宁波市高三五校适应性考试数学试卷(理)含答案

1、20xx 年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150 分，考试时间120 分钟参考公式：球的表面积公式 :s = 4 r2， 球的体积公式： v=34 r3 ， 其中 r 表示球的半径；柱体的体积公式 : v=sh 其中 s表示柱体的底面积，h 表示柱体的高；锥体的体积公式：v=31sh ，其中 s表示锥体的底面积，h 表示棱锥的高；台体的体积公式 :)2211(31sssshv其中 s1，s2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高一、选择题：(本大题共8 个小题，每小题5 分，满分40 分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)

2、 1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为 ( ) a1 b2 c3 d4 2已知函数1( )0 xd xx为有理数为无理数，则 ( ) a( )1d d x，0是( )d x的一个周期；b( )1d d x，1是( )d x的一个周期；c( )0d d x，1是( )d x的一个周期；d( )0d d x，( )d x的最小正周期不存在3已知,a b为单位向量，|2 |abab，则a在ab的投影为 ( ) a13b2 63c63d223正视图侧视图2 2 1 俯视图1 1 （第 1 题图）第8题图abcdefgh4 已知函数( )yf x，数列na的通项公式是( )na

3、f n，nn,那么“函数( )yfx在1,)上单调递增”是“na数列是递增数列的( ) a充分不必要条件；b必要不充分条件；c充要条件；d既不充分也不必要条件5设整数, x y满足约束条件，08540 xyxxy，则231xyx取值范围是（）a2,6b3,11c11,83d3,106 设1234,(0,)2xxxx，则 ( ) a在这四个数中至少存在两个数, x y，满足1sin()2xy；b 在这四个数中至少存在两个数, x y，满足3cos()2xy；c在四个数中至多存在两个数, x y，满足3tan()3xy；d在这四个数中至多存在两个数, x y，满足3sin()3xy7过2:8cyx

4、抛物线上一点(2, 4)p作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于a、b两点，则直线ab的斜率是（）a12b1c23d28如图，在各棱长均为2 的正三棱锥abcd中，平面与棱ab、ad、cd、bc分别相交于点e、f、g、h，则四边形efgh的周长的最小值是( ) a1 b 2 c3 d4 二、填空题：(本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分) 9设全集222|340,|4,|3uxr xxax xybx yx，则ab，()ucab。10已知数列nx中，110,x21log (2)nnxx，则数列nx的第 2 项是所有项和t11已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴

5、上，离心率为2，且经过点(2,1)p，则该双曲线的标准方程是；渐近线方程是12函数2( )2coscos(2)13f xxx在0,内的一条对称轴方程是，在0,内单调递增区间是13已知函数22( )42xmf xxmxx，若函数( )( )g xf xx有三个不同的零点，则实数m的取值范围是14已知点p是正方体1111abcda b c d表面上一动点，且满足|2|papb，设1pd与平面abcd所成的角为，则的最大值是15正三棱锥oabc的每一条棱长均为1，若(0, ,1 )opxo ayo bzo cx y z，且满足12xyz，则动点p的轨迹所围成的区域的体积是三、解答题： （本大题共5

6、小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、 （本题满分14 分）在abc中，d为边ab上一点，dadc，已知4b，1bc，(1) 若63dc，求角a的大小；(2)若bcd的面积为16，求边ab的长17（本题满分15 分）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中点，将abcd绕ab旋转90，得到梯形abc d(1)求证/ /c n平面add；(2)求二面角ac nc的余弦值18（本题满分15 分）已知函数22( )()xfxxa，(1)若1a，试确定( )fx在(0,1)上单调性；并给出证明(2)当1,(1,)ax时，问是否存在一个常数c，

7、使得对于任意给定的正数，总存在实数 g，使得当xg时，有|( )|f xc19（本题满分15 分）已 知12,ff分 别 是 椭 圆1c：22221yxab(0)ab的 上 下 焦 点 ， 其 中1f为 抛 物 线2c:24xy的焦点，点m是1c与2c在第二象限的交点，且15|3mf(1)求椭圆1c的标准方程；(2)与圆22(1)1xy相切的直线:()(0)lyk xtt与椭圆相交于,a b两点，若椭圆上存在一点p满足oaobop，求实数的范围20（本题满分15 分）已知数列na满足132a且113(,2)21nnnnaann nan，(1)求数列na的通项公式；(2)求证：当2n时，3121

