二分法的matlab运用

1、数值方法实验班级:%銀就筛一班 学生姓名:雷金冷学生学号:z0u020z40u指导老师：瘤廿实验时间：年刁月却日中文摘要1弓i言1z 一力法旳星平尿埋12.1概述12.2 二分法的matlab基本程序22.2. 1实验步骤22. 2. 2 mat lab白勺原程序33二分法的运用43.1在实际生活中的运用43.2在中学教学中的运用43.2.1利用“二分法”思想巧证不等式43.2.2利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布53.2.3利用“二分法”思想巧求最值63.3在求解方程中的运用6总结7参考文献8摘要：二分法无论在实际生活中，还是在科学上，都占有十分重要的地位。 在实际生活中，通常用来检

2、查电路、水管等等，这是二分法最简单、最本质的一 个应用。在中学教学中，可以用二分法来巧证不等式、一元二次方程根的分布、 求最值等等。在求解n次多项式方程的根时，我们也可以利用二分法讨论一般方 程式/(x) = 0的实数根。本文主要概述二分法的基本思想，并从以上几个方面， 对二分法在实际生活或科学上的应用论述，以便在以后的学习过程中得以广泛的 应用。关键词：查电路；证不等式；根的分布；求最值；求解1引言在实际问题中，我们经常会遇到求非线性方程（代数方程或超越方程）根的 问题。对n次多项式方程，由代数学基本定理知它有n个根（含复数根，重根按 重数计）。而方程f（x）是多项式或超越函数（又分为代数方

3、程或超越方程）。对 于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无糟确的求根 公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。因此，如何求得满足一定糟度耍求 的方程的近似根，也就成为了我们迫切需要解决的问题。近年来，随着数学科学 研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。我们知道，对于单变量非线性 方程f （x） =0, 一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。“二分法”是高 中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程 近似解的常用方法。利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问 题。在此，我主要利用二分法讨论一般方程式/（%） = （）的实数根

4、。在有实根时, 可能有一个或多个甚至无穷多个根。2二分法的基本原理2.1概述二分法主要运用了连续函数的零点定理。如果设/（x）为a.b上的连续函数，/（%） = 0的有根区间为a.b, /v0j）>0。（1）将区间a,b-分得中点将“分为两个相等区间，计算/在屮点皿的函数值fd2 2）。若/（出）二0,则x=-就是2 2由于/（x）在左半区间q,凹 内不同理，若于（字）0,则方程的有方程/（x）= 0的根；否则，若/（晋）<0, 变号，所以方程的有根区间变为。字/ 根区间变为aq ,将新的有根区间记为坷血。将二分，重复上述过程，乂得到新的有根区间血力2,这样不断作下 去，就得到一系

5、列有根区间：a.b=）绚,勺=> =>=>，且bjt (ik(b-d)。记f为 /*(兀)=0 的根,当 /(©) /(仇)v0 时，有兀* eak,bk,即an < x* <bn(n = 1,2,3,)。由 应-心=右 (b-a)及 夹逼定 理得： lima“ =lim仇=_/,当(bn at)<£时，取作f仏+仇)为所求根近似值。2.2二分法的mat lab基本程序2. 2. 1实验步骤(1) 判断函数是否为定义域内的连续函数，若它在定义域仏b)内都是连续 函数，并且/(6/)<0,/(/?)>0,故/(兀)在(a,b)内

6、有根；(2) 编写二分法matlab程序代码：erfen.m；其程序过程如下：开始i输入 f,a,b,£yes /w >ob-c停止(3) 建立函数文件：fm(4) 在matlab命令窗口中输入函数，敲冋车，输出结果。2. 2.2 mat lab的原程序function c,err,yc=erfen(f,a,b,delta)ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*y b>o,return,endmax 1 = 1 +round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=l:maxlc=(a+b)/2;yc=feval(f

7、,c);if yc=0b=c;else 讦 yb*yc>0b=c; yb=yc;elseya=yc;endif b-a<delta,break,endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(tc);3二分法的运用3.1在实际生活中的运用在我们的实际牛活屮，经常遇到电话线出故障，那么工人师傅该怎样在很短 吋间内查出故障所在呢？人家一般会想到沿着线路一小段一小段查找，这样困难 很多，又很麻烦。每查一个点要爬一次屯线杆子，10km长，人约有200多根电 线杆子，因此就可使用二分法。设屯线两端分别为a、b,他首先从中点c查， 用随身带的话机向两端测试吋，发现a

