscos()(xnxnxtn的三项递推关系式：),2 ,1()()(2)(,)(, 1)(1110nxtxxtxtxxtxtnnn（2

48、）用高斯切比雪夫求积公式计算积分dxxxxi202)2(1，问当节点数n取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。七、 （ 10 分）验证对)1(,)1(),(),()(2,13121311hktyhtxfkthkythxfkyxfkkkhyytnnnnnnnn为 2 阶格式 . 参考答案1 一、 16)(a，)(1acond=6. 2,21nnnxxxf=3，,321nnnnxxxxf，=0. 3b=2，c=3. 40,00,21kk；10356)(22xxxq.5)3,2, 1(0);21,21(ilaii二、 (1) 25145023345026322514)(23xxxxh(2) ).4

49、9,41(),49()1)(41(169!41)(225xxxxr三、（1）32l;（2）347.3x;（ 3）线性收敛 .四、512,916,910bca;求积公式具有5 次代数精度，是gauss 型的 . 五、41472110，；截断误差主项为)(833nxyh. 六、 （ 1）, 16 . 0)(,6.0)(gsjbb因此两种迭代法均收敛. （2）当06.011a时，该迭代公式收敛.参考答案2 一、 12 2), 1 , 0()()(1nxfxfxxnnnn31, 0 47, 7255)43,21(),1 ,21(6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx

50、7. 32,3210 xx; 1 8. 是, 1 二、 (1) 1000431000321000211,4510003410002310002ul(2) )(;)(4654356532652165155565545643563256215616565ululululauuululululal三、)2()1(! 4)()(),2)(1(2)(2)4(xxxfxrxxxxxh四、 (1) )1(12)1(2)(21)1(12kkkkxbxxbx, 1时收敛(2) )1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212kkkkkkxxbxxxbx, 收敛五、收敛七、 （ 1）)43(32)21(

51、31)41(32fff（2） 2 (3)31八、110时为时为n，pnp参考答案3 一、 14 2发散30)(*xf4), 1 , 0()()(1nxfxfxxnnnn,), 1 , 0()()(31nxfxfxxnnnn52608, 49 6.1lg2xx7. 3x8. 37二、 (2) 先交换 2、3 两行，交换1、2 两行，010001100,5 .0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001pul(3) )5 .4, 1 ,5 .1(三、3)4(2)1(! 4)()(,)1(9)1(11)(xxfxrxxxxxxh五、10512pp六、1n，21.

52、已知325413. 0,325413*2*1xx都有 6 位有效数字，求绝对误差限。（4 分）解：由已知可知 ,n=6 5.01021,0,6,10325413.0016*1绝对误差限nkkx2 分620*21021,6,0,10325413.0绝对误差限nkkx2 分2.已知001a220440求21,aaa（6 分）解：,88, 4 , 1max1a1 分, 66 ,6, 1maxa1 分aaatmax21 分001aat420420001220440=00108032002 分3232,8 , 1max)(maxaat1 分24322a3.设32)()(axxf（6 分）写出 f(x)=

53、0 解的 newton 迭代格式当 a 为何值时，)(1kkxx（k=0,1）产生的序列kx收敛于2解：newton 迭代格式为：xaxxxaxaxxaxxxfxfxxkkkkkkkkkk665)(665)(6)()( )(22321 3分时迭代收敛即当222, 11210)2( ,665)( 2aaxax 3分4.给 定 线 性 方 程 组ax=b ， 其 中 ：13a22，13b用 迭 代 公 式)()()()1(kkkaxbxx（k=0,1）求解ax=b ，问取什么实数，可使迭代收敛（8 分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为21231aib2 分其特征方程为0)21 (2)31 (bi2 分

54、即，解得41,1212 分要使其满足题意，须使1)(b，当且仅当5 .002 分5.设方程 ax=b ，其中211a212112，765b试讨论解此方程的jacobi 迭代法的收敛性，并建立gauss-seidel迭代格式（9 分）解：udla210)(1uldbj2020123 分0, 03213jbi2 分即10)(jb，由此可知jacobi 迭代收敛1 分gauss-seidel迭代格式：)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225kkkkkkkkkxxxxxxxxx（k=0,1,2,3）3 分6.用 doolittle 分解计算下列3 个线性代数方程

55、组：iibax（ i=1,2,3）其中222a331421，23121,974xbxbb（12 分）解：11bax2223314219741xa=111110100002021211=lu 3 分由 ly=b1，即111110100y=974得 y=2341 分由 ux1=y ，即002021211x1=234得 x1=1112 分22bax222331421x2=111由 ly=b2=x1 ，即111110100y=111得 y=0011 分由 ux2=y ，即002021211x2=001得 x2=005.02 分33bax222331421x3=005 .0由 ly=b3=x2 ，即11

56、1110100y=005.0得 y=05 .05.01 分由 ux3=y ，即002021211x3=05.05.0得 x3=025.0375.02 分7.已知函数y=f(x) 有关数据如下：要求一次数不超过3 的 h 插值多项式，使1133)(,)(yxhyxhii（6 分）解：作重点的差分表，如下：3 分21021101011001003)(,)(,)(,)(xxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxh=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) =232xx3 分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用newton 前插公式给出它的插值多项式（7 分）解：由已知

57、条件可作差分表，3 分iihxxi0（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则newton 向前插值公式为：033210022100003! 3)()(!2)(! 1)()(fhxxxxxxfhxxxxfhxxfxn=4+5x+x(x-1) =442xx4 分9.求 f(x)=x 在 -1,1上的二次最佳平方逼近多项式)(2xp，并求出平方误差（8 分）解：令22102)(xaxaaxp2 分取 m=1, n=x, k=2x,计算得：(m,m)=dx111=0 (m,n)= dxx11=1 (m,k)= dxx112=0 (n,k)= dxx113=0.5 (k,k)= dxx114=0 (m,

58、y)= dxx11=1 (n,y)= dxx112=0 (k,y)= dxx113=0.5 得方程组：5.05.005.011201aaaa3 分解之得caaca2, 1,210（c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cxxcxp1 分平方误差：32),(202222222iiiyafpf2 分10. 已知如下数据： 用复合梯形公式，复合 simpson 公式计算10214dxx的近似值 （保留小数点后三位）（8 分）解：用复合梯形公式：)1()87()43()85()21()83()41()81(2)0(1618ffffffffft=3.139 4 分用复合 simps

59、on 公式：)1 ()43()21()41( 2)87()85()83()81(4)0(2414fffffffffs=3.142 4 分11. 计算积分20sin xdxi，若用复合 simpson 公式要使误差不超过51021， 问区间2,0要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间2,0应分为多少等分? （10分）解： 由 simpson公式余项及xxfxxfsin)(,sin)()4(得544)4(2041021)1()4(360)(max)4(1802)(nxfnfrxn 2分即08.5,6654nn，取 n=6 2分即区间2,0分为 12 等分可使误差不超过51021 1

60、分对梯形公式同样1)( max20 xfx，由余项公式得51021)2(122)(nfrn2 分即255, 2.254nn取 2分即区间2,0分为 510等分可使误差不超过51021 1分12. 用改进 euler 格式求解初值问题：1)1 (0sin2yxyyy要求取步长h 为 0.1， 计算 y （1.1）的近似值（保留小数点后三位）提示： sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6 分）解：改进 euler 格式为：),(),(2),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy2 分于是有)sinsin(05.0)sin(1 .012112121nnnnnnnnnn