高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：5.3 等比数列及其前n项和 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第三节等比数列及其前n项和等比数列(1)理解等比数列的概念(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(4)了解等比数列与指数函数的关系知识点一等比数列的相关概念公式相关名词等比数列an的有关概念及公式定义q(q是常数且q0，nn)或q(q是常数且q0，nn且n2)通项公式ana1qn1(n2，nn)前n项和公式sn等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项g±易误提醒1在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1

2、这一特殊情形导致解题失误自测练习1在等比数列an中，若a1<0，a218，a48，则公比q等于()a. b.c d.或解析：由解得或又a1<0，因此q.答案：c2等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()a24 b0c12 d24解析：由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.答案：a知识点二等比数列的性质设数列an是等比数列，sn是其前n项和1若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qn.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rn.2相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

3、akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mn)3若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，pan·qbn和(其中b，p，q是非零常数)，也是等比数列4smnsnqnsmsmqmsn.5当q1，或q1且k为奇数时，sk，s2ksk，s3ks2k，是等比数列6若a1·a2··antn，则tn，成等比数列7若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.易误提醒1在性质中，当q1且k为偶数时，sk，s2ksk，s3ks2k，不是等比数列2在运用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系自测练习3在等比数列an中，

4、若a3a5a73，则a2a8()a3 b.c9 d13解析：由a3a5a73，a3，又a2a8a3.答案：a4(2015·唐山期末)设sn是等比数列an的前n项和，若3，则()a2 b.c. d1或2解析：设s2k，s43k，由数列an为等比数列，得s2，s4s2，s6s4为等比数列，s2k，s4s22k，s6s44k，s67k，s43k，故选b.答案：b考点一等比数列的基本运算|1(2015·高考全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()a21 b42c63 d84解析：由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23

5、舍去)，所以a36，a512，a724，所以a3a5a742.故选b.答案：b2已知等比数列an的前n项和为sn，且s37a1，则数列an的公比q的值为()a2 b3c2或3 d2或3解析：因为s3a1a2a37a1，所以a2a36a1，即a1qa1q26a1，q2q60，解得q2或3，故选c.答案：c3(2016·唐山一模)已知等比数列an的前n项和为sn，且a1a3，a2a4，则()a4n1 b4n1c2n1 d2n1解析：设an的公比为q，由可得2，q，代入得a12，an2×n1，sn4，2n1，选d.答案：d解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数

6、列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和snna1；当q1时，an的前n项和sn.考点二等比数列的判定与证明|已知数列an的前n项和为sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且ansnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解(1)证明：ansnn，an1sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.由a1s11得a1，c1a11，从而cn0，.所以

7、数列cn是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知cn×n1n，又cnan1，ancn11n，当n2时，bnanan11nn1nn，又b1a1，适合上式，故bnn.等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nn*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aan·an2(nn*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列 1已知数列an的前n项和为sn，a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解

8、：(1)证明：sn14an2，s24a12，即a1a24a12，a23a125，b1a22a13.又an1sn1sn4an2(4an12)4an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)，即bn2bn1(n2)，又b13，则bn0，2(n2)从而数列bn是以3为首项，以2为公比的等比数列(2)由(1)知bn3·2n1，即an12an3·2n13且2，数列是首项为2，公差为3的等差数列，2(n1)×33n1，an(3n1)·2n2.考点三等比数列的性质及应用|(1)(2015·衡阳联考)若函数f(x)log2，在等比数列an中，a2

9、·a5·a88，则f(a1)f(a2)f(a9)()a9b8c7 d10解析因为a2·a5·a88，所以a52，f(a1)f(a2)f(a9)log2log2log2log2log2log2log2299，故选a.答案a(2)设等比数列an中，前n项和为sn，已知s38，s67，则a7a8a9()a. bc. d.解析因为a7a8a9s9s6，在等比数列中s3，s6s3，s9s6也成等比，即8，1，s9s6成等比，所以有8(s9s6)(1)2，s9s6，即a7a8a9.答案a等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，等比中项的变形

10、，前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 2(2015·呼和浩特调研)已知等比数列an的公比q>0，且a5·a74a，a21，则a1()a. b.c. d2解析：利用等比数列的性质求出公比，再求解a1.因为an是等比数列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q>0，所以q，a1，故选b.答案：b3等比数列an的首项a11，前n项和为sn，若，则公比q_.解析：由，a11知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知s5，s10s5，s15s10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.答案：18.分类讨论思想在等比数

