高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.3 圆的方程 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第三节圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素(2)掌握圆的标准方程与一般方程知识点一圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心c(a，b)半径为r一般,x2y2dxeyf0充要条件：d2e24f>0圆心坐标：半径r易误提醒(1)标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)中易忽视右端为半径r的平方，而不是半径(2)对于方程x2y2dxeyf0表示圆时易忽视d2e24f>0这一成立条件必备方法求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中

2、垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线自测练习1圆x2y24x8y50的圆心与半径分别为()a(2,4)，5b(2，4)，5c(2,4)， d(2，4)，解析：圆心坐标为(2，4)，半径r 5.答案：b2圆心在直线x2y30上，且过点a(2，3)，b(2，5)的圆的方程为_解析：法一：设点c为圆心，因为点c在直线x2y30上，所以可设点c的坐标为(2a3，a)又该圆经过a，b两点，所以|ca|cb|，即，解得a2，所以圆心c的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)

3、2(y2)210.答案：(x1)2(y2)210知识点二点与圆的位置关系1确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系2三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上(2)(x0a)2(y0b)2>r2点在圆外(3)(x0a)2(y0b)2<r2点在圆内易误提醒若圆的方程为x2y2dxeyf0，点m(x0，y0)注意点m与圆的位置关系满足条件自测练习3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()a1<a<1 b0<a<1ca>1或a<1 da±1解

4、析：因为点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)2<4，1<a<1.答案：a考点一圆的方程|1(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()a(x1)2(y1)21b(x1)2(y1)21c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22.答案：d2(2015·高考全国卷)过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m，n两点，则|mn|()a2b8c4 d10解析：设过a，b，c三点的圆的方程为x2y2dxeyf0，则，解得d2，e4

5、，f20，所求圆的方程为x2y22x4y200，令x0，得y24y200，设m(0，y1)，n(0，y2)，则y1y24，y1y220，所以|mn|y1y2|4.故选c.答案：c3(2015·广州测试)圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()a(x2)2(y1)21b(x1)2(y2)21c(x2)2(y1)21d(x1)2(y2)21解析：圆心(1,2)关于直线yx对称的点为(2,1)，圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21.答案：a待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.(2

6、)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果考点二与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想归纳起来常见的命题角度有：1斜率型最值问题2截距型最值问题3距离型最值问题4距离和(差)的最值问题5利用目标函数求最值探究一斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10.求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k&#

7、177;.所以的最大值为，最小值为.探究二截距型最值问题2在探究一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2±.所以yx的最大值为2，最小值为2.探究三距离型最值问题3在探究一条件下求x2y2的最大值和最小值解析：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.探究四距离和(差)最值问题4已知圆c1：(x2)2(y3)21

8、，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54b.1c62 d.解析：圆心c1(2,3)，c2(3,4)，作c1关于x轴的对称点c1(2，3)，连接c2c2与x轴交于点p，此时|pm|pn|取得最小值，为|c2c2|1354.答案：a探究五利用目标函数求最值5已知直线axbyc10(bc>0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()a9 b8c4 d2解析：将x2y22y50化为x2(y1)26，圆心(0,1)，代入axbyc10得bc1.(bc)5529.答案：a求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助

9、几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的考点三与圆有关的轨迹问题|已知圆x2y24上一定点a(2,0)，b(1,1)为圆内一点，p，q为圆上的动点(1)求线段ap中点的轨迹方程；(2)若pbq90°，求线段pq中点的轨迹方程解(1)设ap的中点为m(x0，y0)，由中点坐标公式可知，p点坐标为(2x02,2y0)因为p点在圆x2y24上，所以(2x02)2(2y0)

10、24.故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设pq的中点为n(x，y)在rtpbq中，|pn|bn|.设o为坐标原点，连接on，则onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程(2)定义法：根据圆的定义写出方程(3)几何法：利用圆的性质列方程(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式(2016·唐山一中调研)点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2