8、c段正常，断定故障在bc段，再到bc中 点d,发现bd正常，可见故障在cd段，再到cd中点e来看，这样每查一次， 就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围 缩小到50-100m左右，即在一两根电线杆附近。这样就省了很多精力了。3.2在中学教学中的运用3.2.1利用“二分法”思想巧证不等式例 1.已知三个正数 a、b、c,满足2cg + /?,求证 c-jc? -ab < a v c +jc? -cib。 证明：从所要证的结果的结构上看，可把c-qcb、c + hb看作一元 二次方程x2 - lex 4- ab的两个根，同时构造一个区间(c - 7c2 - a

9、h , c + jc1 一ab )。 设f(x)=x2-2cxab,则可利用“二分法”思想，将要证口标转化为只需证a 在区间(c-jc? 一ab , c + vc2 -ah )内即可。如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证因 /(tz) = a2 - 2ca + ah- a(a - 2c + /?)<(), 所以 a 在区 间内， 即 c-yjc1 - ab < a < c + y/ c2 - ah3.2.2利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布例 2.已知函数/(x) = 3or2+2bjc + c, d+b + c = o, /(0)>0,/(1)0

10、,求证：(1) 6/>0_&-2<-<-1； b(2)方程/(x) = 0在(0, 1)内有两个实根证明：(1)利用/(0)>0,/(1)>0及o + b + c = 0，很容易证明(略)。(2) 一般地，要证方程/(x) = o在(0, 1)内有两个实根，只需证明： 讣 对称轴落在区间(0, 1)内； 区间(0, 1)端点f(0), f(l)的符号。而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明： 区间(0, 1)两个端点f (0), f( 1)的符号都为正(题冃匕知条件已给定) 在区间(0, 1)内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0,它保证抛

11、物线与x轴有两个不同的交点(因40抛物线开口方向向上)。如图2所示，由可知方程/(x) = o在(0, 1)内必有两个不同实根。图2qq1在区间(0, 1)内选取二等分点!，因 f(-) = -a + h + c = -a-(-a) = -a<0, 22 444所以结论得证。若/w<0不成立，可看/是否为负；若还不成立，再看是否为负。总z,在区间（0, 1）内存在一个分点，使对应函数值为负即可。注意：证方程/（x） = o在区间（m, n）内有两个不同的解，只需证/（m）, /（n） 的符号相同，以及在区间（叫n）找一个二分点t所对应函数值/（"的符号（它 与/（m）,

12、/s）的符号相反）。耍证方程/（x） = 0在区间（叫n）内至少有一个解, 只需证/（m）, /（）中至少有一个的符号与区间（m, n）内的一个二分点t所对 应函数值/（/）的符号相反。3.2.3利用“二分法”思想巧求最值例4.函数于（兀）=£卜-命w m）的最小值为（c ）ok=1a. 190 b. 171 c. 90 d. 45解：因卜-|表示数轴上的动点x到点n之间的距离。当 x-l +x-19|最小时,x为区间1，19内的任意一个分点;当卜一 2| +卜一 1最小时,x为区间2, 18内的任意一个分点;当卜一3| +卜一 17|最小时,x为区间3, 17内的任意一个分点。依次

13、类推,当兀一9 +兀-11|最小时,x为区间9, 11内的任意一个分点;当卜一 10|最小时,x = 10 o利用“二分法”思想，当x是区间1, 19, 2, 18, 3, 17,，9,11 1共同二等分点，即x=10时,f(x)取得最小值，所以 于(兀)仙=|10_l| + |10_2| + |10_3| + + |10_9| + |10_iq + |10_ll| + + |10_19| = 90 故 选c。3.3在求解方程中的运用例4.求方程f（x） = x3-e'x =0在0,1上的近似解，精确度为0.0005。解:因为f（0）=-l<0,f（l） = l->0 ,所

14、以/（兀）在（0,1）内有根，用二分法解之, e（a,b） =（0,1）计算结果如下：/（0.5）= -0.050492 < 0 , /（0.75）= 0.253060 > 0 ,/（0.8750）= 0.253060 >0 , /（0.8125）= 0.090630 >0 , /（0.78125）= 0.019004 > 0 , /（0.765663）=-（）.016237 < 0,/（0.77344）= 0.001256 > 0,/（0.769535）= -0.007522 < 0,/（0.771488）= -0.003140<0,/（）.力2464）= -0.000944 < 0,/（）.力2952）= -0.000156 <0,/（0.773196）= 0.000706 >0因为 0.77344-0.772952=0.000488<0.0005,所以 f（x） = x3-e'x = 0 的一个近似解为 0.773196。总结通过本学期对数值方法的学习，让我明白了二分法、迭代法、切线法、弦截 法，消元法、三角分解法、lagrange插值法、newton插值法、最小二乘法等方 法的相关原理，同时加深了对他们的理解与