正定矩阵的判定、性质及其应用

1、学校代码： 10722 学号： 1006024112 分类号： O151.21 密级： 公开 题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用 Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定: I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘 要 在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不

2、等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质I1正定矩阵的判定、性质及其应用Abstract We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix

3、 is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,the

4、n the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.I2咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目 录摘 要IAbs

5、tractII目录III引言11 正定矩阵的定义11.1 正定二次型的定义11.2 正定矩阵的定义12 正定矩阵的判定23 正定矩阵的性质64 正定矩阵的应用64.1 正定矩阵在证明不等式中的应用64.2 正定矩阵在数学分析中的应用74.3正定矩阵的其他应用8小结9参考文献10谢 辞11III正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。 在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他

6、便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。1在公元前1世纪，在九章算术中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。2 矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。3历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分

7、支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。4如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。 下面我首先介绍正定矩阵的定义。1 正定矩阵的定义1.1 正定二次型的定义定义15：在实二次型中若对于任意一组不全为零的实数都有，则称该二次型为正定的;若，则称为半正定二次型；若

8、，则称为负定二次型；若，则称为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。1.2 正定矩阵的定义定义2：若实二次型正定，则称实对称阵正定;若实二次型半正定，则称实对称阵半正定；若实二次型负定，则称实对称阵负定；若实二次型半负定，则称实对称阵半负定；若实二次型不定，则称实对称阵不定。 事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二次型时正定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取，则结果不满足6 ）。2 正定矩阵的判定定理17： 元实二次型是正定的充要条件是它的标准形的系数全为正。证: 因为 = 对作合同变换，即取作非线性退化，则实二次型的标准形为

9、 又因为为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即也是正定矩阵。则，即， ， ，所以实二次型的标准形的系数全为正。定理28：元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数为。证：因为是正定的，所以矩阵是正定矩阵，则 那么可化为，且由此可得，正惯性指数为。反之，若该元实二次型的正惯性指数为，且为对称矩阵，根据定理1可得矩阵为正定矩阵。推论：实对称矩阵正定的充要条件是的正惯性指数等于的级数。定理3：阶实对称矩阵是正定的充要条件是二次型的秩与符号差均为。证：必要性 因为是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵所对应的实二次型的正惯性指数为、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为。因为矩阵的主对角线上的

10、元素对应元实二次型的系数，又矩阵为正定矩阵，所以正定矩阵的主对角线上的所有数全部大于零，进而可推出正定矩阵的秩为。充分性 因为二次型的秩与符号差均为，所以正惯性指数为，从而由定理2可得矩阵为正定矩阵。定理49：阶实对称矩阵是正定的充要条件是与单位矩阵合同，即存在实可逆矩阵，使的。证：阶实对称矩阵正定的充要条件是元实二次型正定，当且仅当的正惯性指数为，当且仅当与单位矩阵合同。定理5：阶实对称矩阵是正定的充要条件是的顺序主子式证：必要性 设实二次型是正定的。将任意一组不全为零的实数代入实二次型,有。因此，是正定二次型的。由此，的矩阵的行列式,。这就证明了矩阵的顺序主子式全大于0。充分性 对作第二数

11、学归纳法（1）设当时，=，由题可得 ,则易得是正定的。（2）假设当时，命题成立。（3）下面证明元时的情形： 令， 于是矩阵可以写成因为的顺序主子式全大于零，从而的顺序主子式也全大于零。由假设是正定矩阵，则存在一个可逆的阶矩阵，使得 令，于是再令 ，有=令 ， 就有 ，进而有由条件，因此。显然： =即矩阵合同于单位矩阵，从而得出是正定矩阵，进一步可得实二次型是正定的。定理610： 阶实对称矩阵是正定的充要条件是的特征值都大于零。证：因为矩阵为正定矩阵，所以存在一个正交矩阵，使得 ，进而有 其中 均为矩阵的特征值。那么所对应的二次型为，其中令。则有又因为 即其为正定二次型。所以 均大于零，即的特征

12、值均大于零。定理7：阶实对称矩阵是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均大于零。 注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵，那么要判断矩阵是否为正定矩阵，则要验证的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量，恒有二次型,则矩阵为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵的特征值全部大