11、列中的应用【典例】(2015·高考湖南卷)设数列an的前n项和为sn，已知a11，a22，且an23snsn13，nn*.(1)证明：an23an；(2)求sn.思路点拨(1)利用数列递推关系式，结合an和sn的关系得出结论；(2)利用分类讨论思想写出数列通项，结合等比数列再进行分类求和解(1)证明：由条件，对任意nn*，有an23snsn13，因而对任意nn*，n2，有an13sn1sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33s1s233a1(a1a2)33a1.故对一切nn*，an23an.(2)由(1)知，an0，所以3，于是

12、数列a2n1是首项a11，公比为3的等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列，因此a2n13n1，a2n2×3n1.于是s2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)，从而s2n1s2na2n2×3n1(5×3n21)综上所述，sn方法点评分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知sn与an的关系，要分n1，n2两种情况(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论跟踪练习已知数列an的前n项和

13、snan1(a0)，则an()a一定是等差数列b一定是等比数列c或者是等差数列，或者是等比数列d既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：snan1(a0)，an即an当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列答案：ca组考点能力演练1(2016·太原一模)已知等比数列an单调递减，若a31，a2a4，则a1()a2 b4c. d2解析：设等比数列an的公比为q，q>0，则aa2a41，又a2a4，且an单调递减，所以a22，a4，q2，q，所以a14，故选b.答案：b2已知数列an的前n项和为sn，且snan2n(nn*)，则下列

14、数列中一定为等比数列的是()aan ban1can2 dsn解析：由snan2n(nn*)可得sn1an12(n1)(n2，nn*)，得anan11(n2，nn*)，所以an2(an12)(n2，nn*)，且a11，a1210，所以an2一定是等比数列，故选c.答案：c3已知等比数列an的前n项积为tn，且公比q1，若t7128，则()aa42 ba52ca62 da12解析：因为tn为等比数列an的前n项积，所以t7a128，则a42，故选a.答案：a4设sn是等比数列an的前n项和，若2a13a21，a33a4，则2snan()a1 b.c. d2解析：设等比数列an的公比为q，因为2a1

15、3a21，a33a4，所以2a13a1q1，a1q23a1q3，由得q，代入得a1，所以ana1qn1n，sn×，则2snan1.答案：a5(2015·衡水二模)已知sn是等比数列an的前n项和，a1，9s3s6，设tna1a2a3··an，则使tn取最小值的n的值为()a3 b4c5 d6解析：设等比数列an的公比为q，由9s3s6知，q1，故，解得q2，又a1，所以ana1qn1.因为tna1a2a3··an，故当tn取最小值时，an1，且an11，即则n5，故选c.答案：c6若正项数列an满足a2，a6，且(n2，nn*)，则l

16、og2a4_.解析：由(n2，nn*)可得数列an是等比数列，所以aa2a6，又a4>0，则a4，故log2a4log2 3.答案：37已知在等比数列an中，a5a116，a6a107，则的值是_解析：因为an是等比数列，所以a5a11a6a106，又a6a107，解得或设an的公比为q，则q46或，q2或，所以或.答案：或8等比数列的首项是1，前n项和为sn，如果，则s4的值是_解析：由已知得1q5，故q5，解得q，s4.答案：9(2015·陕西一检)已知正整数数列an是首项为2的等比数列，且a2a324.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.解

17、：(1)设正整数数列an的公比为q，则2q2q224，q3，an2×3n1.(2)bn，tn，tn.由，得tn.tn.10已知等比数列an的前n项和是sn，s18s978.(1)求证：s3，s9，s6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是否是数列an中的项？如果是，是an中的第几项？如果不是，请说明理由解：(1)证明：设等比数列an的公比为q，若q1，则s1818a1，s99a1，s18s92178，q1.s18(1q18)，s9(1q9)，s18s91q9.1q9，解得q2.s3×，s6×，s9(1q9)×.s9s3×，s6s9

18、15;，s9s3s6s9.s3，s9，s6依次成等差数列(2)a7与a10的等差中项等于，设a7与a10的等差中项是数列an中的第n项，则a1(2)n1，化简得(2)(2)4，即4，解得n13.a7与a10的等差中项是数列an中的第13项b组高考题型专练1(2014·高考大纲全国卷)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()a6 b5c4 d3解析：lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a4·a5)4lg(2×5)44，故选c.答案：c2(2015·高考全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()a2 b1c. d.解析：设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2×a1q44(a1q31)，×q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2.a2，故选c.答案：c3(2015·高考全国卷)在数列an中，