高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直学案苏教版必修2-苏教版高二必修2数学学案

1、21.3 两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形abcd中，由ab90 90 180可知adbc.或因为b90，可知abbc；可由a90，得到adab，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到adbc. 在平面几何中， 我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在 ，则它们的 斜率相等 反之也成立，即：已知直线l1：yk1xb1；l2：yk2xb2，则l1l2?k1k2，且b1b2. 这个结论成立的前提是两条直线

2、不重合并且斜率都存在特别地， 若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90，所以它们 互相平行 2当直线l1，l2 都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1 和l2 的斜率都 不存在或k1k2 且b1b2. 3两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2 的乘积k1k21，反之也成立，即：l1l2?k1k2 1. 4两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直这样， 两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在 ，同时另一条斜率为 0 或k1k

3、2 1,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2 的斜率分别为k1，k2，两条直线平行的条件为：l1l2?k1k2 且b1b2；两条直线垂直的条件为：l1l2?k1k2 1；两条直线l1 与l2重合 ?k1k2 且b1b2. 以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直若两条直线的方程是一般式l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则常有以下判定方法：l1 与l2 平行 ?a1b2a2b1 0 且 (b1c2b

4、2c1)2 (a2c1a1c2)2 0 或a1a2b1b2c1c2(a2b2c20) ；l1 与l2 垂直 ?a1a2b1b20；l1 与l2 重合 ?a1a2，b1b2，c1c2(0)或a1a2b1b2c1c2(a2b2c2 0)基础巩固知识点一两条直线平行1 已知过点a( 2，m) 和b(m， 4) 的直线与直线2xy10 平行， 则m的值为 _解析：kab4mm2，过ab的直线与2xy10 平行，4mm2 2，解得m 8. 答案： 8 2已知直线l1： (k3)x(4 k)y1 0 与l2：2(k3)x2y50 平行，则k_解析： l1l2， 2(k3)2(4 k)(k3) 0，解得k3

5、 或 5，经检验k3 或 5时，l1l2. 答案： 3 或 5 3已知点a(3 ，1)、b(0 ， 1)、c(1 ，3)，则点d满足什么条件时，可以使得abcd. 解析： 设d(a，b) ，则kab1（ 1）3023，kcdb3a1. abcd，b3a123. 2a 3b7 0. 当点d在直线 2x3y70 上时，abcd. 知识点二两条直线垂直4过点a( 1，0) 和b(1 ， 1) 的直线与过m(0 ，k) 和nk2，0 (k0)两点的直线的位置关系是 _解析：kab101112，kmn0kk202，kabkmn122 1，即abmn. 答案： 垂直5已知点a(2 ，2) 、b(1， 2)

6、 ，若点p在坐标轴上，且apb为直角，则这样的点p有_个解析： 若点p在y轴上，则点p只有一个；若点p在x轴上，则点p有两个故满足条件的点p共有 3 个答案： 3 6已知直线l1 经过点a( 2，0)和点b(1，3a) ，直线l2 经过点m(0 ， 1) 和点n(a，2a) ，若l1l2，试确定实数a的值解析： (1) 当直线l1、l2 的斜率都存在， 即a0时，直线l1、l2 的斜率分别是k1a，k212aa. l1l2，a12aa 1. a1. (2) 当a0 时，k10，k2 不存在，此时l1l2. 综合 (1)(2)知，若l1l2，则实数a的值为 1 或 0. 知识点三两条直线平行或垂

7、直的判定与应用7已知点a( 4，2) 、b(6 ， 4) 、c(12 ，6) 、d(2 ，12) ，下面四个结论中正确的是_( 填序号 ) abcd; abad; abbd; acbd. 解析：由题意得kab35，kad53，kcd35，kac14，kbd 4， kabkcd，kabkad 1，kackbd 1. abcd，abad，acbd，正确又kabkbd 1，错误答案： 8若已知直线l1 上的点满足ax2y60，直线l2 上的点满足x(a1)ya210(a0)，当a为何值时： (1)l1l2；(2)l1l2. 解析：k1a2，k21a1. (1)l1l2 时，k1k2，即a21a1，解

8、得a2 或a 1. 当a2 时，l1 的方程为2x2y60，即xy30，l2 的方程为xy30，则l1 与l2 重合a 1. (2)l1l2 时，由k1k2 1，得a21a1 1，解得a23. 综上可知，a 1 时，l1l2；a23时，l1l2. 能力升级综合点一平行与垂直的简单应用9在直角坐标平面内有两个点a(4 ，2) 、b(1 ，2) ，在x轴上有点c，使acb90，则点c的坐标是 _解析： 设c(x0，0) ，由acbc，得02x0402x01 1，x00 或x05. 答案： (0 ，0) 或(5 ，0) 10若点a(1 ，2) 在直线l上的射影为b( 1，4) ，则直线l的方程是 _

9、解析： abl，kab4211 1，kl1. 又l过点b，l：y4x 1，即直线l的方程为xy 50. 综合点二平行与垂直的综合应用11已知两点a(2， 0) 、b(3 ，4) ，直线l过点b，且交y轴于点c(0，y) ，o是坐标原点，且o，a，b，c四点共圆，那么y的值是 _解析： 由题意知，abbc，kabkbc 1，即40324y30 1，解得y194. 答案：19412过点a0，73与b(7 ，0) 的直线l1 与过点 (2 ，1) ，(3 ，k1) 的直线l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k为_解析： 若l1 和l2 与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l1l2，而kl173 713，kl2k1 13 2k. 而kl1kl2 1，得k3. 答案： 3综合点三平行直线系或垂直直线系问题13已知直线l1：xy10，现将直线l1 向上平移到直线l2 的位置，若l1，l2 和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l2 的方程解析： l1l2，