电路原理：第14章 线性动态电路的复频域分析

1、2021-12-2浙江工业大学信息学院1第第 十十 四四 章章2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 2拉拉普普拉拉斯斯变变换换拉氏拉氏变换变换基本基本性质性质拉氏拉氏反变反变换的换的部分部分分式分式展开展开运运算算电电路路应用应用拉氏拉氏变换变换分析分析线性线性电路电路主 要 内 容主 要 内 容2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 3一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义 0)()(dtetfSFst式中：式中：s=+j，称为复频率称为复频率 F(s) f(t) 的象函数的象函数 f(t) F(s)的原函数的原函数 收敛因子收敛因子ste一个定义在区间一个定义在区间0，）的函数）的

2、函数f(t)，它的拉氏变换式，它的拉氏变换式为：为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 4二、拉氏反变换定义二、拉氏反变换定义jcjcstdsesFjtf)(21)(式中：式中：C 正的有限常数正的有限常数 对一个函数进行拉氏变换，是把一个时间函数对一个函数进行拉氏变换，是把一个时间函数f(t)变换变换到到s域的复变函数域的复变函数F(s)；拉氏反变换，则是把一个复变函数；拉氏反变换，则是把一个复变函数F(s)变换到时间函数变换到时间函数f(t)：通常拉氏变换简写为：通常拉氏变换简写为：)()(tfsF)()(1sFtf拉氏反变换简写为：拉氏反变换简写为：注意：注意：拉氏变换和拉氏反

3、变换都是唯一的，即象函数与拉氏变换和拉氏反变换都是唯一的，即象函数与原函数一一对应。原函数一一对应。2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 5)()(ttf1、单位阶跃函数、单位阶跃函数0)()()(dtettfsFstsesdtestst1|100三、常用函数的象函数三、常用函数的象函数2、单位冲激函数、单位冲激函数)()(ttf0)()()(dtettfsFst1)()(00000dtetdtetst2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 60)()(dteetfsFstt3、指数函数、指数函数tetf)( 为实数为实数sests1|)(10)(2021-12-2浙江工业大学信

4、息学院14- 7若时间函数若时间函数f1(t) 和和f2(t)的拉氏变换分别为的拉氏变换分别为F1(s)和和F2(s)， A1、A2为任意常数为任意常数 ，则有：，则有：)()()()(22112211sFAsFAtfAtfA 利用线性性质可直接推导出许多函数的象函数。利用线性性质可直接推导出许多函数的象函数。一、线性性质一、线性性质2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 8例：正弦函数例：正弦函数sin( t)的象函数的象函数)(21)sin(tjtjeejt同理：同理：22)cos(sst)11(21jsjsj22s2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 9例：求函数例：求函数

5、1-e- t的象函数的象函数)() 1 ()1 (ttee)(11ssss2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 10若时间函数若时间函数f (t) 的拉氏变换为的拉氏变换为F (s) ，则，则f (t) 的导数的导数 f (1) (t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：)0()()()()1(fssFdttdftf如果如果f(t)代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数中的第二项便是中的第二项便是uc(0-)或或iL(0-)，即动态元件的初始状态。，即动态元件的初始状态。二、微分性质二、微分性质n 阶导数阶导数f (n) (t)的拉氏变换为：的拉氏

6、变换为：)0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstf)0()0()()(2)2(fsfsFstf二阶导数二阶导数f (2) (t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 11例：试求时间函数例：试求时间函数f(t)及其一阶导数的拉氏变换，并写出及其一阶导数的拉氏变换，并写出一阶导数的表达式。一阶导数的表达式。0303)(ttettf解：解： f(t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：31)(ssF一阶导数的拉氏变换为：一阶导数的拉氏变换为：)0()()()1(fssFtf33233sss一阶导数为：一阶导数为：)(3)(2)(3tettf

7、t2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 12若时间函数若时间函数f (t) 的拉氏变换为的拉氏变换为F (s) ，则，则f (t) 的积分的积分的拉氏变换为：的拉氏变换为：ssFdttft)()(0三、积分性质三、积分性质例：试求单位斜坡函数例：试求单位斜坡函数f(t)=t(t) 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解： 因为因为tdtttttf0)()()(利用拉氏变换的积分性质，有：利用拉氏变换的积分性质，有：201)(1)(stsdtttt同理可得：同理可得：322st1!nnsnt2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 13若时间函数若时间函数f (t) 的拉氏变换为的拉氏变换为

