高中数学第2章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程学案(含解析)新人教B版

1、2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征 ( 重点 ) 2能根据所给条件求圆的标准方程( 重点 ) 3掌握点与圆的位置关系( 重点 ) 4圆的标准方程的求解( 难点 ) 1通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥赵州桥又名安济桥，全长50 多米，拱圆净跨37 米多，是一座单孔坦拱式桥梁赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格虽然历

2、经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径确定一个圆的条件：(1) 圆心； (2) 半径2方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 是以点 (a，b) 为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程3设点p到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系dr dr dr思考：若点p(x0，y0) 在圆c：(xa)2(yb)2上，需要满足 (x0a)2(y0b)2r2，那么p在圆

3、c内和圆c外又满足怎样的关系？ 提示 若点p在圆c内，则有 (x0a)2 (y0b)2r2若点p在圆c外，则有 (x0a)2(y0b)2r21思考辨析 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定( ) (2) 方程 (xa)2(yb)2m2一定表示圆( ) (3) 圆(x 2)2(y3)29 的圆心坐标是 (2,3)，半径是9( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2) 错误当m0 时，不表示圆(3) 错误圆 (x2)2 (y3)29 的圆心为 ( 2， 3) ，半径为32( 教材 p101练习 a改编 ) 圆心

4、为o( 1,1) ，半径为2 的圆的方程为( ) a(x1)2(y1)22 b(x1)2(y1)22 c(x1)2(y1)24 d(x1)2(y1)24 c 将o(1,1) ，r 2 代入圆的标准方程可得 3点p(m,5) 与圆x2y2 24 的位置关系是( ) a在圆外b在圆内c在圆上d不确定a m22524，点p在圆外 4圆心在y轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程是x2(y2)21 设圆心为 (0 ，b) ，则圆的方程为x2(yb)21，又点 (1,2) 在圆上，所以 (2b)211，b2，故方程为x2(y2)21 直接法求圆的标准方程【例 1】根据下列条件，求圆的标准方程(1)

5、 圆心在点c( 2,1) ，且过点a(2， 2) ；(2) 已知一圆的圆心为点(2 ， 3) ，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上 思路探究 只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程 解(1) 所求圆的半径r|ca| 222 2125又因为圆心为( 2,1) ，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)2 25(2) 设此直径两端点分别为(a,0) ，(0，b) ，由于圆心坐标为(2 ， 3)，所以a4，b6，所以圆的半径r42203213，从而所求圆的方程是(x2)2(y3)213确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心

6、坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 跟进训练 1求圆心在x轴上，半径为5 且过点a(2 ， 3) 的圆的标准方程 解设圆的标准方程为(xa)2y225， 因为点a(2 ， 3) 在圆上，所以有 (2 a)2 (3)225，解得a 2 或a6，所以所求圆的标准方程为(x2)2y225 或 (x6)2y2 25待定系数法求圆的标准方程【例 2】求下列各圆的标准方程(1) 圆心在y 0上且过两点a(1,4) ，b(3,2) ；(2) 圆心在直线x2y30 上，且过点a(2， 3) ，b( 2， 5) 思路探究 由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，

7、b，r三个参数 解(1) 设圆心坐标为 (a，b) ，半径为r，则所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2圆心在y0 上，故b0，圆的方程为(xa)2y2r2又该圆过a(1,4) ，b(3,2) 两点，1a216r2，3a24r2，解得a 1，r2 20所求圆的方程为(x1)2y220(2) 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知2a23b2r2，2a25b2r2，a2b 30，解得a 1，b 2，r210.故所求圆的标准方程为 (x1)2(y 2)210待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程 (xa)2(yb)2r2) 列方程组 ( 由已知条件，建立关于a、b、r的方程组 )

8、 解方程组 ( 解方程组，求出a、b、r) 得方程 ( 将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程) 跟进训练 2求经过点a(10,5) ，b(4,7) ，半径为10 的圆的方程 解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2100，将a、b两点代入得10a25b2100 4a27b2100 得7ab15 0，即b7a15 将代入得：a286a0，a2，b 1或a4，b 13.故所求圆的方程为(x2)2(y1)2100 或(x4)2(y13)2100圆的标准方程的实际应用【例 3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2 米时，水面宽12 米，当水面下降1 米后，水面宽多少米？ 思路探究 桥是圆拱桥，可通过建立

