大学物理：11-1 平面简谐波的波函数

1、第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数内容提要内容提要1.波动的几个概念波动的几个概念2.平面简谐波函数平面简谐波函数3.波函数的物理意义波函数的物理意义4.举例举例第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数波动无处不在（波动无处不在（the wave motion all around us）Mechanical wavesElectromagnetic wave第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数Wave is a propagating disturbance that tra

2、nsfers energy, momentum and information as its own characteristic speed from one region of space to another.波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机械波机械波1 机械波的形成机械波的形成Disturbance (oscillation)Water, Air第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数1）横波（）横波（Transverse waves） 质点振动方向与波的质点振动方向与波的 传播方向相传播方向相垂直垂直的波的波.2 波的分类波的分类 （Accor

3、ding to the direction of particle motion）第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数特征：特征：具有交替出现的波峰和波谷具有交替出现的波峰和波谷.偏振面（偏振面（Plane of polarization）：）：振动或扰动所发生的平面振动或扰动所发生的平面仅固体中传播仅固体中传播第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数2）纵波：质点振动方向与波的传播方向互相）纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波. 特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部.可在固体、

4、液体和气体中传播可在固体、液体和气体中传播思考：纵波存在偏振面吗？思考：纵波存在偏振面吗？第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数非横波又非纵波。非横波又非纵波。而是而是纵波与横波纵波与横波的合成的合成波速波速想一想：水想一想：水表面波属于表面波属于什么波？什么波？第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数T是拉紧度，是拉紧度，是线密度是线密度0.3mm0.4mm0.5mm0.51g/m0.91g/m1.49g/m第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数波速波速 u 与媒质性质的关系与媒质

5、性质的关系*：1. The velocity of wave on a string22 sin/ 22/ 2umTTTrmlr Tu第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数2. Generalize to the other waves:1/2magnitude of a force factormass factoruTu lKu tGu lEuIn liquid In solid杨氏模量杨氏模量切变模量切变模量体积模量，体积模量，即压缩系数即压缩系数第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数3 波线波线(wave ra

6、y) 波面波面 波前波前(wavefronts)球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前*波面波面振动状态（位相）相同的点连成的面振动状态（位相）相同的点连成的面波线波线研究波动抓住一条波线研究即可。研究波动抓住一条波线研究即可。相邻波面间距相邻波面间距为一个波长为一个波长常见的常见的还有柱还有柱面波，面波，特点如特点如何？何？第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数4. 波动的特点：波动的特点：（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。）所有质点同一时刻位移不同

7、，形成一个波形。（4）振动状态、波形、能量向前传播。）振动状态、波形、能量向前传播。（2）后面质点重复前面质点的振动状态，有）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后位相落后。第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数5. 描述波动的基本量描述波动的基本量y(x,t0)Wave length: space period A snapshot at some instant t0第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数In one time period, some oscillatory state propagate o

8、ne space period.波速（相速）波速（相速）（Phase speed）/uT波源定波源定媒质定媒质定Ttutx/y(x0,t)Time period: T An oscillation at any given position x0第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数),(txyy 各质点相对平各质点相对平衡位置的衡位置的位移位移波线上各质点波线上各质点平衡平衡位置位置二二 一维简谐波的波函数一维简谐波的波函数(one-dimensional harmonic wave function) 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）

9、相对其平衡位置的）相对其平衡位置的位移（坐标为位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称称为波函数为波函数.),(txy1波函数波函数(Wave function)第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cos(/)Atx u相位落后法相位落后法 波函数波函数cos(2/)yAtx点点O 的振动状态的振动状态cos()OyAt2波函数的建立波函数的建立t时刻时刻O点的振动等于点的振动等于t+t时刻时刻P点的振动点的振动t=x/u带入带入P点的振动函数，得到点的振动函数，得到P点的初相位点的初相位=-x/uu=/T=/2第十章第十章 机械

10、波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cos ()cos2/xyAtAtxuyxuAAO想一想：想一想：u沿沿x x轴轴负向负向, ,波函数如何写？波函数如何写？谁比谁相位落后？谁比谁相位落后？ 当振源不位于坐标原点时，如何写波动方程？当振源不位于坐标原点时，如何写波动方程？ oxPxuQL2 ()coscos()xLxLyAtAtu第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 波函数的等价表示：表达为指数形式波函数的等价表示：表达为指数形式2cos( ) Atkxk，波数波数(wave number)cos2txAT（+ ）( ) Reit