8、F (s) ，则在时间上延迟，则在时间上延迟t0以后的函数以后的函数f (t-t0) 的拉氏变换为：的拉氏变换为：)()()(000sFettttfst利用拉氏变换的延迟性质可用来处理电路中的脉冲信利用拉氏变换的延迟性质可用来处理电路中的脉冲信号。号。四、延迟性质（时域平移性质）四、延迟性质（时域平移性质）2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 14例：试求图示矩形脉冲函数的拉氏变换。例：试求图示矩形脉冲函数的拉氏变换。0f(t)tt0解：矩形脉冲用解析式表示为：解：矩形脉冲用解析式表示为：f(t)= (t)- (t-)因为：因为：st1)(sest1)(根据拉氏变换的线性性质，可得：根

9、据拉氏变换的线性性质，可得：)1(111ssesess)()()(tttf12021-12-2浙江工业大学信息学院14- 15五、复频域平移性质五、复频域平移性质若时间函数若时间函数f (t) 的拉氏变换为的拉氏变换为F (s) ，则将，则将f (t) 乘以乘以e-at后得拉氏变换为的拉氏变换为：后得拉氏变换为的拉氏变换为：)()(sFetft由此可得：由此可得：22)()cos(sstet22)()sin(stet2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 16六、常用函数的拉氏变换表六、常用函数的拉氏变换表)(tA)(tAtAete1)sin( t)cos( tt2tnt)sin( te

10、t)cos( tetttetet)1 (AsA/sA)(ssA22s22ss21s32s1!nsn22)(s22)(ss2)(1s2)(ss2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 17设在用拉氏变换求解电路所得的象函数设在用拉氏变换求解电路所得的象函数F (s)为：为：0111011121.)()()(asasasabsbsbsbsFsFsFnnnnmmmm式中：式中：m、n为正数为正数 ak、bk为实数为实数 分子、分母多项式之间无公因式分子、分母多项式之间无公因式2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 18一、一、F(s)为真分式，且为真分式，且F2(s)=0只含单根只含单根设

11、分母设分母F2(s)=0有有n个不同的单根个不同的单根p1、p2、pn,则则F(s)可以可以写成部分分式展开式：写成部分分式展开式：nkkknnpsApsApsApsAsFsFsF1221121.)()()(式中：式中：A1、A2、 、An为待定系数为待定系数 为确定待定系数为确定待定系数Ak,在上式两端同时乘以在上式两端同时乘以(s-pk)，得：，得：nknkkkkpspsAApspsApspsAsFps)(.)()()()(22112021-12-2浙江工业大学信息学院14- 19 因为上式应对任意因为上式应对任意s都成立，令都成立，令s=pk，等式右边除，等式右边除Ak项外项外均为零，由

12、此得：均为零，由此得：kkpskpskKsFsFpssFpsA)()()(| )()(21 也可以用求极限（罗毕达法则）的方法，对分子、分也可以用求极限（罗毕达法则）的方法，对分子、分母取导数后求得：母取导数后求得：)()()()()()()()()(1121221limlimkkkpskpsKpFpFsFsFpssFsFsFpsAkk求得各待定系数后，相应的原函数为：求得各待定系数后，相应的原函数为：nktpkkeAtf1)(2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 20例：试求例：试求 的原函数。的原函数。)65(6)(2sssssF解：因为解：因为)3)(2()65()(22ssss

13、sssF即即F2(s)=0的根为的根为p1=0，p2=-2，p3=-3，所以，所以F(s)可展开为：可展开为：32)(321sAsAsAsF求得系数：求得系数：1656)65()6(02021ssssssssssA2)3(6)65()6)(2(2222ssssssssssA1)2(6)65()6)(3(3323ssssssssssA2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 21所以所以F(s)的展开式为：的展开式为：121()23FsssstteesF32121)(原函数为：原函数为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 22系数也可用罗毕达法则求得：系数也可用罗毕达法则求得：61

14、03)(22sssFsssssssF65)65()(2322161036021ssssA261036222ssssA161036323ssssA因为：因为：所以：所以：)65(6)(2sssssF2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 23二、二、F(s)为真分式，且为真分式，且F2(s)=0含共轭复根含共轭复根设分母设分母F2(s)=0有一对共轭复根有一对共轭复根pk=+j、pk+1=-j ，这时，这时共轭复根的待定系数共轭复根的待定系数Ak、Ak+1仍可采用与单根同样的办法求仍可采用与单根同样的办法求得，而且得，而且Ak、Ak+1也为共轭复数。也为共轭复数。jsjsksFsFsFjs