11、(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化简得(x2)2(y1)21.答案：a25.方程思想在圆中的应用【典例】在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆c上，求圆c的方程思维点拨曲线yx26x1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求解法一：曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(32，0)，(32，0)设圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f>0)，则有解得故圆

12、的方程是x2y26x2y10.法二：曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)，故可设圆c的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1，则圆c的半径为3，所以圆c的方程为(x3)2(y1)29.方法点评(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题跟踪练习已知圆c关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两

13、段，弧长比为12，则圆c的方程为_解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin 1，rcos |a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圆c的方程为x22.答案：x22a组考点能力演练1以线段ab：xy20(0x2)为直径的圆的方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)28d(x1)2(y1)28解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x1)2(y1)22.答案：b2(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数

14、m的取值范围是()a(1,1)b(，)c(，) d.解析：(0,0)在(xm)2(ym)24的内部，则有(0m)2(0m)2<4，解得<m<，选c.答案：c3(2016·开封模拟)已知直线l：xy40与圆c：(x1)2(y1)22，则圆c上的点到直线l的距离的最小值为()a. b.c1 d3解析：由题意知，圆c上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即.答案：a4(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线c：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为()a(，2) b(，1)c(1，

15、) d(2，)解析：圆c的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2，由题意知a<2，故选a.答案：a5圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()a30 b18c6 d5解析：由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的差为6.答案：c6(2016·绍兴模拟)点p(1,2)和圆c：x2y22kx2yk20上的点的距离的最小值是_解析：圆的方程化为标准式为(xk)2(y1)21.圆心c(k，1)，半径r1.易知点p(1,2)

16、在圆外点p到圆心c的距离为：|pc|3.|pc|min3.点p和圆c上点的最小距离dmin|pc|minr312.答案：27若圆c：x22mxy22y20与x轴有公共点，则m的取值范围是_解析：圆c的标准方程为(xm)2(y)2m2m2，依题意有答案：，)8圆c通过不同的三点p(k,0)，q(2,0)，r(0,1)，已知圆c在点p处的切线斜率为1，则圆c的方程为_解析：设圆c的方程为x2y2dxeyf0，则k,2为x2dxf0的两根，k2d,2kf，即d(k2)，f2k，又圆过r(0,1)，故1ef0.e2k1.故所求圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为.圆c在点p处的切

17、线斜率为1，kcp1，k3.d1，e5，f6.所求圆c的方程为x2y2x5y60.答案：x2y2x5y60.9(2016·洛阳统考)已知圆s经过点a(7,8)和点b(8,7)，圆心s在直线2xy40上(1)求圆s的方程；(2)若直线xym0与圆s相交于c，d两点，若cod为钝角(o为坐标原点)，求实数m的取值范围解：(1)线段ab的中垂线方程为yx，由得所以圆s的圆心为s(4,4)，圆s的半径为|sa|5，故圆s的方程为(x4)2(y4)225.(2)由xym0变形得yxm，代入圆s的方程，消去y并整理得2x22mxm28m70.令(2m)28(m28m7)>0，得85<

18、m<85.设c，d的横坐标分别为x1，x2，则x1x2m，x1x2.依题意，得·<o，则x1x2(x1m)(x2m)<0，即m28m7<0，解得1<m<7.故实数m的取值范围是m|85<m<85m|1<m<7m|1<m<710(2016·唐山一模)已知圆o：x2y24，点a(，0)，以线段ab为直径的圆内切于圆o，记点b的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)直线ab交圆o于c，d两点，当b为cd的中点时，求直线ab的方程解：(1)设ab的中点为m，切点为n，连接om，mn(图略)，则|om|mn|on|2，取a关于y轴的对称点a，连接ab，故|ab|ab|2(|om|mn|)4.所以点b的轨迹是以a，a为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a2，c，b1，则曲线的方程为y21.(2)因为b为cd的中点，所以obcd，则.设b(x0，y0)，则x0(x0)y0.又y1，解得x0，y0±.则kob±，kab，则直线ab的方程为y±(x)，即xy0或xy0.b组高考题型专练1(2