数列与三角函数练习题难题

1、例 1已知数列 an是公差为 d 的等差数列，数列 bn是公比为 q 的(qr 且 q1)的等比数列，若函数f(x)=(x1)2，且 a1=f(d1)，a3=f(d+1)， b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求数列 an 和bn 的通项公式；解： (1)a1=f(d1)=( d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2 (d2)2=2d，d=2， an=a1+( n1)d=2(n1)；又 b1=f(q+1)= q2，b3=f(q1)=(q 2)2，2213)2(qqbb=q2，由 q r，且 q1，得 q=2，bn=bqn1=4(2)n1例 2设 an为数列 an 的前 n 项

2、和， an=23(an1)，数列 bn的通项公式为bn=4n+3; (1)求数列 an 的通项公式；(2)把数列 an 与bn 的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列dn 的通项公式为dn=32n+1; 解： (1)由 an=23(an1)，可知 an+1=23(an+11)，an+1an=23(an+1an)，即nnaa1=3，而 a1=a1=23(a11)，得 a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3 的等比数列，数列an 的通项公式an=3n. (2)32n+1=332n=3(41)2n=3 42n+c12n42n1(1)+c122nn4(1)+( 1)2n=4n+3，32

3、n+1 bn.而数 32n=(41)2n=42n+c12n 42n1 (1)+c122nn 4 (1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列 an= a2n+1 a2n， dn=32n+1. 例 3 数列 an 满足 a1=2，对于任意的nn*都有 an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列 bn的通项为bn=2n1+1. (1)求数列 an 的通项 an及它的前n 项和 sn；(2)求数列 bn 的前 n 项和 tn；(3)猜想 sn与 tn的大小关系，并说明理由. .解： (1）可解得11nnaann，从而 an=2n，有 sn=n2+n，(2)tn=2n+

4、n1. (3)tnsn=2nn21，验证可知， n=1 时，t1=s1，n=2 时 t2s2；n=3 时， t3s3;n=4时， t4s4；n=5 时， t5 s5；n=6 时 t6s6.猜想当 n5 时， tnsn，即 2nn2+1 可用数学归纳法证明(略） . 例 4 数列 an 中， a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1an,(nn*). (1)求数列 an 的通项公式；(2)设 sn=a1+a2+an,求 sn; (3)设 bn=)12(1nan(nn*),tn=b1+b2+ +bn(nn*),是否存在最大的整数m，使得对任意 nn*均有 tn32m成立？若存在，求出m 的

5、值；若不存在，说明理由. 解： (1）由 an+2=2an+1anan+2 an+1=an+1an可知 and=1414aa= 2,an=102n. (2)由 an=102n0 可得 n5，当 n5 时， sn=n2+9n，当 n5 时， sn=n29n+40，故 sn=540951922nnnnnn(3)bn=)111(21)22(1)12(1nnnnann)1(2)111()3121()211(2121nnnnbbbtnn；要使 tn32m总成立，需32mt1=41成立，即m8 且 mz，故适合条件的m 的最大值为7. 例 5 已知数列 bn是等差数列， b1=1,b1+b2+b10=14

6、5. (1)求数列 bn 的通项 bn；(2)设数列 an 的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1),记 sn是数列 an 的前 n 项和，试比较 sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论. 解： (1)设数列 bn的公差为d，由题意得：1452)110(1010111dbb解得 b1=1,d=3, bn=3n2. (2)由 bn=3n2,知 sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n) =loga(1+1)(1+41)(1+231n) ，31logabn+1=loga313n. 因此要比较sn与31logabn+1的大小，可先比较(1+

7、1)(1+41)(1+231n)与313n的大小，取 n=1 时，有 (1+1)3113取 n=2 时，有 (1+1)(1+41)3123由此推测 (1+1)(1+41)(1+231n)313n若式成立，则由对数函数性质可判定：当 a1 时， sn31logabn+1，当 0a 1 时， sn31logabn+1， 例 1 已知 abc 的三内 角 a、b、c 满 足 a+c=2b， 设 x=cos2ca，f(x)=cosb(cacos1cos1). (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域 . 解：(1)a+c=2b， b=60，a+

8、c=120,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxcacacacacacaxf0|2ca|60， x=cos2ca(21，1又 4x230，x23，定义域为 (21，23)(23，1. (2)设 x1x2，f(x2)f(x1)=342342211222xxxx=)34)(34()34)(222212121xxxxxx， 若 x1， x2(23,21)， 则 4x1230， 4x2230， 4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)，若 x1，x2(23，1 ，则 4x1230. 4x2230，4x1x