15、A)()()()(21jsjsksFsFsFjsA)()()()(2112021-12-2浙江工业大学信息学院14- 24因为因为Ak、Ak+1 为共轭复根，可记为：为共轭复根，可记为：AAAAkk1原函数原函数这对共轭复根的原函数应为：这对共轭复根的原函数应为：tjktjkeAeA)(1)()()(tjtjteeAe)cos(2tAet2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 25例：已知例：已知 ，试求其原函数，试求其原函数)52(534)(22ssssssF解：解：)21)(21()52()(22jsjssssssF543)(22sssF各系数为：各系数为s

16、sssA22212224353454( 12)3( 12)52.553.13( 12)4( 12)5sjssAssjjjj 1.535.23A)1 .532cos(51)(tetft原函数为：原函数为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 26三、三、F(s)为真分式，且为真分式，且F2(s)=0有有r重根重根p1).()()(1212rnrpspspssF设分母设分母F2(s)=0有有r重根重根p1，而其余仍为单根，而其余仍为单根p2、pn-r+1，即：即：则则F(s)可以写成部分分式展开式：可以写成部分分式展开式：11332211111121121.)()(.)()()(rnrnr

17、rrpsApsApsApsApsApsAsFsFsF2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 271)()(112psrsFpsdsdA1 )()()!1(11111psrrrrsFpsdsdrA在上式两边乘以在上式两边乘以(s-p1)r后再求导，并令后再求导，并令s=p1，可得：，可得：系数系数A11、A12、 、 A1r 的的 确定：确定：在上式两边乘以在上式两边乘以(s-p1)r，并令，并令s=p1，可得：，可得：1|)()(111psrsFpsA2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 28例：试求例：试求 的原函数。的原函数。3) 1)(2(3)(ssssF解：因为解：因为

18、中含有一个三重根中含有一个三重根p1=-1和一个单根和一个单根p2=-2，F(s)的部分分式展开式为：的部分分式展开式为：0) 1)(2()(32sssF2)1()1(1)(231121213sAsAsAsAsF各系数应为：各系数应为：1)1(3)()2(2322sssssFsA223)()1(11311sssssFsA2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 293) 1)(2(3)(ssssF123)() 1(11312ssssdsdsFsdsdA12321)()1(!21122132213ssssdsdsFsdsdA21) 1(2) 1(111)(32sssssF所以所以原函数应为：

19、原函数应为：tteetttf22)1 ()(2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 30jsCjsBsAjsjssssssssF11)1)(1(1221)(23，21)(0ssFsA13542)()1(1jSsFjsB13542)()1(1jSsFjsC)135cos(2221)(tetftsssssF221)(23例：例： 求下列函数的原函数求下列函数的原函数 解：解： 其中系数：其中系数： 所以原函数为：所以原函数为： 2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 31一、利用复频域分析的方法一、利用复频域分析的方法14-4 运算电路运算电路1、在时域中根据元件的、在时域中根据元件的

20、VCR和和KCL、KVL列出微分方程，列出微分方程，然后将该微分方程进行拉氏变换，求出在复频域中的解，然后将该微分方程进行拉氏变换，求出在复频域中的解，再进行拉氏反变换，以求得所需的响应。再进行拉氏反变换，以求得所需的响应。难点：列微分方程的工作量较大难点：列微分方程的工作量较大 微分方程的初始条件确定比较困难微分方程的初始条件确定比较困难2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 322、直接将元件的、直接将元件的VCR和和KCL、KVL方程转换到方程转换到复频域中，并将电路转换为复频域中的等效电路，复频域中，并将电路转换为复频域中的等效电路，求出响应的象函数，最后通过拉氏反变换求得响求出

21、响应的象函数，最后通过拉氏反变换求得响应。应。优点：可避免列写复杂的微分方程优点：可避免列写复杂的微分方程 利用附加的独立电源来反映初始条件利用附加的独立电源来反映初始条件2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 33二、元件二、元件VCR关系的复频域形式关系的复频域形式1、电阻元件、电阻元件在时域中线性电阻的在时域中线性电阻的VCR关系为：关系为： uR(t)=RiR(t)对上式进行拉氏变换得：对上式进行拉氏变换得： UR(s)=RIR(s)得复频域中线性电阻的模型如下：得复频域中线性电阻的模型如下：+ iuR+ I(s)U(s)R2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 342、电