13、于零则可得出矩阵为正定矩阵11。例1：当取何值时，为正定二次型？解：设二次型的矩阵，则 ，由二次型正定的充要条件可知当，时正定。由得；由得。于是，当且仅当为正定二次型。例2：设阶实对称矩阵为，且满足，证明矩阵是正定矩阵。证:设,即是的特征值，是的特征向量，由题可以得出： 由得显见，原式的特征值为，又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵是正定矩阵。3 正定矩阵的性质性质112：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。证：设正定矩阵为，得对任一非零向量，都有。取，则有，所以正定矩阵的主对角线上元素全大于零。性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定

14、矩阵一定可逆。性质3：若是正定矩阵，则(其中是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。证：因为正定矩阵可以写为，其中为可逆矩阵。再设其中为正交矩阵为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以。 性质4：若是正定矩阵，则的逆矩阵、伴随矩阵及、各阶主子矩阵均为正定矩阵。证：因为正定，则。又为存在的一个可逆实矩阵，使得，则 即。所以是正定矩阵注：类似可证得正定矩阵的伴随矩阵*也为正定矩阵。性质5：若是可逆矩阵，则对任意阶可逆矩阵，是正定矩阵。性质6：若正定矩阵为阶正定矩阵，则也为正定矩阵。证：由正定，故,所以是对称矩阵。对于任意非零列向量,有，,从而,故正定,所以为正定矩阵。4 正定矩阵的应用4.1 正定矩

15、阵在证明不等式中的应用例1 证明：(均不等于零)证：由原题可设 = =易得：的各级顺序主子式均大于零，即为正定矩阵，进而 。又因为均不等于零，所以，则命题得证。例2 设是阶正定矩阵，证明证：设矩阵的特征值为，由正定可知。又由可知其特征值为，所以。4.2 正定矩阵在数学分析中的应用定理13：元实函数的一阶偏导数等于零的点为,且在点处具有二阶连续偏导数,则黑塞矩阵=为正定矩阵时，为的极小值；当为负定矩阵时，为的极大值；当为不定矩阵时，不是的极值。例3 求函数=的极解：，令=0，则=，=，即驻点。又由，知有二阶连续偏导数，所以=且易得的各阶顺序主子式全大于零，即为正定矩阵，故而在处有极小值且。4.3

16、正定矩阵的其他应用例4 证明：是正定矩阵的充要条件是存在阶正定矩阵使得。证：充分性 因为矩阵是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得 ,其中 则：,其中其中，易得为正定矩阵。必要性 已知，其中是正定矩阵。由于,所以矩阵是实对称矩阵。设的特征值为,，由上矩阵为正定矩阵知 而的特征值为，故矩阵是正定矩阵。例5 设为实系数对称矩阵，证明：的充要条件是存在一实系数矩阵，使得正定。证：必要性 因为，所以为对称矩阵。若，则存在，令，则： ，由此可知正定。充分性 已知正定，则对且有，由上式可知，从而仅有零解，故。例6 设都是阶正定矩阵且，证明：是正定矩阵。证：因为，所以为对称矩阵。又因为是正定矩阵，由例4知存在正

17、定矩阵使得，。于是， 得：与相似。由于,所以是实对称矩阵。又对任意实维列向量，由可逆知，从而 即：矩阵为正定矩阵，由此可得矩阵的全部特征值都大于零，进而的特征值大于零，所以为正定矩阵。例7 设阶实对称矩阵满足，且,又的正惯性指数为，其中，求的值。解：设=，即的特征值是，的特征向量是由 ， 得。又由于，则 得,。因为是实对称矩阵，所以矩阵与对角矩阵相似。又因为和正惯性指数为，知3是的重特征值，-1是的重特征值，0是的重特征值。于是存在阶正交矩阵，使得 则。小结 本文主要介绍了正定矩阵的定义、判定、性质及其应用，并且对部分判定和性质进行了证明，对我们能更深入的了解正定矩阵奠定了一些基础。在高等代数

18、的研究中还有对正定矩阵更深入的研究和发现，比如广义正定矩阵，但由于我目前还没有接触到，所以有待我做进一步的学习和归纳总结。参考文献1王萼芳，石生明.高等代数M.高等教育出版社，2003年2徐帅，陆全，张凯院，吕全义，安晓虹.高等代数考研教案M.西北工业大学出版社，2012年3张禾瑞，郝炳鑫.高等代数M.高等教育出版社，1998年4杨子胥.高等代数习题集M.山东科技出版社，2003年5华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社，2010年6陈文灯，黄先开.考研数学复习指南M.北京理工大学出版社，2012年7钱吉林.高等代数题解精粹M.中央民族大学出版社，2002年8冯红.线性代数大讲堂M.大连理工大学出版社，2