8、1.12316naaaann86422468151055101520xx 年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题参考答案一、选择题 (本大题共8个小题，每小题5 分，满分 40 分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个) 1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为 ( d ) a1 b2 c3 d4 2已知函数1( )0 xd xx为有理数为无理数，则 ( b ) a( )1d d x，0是( )d x的一个周期；b( )1d d x，1是( )d x的一个周期；c( )0d d x，1是( )d x的一个周期；d( )0d d x，( )d x的最小正周

9、期不存在3已知,a b为单位向量，|2 |abab，则a在ab的投影为 ( c ) a13b2 63c63d2 234 已知函数( )yf x，数列na的通项公式是( )naf n，nn，那么“函数( )yf x在1,)上单调递增”是“na数列是递增数列的( a ) a充分不必要条件；b必要不充分条件；c充要条件；d既不充分也不必要条件5设整数, x y满足约束条件，08540 xyxxy则231xyx取值范围是（c）a2,6b3,11c11,83d3,10解：侧视图（第 1 题图）正视图2 2 1 俯 视 图1 1 2311211xyyxx，可行域内的整数点如图所示，目标函数在点(2,3)处

10、取到最小值113，在点(1,7)处取到最大值8，所以选c 6 设1234,(0,)2xxxx，则 ( b ) a在这四个数中至少存在两个数, x y，满足1sin()2xy；b 在这四个数中至少存在两个数, x y，满足3cos()2xy；c在这四个数中至多存在两个数, x y，满足3tan()3xy；d在这四个数中至多存在两个数, x y，满足3sin()3xy解:把区间(0,)2三等分，每个区间的长度为6，于是由1234,(0,)2xxxx知至少有两个数在同一区间内，即存在, x y在同区间内这两个数的差的绝对值小于6，即|6xy，所以选b7如图， 过2:8cyx抛物线上一点(2,4)p作

11、倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于a、b两点，则直线ab的斜率是（b ）a12b1c23d2解：选b，设1122(,),(,)a x yb xy，:(2)4payk x代入24yx得：283280kyyk于是132164kyk得132164kyk，同理232164kyk121222112128188abyyyykyyxxyy8如图，在棱长为2 的正四面体abcd中，平面与棱ab、ad、cd、bc分别相交于第 8题图abcdefgh86422461510551015点e、f、g、h，则四边形efgh的周长的最小值是( ) a1 b 2 c3 d4 解：选 d， 如图所示，周长最小，等于4二

12、、填空题：(本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分) 9设全集222|340,|4,|3uxr xxax xybx yx，则ab()ucab| 13xx| 24 xx10已知数列nx中，110,x21log (2)nnxx，则数列nx的第 2 项是所有项和t3，13 解:12310,3,0 xxx，共有 3 项，所有项和为1311已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为2，且经过点(2,1)p，则该双曲线的标准方程是；渐近线方程是223xy0 xy12函数2( )2coscos(2)13f xxx在0,内的一条对称轴方程是，在0,内单调递增区间是2( )2

13、coscos(2)13 cos(2)36f xxxx一条对称轴方程可以是512x或1112x中的一条，递增区间511,121213已知函数22( )42xmf xxmxx，若函数( )( )g xf xx有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 1,2)第14 题图d1c1cb1bda1apcogahfeb14已知点p是正方体1111abcda b c d表面上一动点，且满足|2|papb，设1pd与平面abcd所成的角为，则的最大值是解: 4，如图，建立坐标系，设正方体的棱长为2，则p的轨迹是以点q为圆心，以43为半径的球面与正方体的交线，即如图所示的圆弧emg，epf，gnf，要使1pd与平

14、面abcd所成的最大，只要p圆弧epf上，且在qd上，dp的最小值为104233qdqp从而tan的最大值为1，的最大值为415正三棱锥oabc的各棱长均为1，若(0,1)opxoayobzocx y z，且满足12xyz，则动点p的轨迹所围成的区域的体积是解：动点p的轨迹所围成的区域是介于平面abc与平面efg之间的部分，1sin60233613622334323aoabavoa obhsh三、解答题： （本大题共5 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、 （本题满分14 分）在abc中，d为边ab上一点，dadc，已知4b，1bc(1) 若63dc，求角a的大小；(