22、感元件在时域中线性电感的VCR关系为：对上式进行拉氏变换得：得复频域中线性电感的模型如下：dttdiLtuLL)()()0()()(LLLLissLIsUL uisLUL(s)IL(s)LiL(0-)其中sL为电感的运算阻抗，Li(0-)表示附加电压源的电压，方向与电感电流的参考方向有关2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 35)0(1)(1)(LLLissUsLsI将表达式改写为可得复频域中线性电感的另一模型:UL(s)IL(s)iL(0-)ssL2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 363、电容元件在时域中线性电容的VCR关系为：对上式进行拉氏变换得：得复频域中线性电容的模

23、型如下：0)(1)0()(dtticututcCCsusIsCsUcCC)0()(1)(iC(t) uC(t)CUC(s)IC(s)uC(0-)/s1sC其中1/sC为电容的运算阻抗，uc(0-)/s表示附加电压源的电压，方向与电容电压的参考方向有关2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 37)0()()(CCCCussCUsI将表达式改写为：可得复频域中线性电容的另一模型:UC(s)IC(s)CuC(0-)1/sC2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 384、耦合电感元件ML1L2 i1 u1u2i2对于耦合电感，运算电路中应包括由于互感引起的附加电源。根据耦合电感特性方程：d

24、tdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu12222021-12-2浙江工业大学信息学院14- 39对方程两边进行拉氏变换得：)0()()0()()(2211111MissMIiLsIsLsU)0()()0()()(1122222MissMIiLsIsLsUdtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222式中：sM为互感运算阻抗； Mi1(0-)、Mi2(0-)为附加的电压源sMsL1sL2I1(s)U1 (s)U2 (s)I2 (s)L1i1(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)Mi2(0-)+ +得运算电路如右图所示：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 40四

25、、基尔霍夫定律的复频域形式四、基尔霍夫定律的复频域形式在时域中的基尔霍夫定律为：0)(0)(tuti0)(0)(sUsI对上述两式进行拉氏变换，得到在时域中的基尔霍夫定律为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 41五、复频域阻抗和导纳五、复频域阻抗和导纳在复频域中，对于处于零状态的无源二端网络，端口电压与电流之比也为一常数，定义为二端网络的复频域阻抗：)()()(sIsUsZ)()()(sUsIsY)(1)(sZsY同样二端网络的复频域导纳定义为：复频域阻抗与复频域导纳的关系为：2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 42对于任何电路，在复频域中都有确定的电压电流关系，又满足基

26、尔霍夫定律，因此任一线性电路在复频域中都有一个确定的等效电路与之对应，称为复频域等效电路。在用拉氏变换分析计算线性电路时，画出原电路的复频域等效电路是关键。例：(2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 43例例: : 图示电路处于零状态，图示电路处于零状态，t=0t=0时合上开关时合上开关S S，试求电流，试求电流iL。5050)()1033. 11501(4ssUssssUsss1)(1033. 133. 110200033. 1424750020010)(24sssU解：运算电路如图所示解：运算电路如图所示列出节点电压方程如下列出节点电压方程如下代入数据：代入数据：解得：解得：题题1

27、3-5图图2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 441)(0sLssIAAteetittL)()21231()(15050 15050)150)(50(4103)7500200(410334)()(424sCsBsAssssssssUsIL23150(4103)()50(504sLsssIsB）21)50(4103)()150(1504sLsssIsC2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 45例：图示电路，在开关例：图示电路，在开关S闭合之前已处于稳态，试求开关闭合闭合之前已处于稳态，试求开关闭合后流过开关后流过开关S的电流的电流iK(t)。已知。已知Us=50V，R1=R2=1 ，R=2 ，L=1=1H，C=1=1F。解：先求电路的初始状态解：先求电路的初始状态得：得：iL(0-)=0，uC(0-)=50V然后画出复频域等效电路。然后画出复频域等效电路。采用戴维南等效电路求解。采用戴维南等效电路求解。11 S 2 IK (S) L R1R2 C Us S R iK uC iL 2021-12-2浙江工业大学信息学院14- 46先求开路电压先求开路电压UOC(S)。先