11、 kxAe（）()() ReikxitAee（）cos () cos2/xyAtuAtx,2uTT第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数三三 波函数的物理意义波函数的物理意义cos ()cos2 ()xtxyAtAuT1cos()xyAtu1xu初位相为初位相为 的振动方程的振动方程 yTt0振动曲线振动曲线 x一定一定1cos()xyAtu x y0波动曲线波动曲线 t 一定一定1xx 1tt x,t均变均变?各质元离开平衡位置的分布各质元离开平衡位置的分布波动波动第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数若若 均变化，

12、表示波形的传播均变化，表示波形的传播-行波行波tx, ( )cos ()cos ( )xxxyAtAttuuyxuOt时刻时刻xx 即振动状态在即振动状态在t时间传播了时间传播了ut 距离，即波形以速度距离，即波形以速度u传播。传播。想一想想一想: :如何判断波形图上质点振动方向如何判断波形图上质点振动方向? ?tt时刻时刻xu t 在在t+t时刻时刻x+ x处质点振动状态与处质点振动状态与t时刻时刻x处质点振动处质点振动状态相同状态相同,即：即：第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数1. .已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法）已知波函数求各物理量（

13、系数比较法，定义法）2. .已知各物理量求波函数已知各物理量求波函数写写波波函函数数一一般般步步骤骤 选选定定坐坐标标并并明明确确波波的的传传播播方方向向。 选选取取参参考考点点的的位位置置，写写出出其其振振动动方方程程。 比比较较位位于于x处处的的任任一一点点和和参参考考点点（振振源源 或或波波源源）位位相相的的领领先先或或落落后后关关系系。由由参参 考考点点的的 振振动动表表达达式式得得出出波波的的表表达达式式第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数1）给出下列波函数所表示的波的给出下列波函数所表示的波的传播方向传播方向和和x=0点的初相位点的初相位.)

14、(2cosxTtAy)(cosuxtAy 2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式中式中 为正常数，求波长、波速、波传播方为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差.)cos(CxBtAyCBA,d)cos(CxBtAy)(2cosxTtAyC2BT2CBTudCd2讨讨 论论),(向向x 轴轴正正向传播向传播(向向x 轴轴负负向传播向传播, =-第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 3 ） 如图简谐波如图简谐波以余弦函数表示，以余弦函数表示，求求 O、a、b、c 各各点振动点振动初相位初相位.)(Oy

15、xuabcAAt=T/4t =0o2a0b2cOyAOyAOyAOyA第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 例例1. 波形如图波形如图0t cm1A cm12 s2 . 11012uT s/rad35T2 先写先写 点振动方程点振动方程o0 3 y3 005cos()cos()33yAtt波动方程波动方程55cos()cos()333103xxyttus ,g,cm(制制)（1）写出波动方程。）写出波动方程。关键确定关键确定由图可知由图可知解：（解：（1）o第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲

16、平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 220cos ()xyAtu x2处处110cos ()xyAtux1处处（2）求）求 两处质点振动位相差。两处质点振动位相差。cm11x,cm5x21解：解：位相差位相差212121122()()22()(5 11)12xxxxuxx 反位相反位相第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （3）画）画 时波形曲线，时波形曲线， 此刻此刻 处质点振处质点振 动位移、速度、加速度？动位移、速度、加速度？4T3

17、t cm2x cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 4T3t 0t 5cos()3103xyt位移位移振动速度振动速度tyv振动加速度振动加速度2225532() cos()0334103yTat 5323cos()cos0341032T5532535sin()sin5.23cm/s334103323T0t 第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （4）若图为）若图为 波形，波形， 波动方程如何？波动方程如何？s2 . 0t 方法方法1：3t0 6Ts2 . 0t36TT20

18、00 )t35cos(yo )10 xt(35cosy 将波形倒退将波形倒退 得出得出 波形，再写方程！波形，再写方程！6 0t 波形波形cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 0t s2 . 0t 方法方法2：00 .解：关键是求解：关键是求o点的初位相点的初位相第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 例例2 反射波在反射波在S处相位改变处相位改变 。如图示，如图示，已知：已知：波长为波长为 ，tAy cos0 求：求：反射波函数反射波函数),(txy 解：解： 全反射，全反射， A不变。不变。 全反射壁全反射壁 (l- - x)lx y0 =Acost入入反反S0实际上实际上x应该看成是波传播的路程。随着传播的路程的增大，应该看成是波传播的路程。随着传播的路程的增大，相位在减小。即沿着波传播的方向，相位是减小的（落后相位在减小。即沿着波传播的方向，相位是减小的（落后的）。的）。（1）式当中，坐标）式当中，坐标x刚好是传播的路程刚好是传播的路程2 cos),(xtAtxy入射波入射波x是坐标是坐标（1）第十章第十章 机械波机械波第一讲第一讲 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数2 cos),(xlltAtxy半波损失半波损失 全反射壁全反射壁 (l- - x)lx y0 =Acost入入反反S0反射波相