9、适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度 解 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则o(0,0) ，a(6 ， 2) 设圆的标准方程为x2(yr)2r2(r0)将a(6 ， 2) 的坐标代入方程得r10，圆的标准方程为x2(y10)2100当水面下降1 米后，可设点a(x0， 3)(x0 0) 将a (x0， 3) 代入圆的标准方程，求得x051，水面下降1 米，水面宽为2x025114 28( 米) 解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面 跟进训练 3已知隧道的截面是半径为4 m的半

10、圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为 27 m，高为 3 m 的货车能不能驶入？ 解 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径ab所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径ab的直线为y轴， 建立直角坐标系( 如图 ) ， 那么半圆的方程为x2y216(y0) 将x27 代入圆方程，得y162.728.71 3，即在离中心线27 米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道与圆有关的最值问题 探究问题 1若p(x，y) 为圆c：(x1)2y214上任意一点，请求出p(x，y) 到原点的距离的最大值和最小值 提示 原点到圆心c(1,0) 的距离d1，圆的半径为12，故圆上的点到

11、坐标原点的最大距离为11232，最小距离为112122若p(x，y) 是圆c：(x3)2y24 上任意一点，请求出p(x，y) 到直线xy10的距离的最大值和最小值 提示 p(x，y) 是圆c上的任意一点，而圆c的半径为2，圆心c(3,0) ，圆心c到直线xy10 的距离d|3 01|1212 22，所以点p到直线xy10 的距离的最大值为222，最小值为222【例 4】已知实数x，y满足方程 (x2)2y23求yx的最大值和最小值 思路探究 yx的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得 解原方程表示以点(2,0) 为圆心，以3为半径的圆，设yxk，即ykx，当直线ykx

12、与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k0|k213，解得k3故yx的最大值为3，最小值为31在本例条件下，求yx的最大值和最小值 解设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2 0b|23，即b26故yx的最大值为26，最小值为 262在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值 解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故 (x2y2)max(23)2743，(x2y2)min(2 3)2743与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型1形如uybxa形式的最值

13、问题，可转化为过点x，y和a，b的动直线斜率的最值问题 . 2形如laxbyb0形式的最值问题，可转化为动直线yablb截距的最值问题 . 3形如xa2yb2形式的最值问题， 可转化为动点x，y到定点a，b的距离的平方的最值问题. 1圆的标准方程(xa)2(yb)2m当m 0时，表示圆心为c(a，b) ，半径为m的圆；当m 0时，表示一个点c(a，b) ；当m 0时，不表示任何图形2确定圆的方程的方法及步骤(1) 直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径直接写出圆的标准方程(2) 待定系数法：第一步：设圆的标准方程(xa)2 (yb)2r2第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r第三步：代

14、入所设方程中得到圆的标准方程3在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质( 如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系) 4重点掌握的方法(1) 求标准方程的方法(2) 求与圆相关的最值的方法1圆c：(x 2)2(y1)23 的圆心坐标 ( ) a(2,1) b(2 ， 1) c( 2,1) d( 2， 1) b 结合圆的标准形式可知，圆c的圆心坐标为 (2 ， 1) 2以 (2 020,2 020)为圆心， 2 021 为半径的圆的标准方程为( ) a(x2 020)2(y 2 020)22 0212b(x2 020)2(y 2 020)22 0212c(x2 020)2(y 2 020)22 021 d(x2 020)2(y 2 020)22 021 a 由圆的标准方程知(x2 020)2(y2 020)22 0212 3点 (2a，a1)在圆x2(y1)25 的外部，则a的取值范围为a1 或a15 因为 (2a，a1) 在圆x2(y1)25 的外部，所以4a2(a2)2 5，解得a1 或a15 4点 (1,1) 在圆 (x2)2y2m上，则圆的方程是(x2)2y210 因为点 (1,1