9、2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0. 即 f(x2)f(x1)，f(x)在(21,23)和(23，1上都是减函数 . (3)由(2)知，f(x)f(21)=21或 f(x)f(1)=2. 故 f(x)的值域为 (，21) 2，+). 例 2在abc 中，已知 a、b、c 成等差数列， 则2tan2tan32tan2tancaca的值为 _. .解析： a+b+c =，a+c= 2b，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan2tan,3)2tan(,32cacacacacaca故3、 已知 abc的三个内角 a、 b、 c满足 a+c=2b.bcacos2

10、cos1cos1， 求 cos2ca的值. 解法一：由题设条件知b=60，a+c=120. 设=2ca，则 ac=2，可得 a=60+，c=60，,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222ca所以依题设条件有,cos243coscos2b.2243coscos,21cos2b整理得 42cos2+2cos32=0(m) (2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.从而得 cos222ca. 解法二：由题设条件知b=60，a+c=12022cos1cos1,2260co

11、s2ca，把式化为 cosa+cosc=22cosacosc，利用和差化积及积化和差公式，式可化为)cos()cos(22cos2cos2cacacaca，将 cos2ca=cos60=21，cos(a+c)=21代入式得：)cos(2222coscaca将 cos(ac)=2cos2(2ca)1 代入 ： 42cos2(2ca)+2cos2ca32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(cacacacaca从而得例 4、在 abc 中，a 为最小角， c 为最大角，已知 cos(2a+c)=34，sinb=54，则 cos2(b

12、+c)=_. 解析： a 为最小角 2a+c=a+a+ca+b+c =180. cos(2a+c)=54，sin(2a+c)=53. c 为最大角， b为锐角，又 sinb=54.故 cos b=53. 即 sin(a+c)=54，cos(a+c)=53. cos(b+c)=cosa=cos(2a+c)(a+c)=2524，cos2(b+c)=2cos2(b+c)1=625527. 5、已知圆内接四边形abcd 的边长分别为 ab=2，bc=6，cd=da=4，求四边形abcd 的面积 . 解：如图：连结 bd，则有四边形 abcd 的面积：s=sabd+scdb=21abadsina+21b

13、ccdsinca+c=180， sina=sinc故 s=21(abad+bccd)sina=21(24+64)sina=16sina由余弦定理，在 abd 中，bd2=ab2+ad22abadcosa=2016cos a在cdb 中，bd2=cb2+cd22cbcdcosc=5248cosc2016cos a=5248cosc，cosc=cosa，64cos a=32， cosa=21， 又 0a180， a=120故 s=16sin120=83. 6、如右图，在半径为r的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离

14、 r 的平方成反比，即i=k2sinr，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：r=rcos，由此得：20,cos1rr，rrhrkirkrkirkrkrki22tan,33sin,392)32()()sin1)(sin1(sin2)(2)cos(sincossinsin232222222222222此时时成立等号在由此得7、在abc 中，a、b、c 分别为角 a、b、c 的对边，27cos22sin42acb. (1)求角 a 的度数；(2)若 a=3，b+c=3，求 b 和 c 的值. .1221:232:3,3.3)(21221cos

15、2cos:)2(60,1800,21cos,01cos4cos45cos4)cos1(4,271cos2)cos(12:,180272cos2sin4)1(:.222222222222cbcbbccbbccbabcacbbcacbabcacbaaaaaaaaacbcbaacb或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解8、在abc 中，a、b、c 所对的边分别为a、b、c，且 a、b、3c 成等比数列，又 ac=2，试求 a、b、c 的值解：由 a、b、3c 成等比数列，得： b2=3acsin2b=3sincsina=3(21)cos(a+c)cos(ac)b=(a+c).sin2(a+c)=23cos(a+c)cos2即 1cos2(a+c)=23cos(a+c)，解得 cos(a+c)=21. 0a+c，a+c=32.又 ac=2a=127，b=3，c=12. 9、在正三角形 abc 的边 ab、ac 上分别取 d、e 两点，使沿线段 de 折叠三角形时，顶点 a 正好落在边 bc 上，在这种情况下，若要使ad 最小，求 adab的值. . .解：按题意，设折叠后a 点落在边 bc 上改称 p 点，显然 a、p 两点关于折线 de 对称，又设 bap=，dpa=，bdp=2，再设 ab=a，ad=x，