15、2) 若bcd的面积为16，求边ab的长解:( 1）在bcd中，由正弦定理得,sinsinsin44bcdcadbdc则613sinsin4bdc，则3sin2bdc，所以3bdc或23bdc， 5 分又dadc，所以6a或3a 7 分(2) 由已知得16bcds，即11sin26bc bdb得，23bd 9 分又由余弦定理得2222cosdcbcbdbc bdb得53dc， 12 分又dadc，所以523abaddbdcdb 14 分17（本题满分15 分）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中点，将abcd绕ab旋转90，得到梯形abc d(1)求证/

16、 /c n平面add；(2)求二面角ac nc的余弦值（1）证明/ /,/ /bcadbc平面add同理/ /bc平面add又bcbcb平面/ /bcc平面addnc平面bcc/ /nc平面add 6 分（ 2）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中点，得acab又平面abcd平面abc d且acab，ac平面abcd于是acac，acab，acab 8 分如图建立空间直角坐标系，设1ab，则(0,0,0)a，(1,0,0)b(0,3,0)c，(0,0,3)c，13(,0)22n，于是( 1,0,3)bc，(0,3,3)cc；设 平 面c nc的 法 向

17、量 为(,)nx y z， 则00n bcn c c即30330 xzyz取1z，3x，1y，所以(3,1,1)n， 10 分因 为ac平 面abc， 平 面c an平 面abc， 又 易 知 四 边 形abnd是 菱 形 ， 所 以bdan，平面c an平面abcan，bd平面c an，设bdano，则交点o为an的中点，所以平面c an的法向量为33(,0)44ob， 12 分所 以5cos,5| |n obn obnob， 由 图 知 二 面 角ac nc为 钝 角 ， 所 以 二 面 角ac nc的余弦为55 15 分18(本题满分15 分）864224681510551015已知函数

18、22( )()xf xxa，(1)若1a，试确定( )f x在(0,1)上单调性；并给出证明(2)当1,(1,)ax时，问是否存在一个常数c，使得对于任意给定的正数，总存在实数g，使得当xg时，有|( )|f xc解：任取12,(0,1),x x12xx22212112122122222112()( ()2)()()()()() ()xxa xxa xxx xf xf xxaxaxaxa 2 分因为1a，12,(0,1),x x，所以1212112112112222()222222(1)0a xxx xa x xx xx xx xx xx x21()()0f xf x函数在(0,1)上单调递增

19、 7 分(2)存在常数1c， 9 分222222(1)21|( )| |1| |(1)(1)(1)xxxxf xcxxx 12 分解得111x所以取111g，当xg时，总有|( )|f xc 15 分19(本题满分15 分) 已知12,ff分别是椭圆1c：22221yxab(0)ab的上下焦点，其中1f为抛物线2c:24xy的焦点，点m是1c与2c在第二象限的交点，且15|3mf(1)求椭圆1c的标准方程；（2）与圆22(1)1xy相切的直线:()(0)lyk xtt与椭圆相交于,a b两点，若椭圆上存在一点p 满足oaobop，求实数的范围解:由2c:24xy知焦点坐标为(0,1)，1c 2

20、 分设00(,)m xy0(0)x，因为m在抛物线2c 上，所以2004xy又15|3mf，即0513y，得023y，02 63x， 4 分又因为点m在椭圆上，所以2222122 622 622|()(1)()(1)43333amfmf得22,3ab所以椭圆的方程为：22143yx 7 分（2）直线:()(0)lyk xtt与圆22(1)1xy相切，所以2|1|1,1ktk2 22211k tktk当0k时，则:0ly，则(0,0),oaobop因为0op所以0当1t时，切线的斜率k不存在，不合题意，舍去当0k且1,0tt时，得221tkt 9 分把:()(0)lyk xtt代入椭圆方程22143yx得: 2222 2(43)63120kxk txk t易知，圆在椭圆内，所以直线l与椭圆1c相交，令1122(,),(,)a xyb xy则2122643k txxk，2 2122312