高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.6双曲线word版含答案(精编版)

1、第六节双曲线1双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程2双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质知识点一双曲线的定义条件结论 1结论 2 平面内的动点m 与平面内的两个定点f1，f2m 点的轨迹为双曲线f1，f2为双曲线的焦点|mf1|mf2|2a|f1f2|为双曲线的焦距2a|f1f2| 易误提醒双曲线的定义中易忽视2a|f1f2|则轨迹不存在自测练习 1已知 f 为双曲线c：x29y2161 的左焦点， p、q 为 c 上的点，若pq 的长等于虚轴长的 2 倍，点 a(5,0)在线段 pq 上，则 pqf 的周长为 _解析 ：由双曲线方程知，b 4，a3，c5，则虚轴长为8，则

2、|pq|16，由左焦点 f(5,0)且 a(5,0)恰为右焦点， 知线段 pq 过双曲线的右焦点，则p、q 都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|pf|pa|2a， |qf |qa|2a， 两式相加得 |pf|qf|(|pa|qa|)4a，则|pf|qf| 4a|pq|431628，故 pqf 的周长为281644. 答案： 44 知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0) 图形性质范围xa 或 x a， yrxr，y a 或 ya对称性对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；顶点顶点坐标a1(a,0)，a2

3、(a,0)顶点坐标a1(0， a)，a2(0，a) 渐近线ybax yabx离心率eca，e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 a1a2叫作双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段 b1b2叫作双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b2aa，b，c 关系c2 a2 b2(ca0，cb0) 易误提醒(1)双曲线的标准方程中对a，b 的要求只是a0，b0 易误认为与椭圆标准方程中a，b 的要求相同 若 ab0，则双曲线的离心率e(1，2)；若 ab0，则双曲线的离心率e2；若 0a2. (2)注意区分双

4、曲线与椭圆中的a，b，c 的大小关系：在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中 c2a2b2. (3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为ab. 自测练习 2“ m0，解得m10，故“ m0)的离心率为2，则 a() a2 b.62c.52d1 解析： 因为双曲线的方程为x2a2y231，所以 e213a24，因此 a21，a 1.选 d. 答案： d 4已知 f 是双曲线x23a2y2a21(a0)的右焦点， o 为坐标原点， 设 p 是双曲线c 上一点，则 pof 的大小不可能是() a15b25c60d165解析 ：两条渐近

5、线y33x 的倾斜角分别为30 ，150 ，0 pof30 或 150 0，b0)的右顶点作x 轴的垂线与c 的一条渐近线相交于点 a.若以 c 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过a，o 两点 (o 为坐标原点 )，则双曲线 c 的方程为 () a.x24y2121b.x27y291 c.x28y281 d.x212y241 解析： 依题意， a(a，b)，以 c 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过a，o 两点 (o 为坐标原点 )， c4，4a2b24， a2，b212.故双曲线c 的方程为x24y2121. 答案： a 3已知 f1，f2为双曲线x25y241 的左、右焦点，p(3，1)

6、为双曲线内一点，点a 在双曲线上，则 |ap|af2|的最小值为 () a.374 b.374 c.3725 d.3725 解析： 由题意知， |ap|af2|ap|af1| 2a，要求 |ap|af2|的最小值，只需求|ap|af1|的最小值，当a，p，f1三点共线时，取得最小值，则|ap|af1|pf1|37，|ap|af2|ap|af1| 2a372 5. 答案： c 求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点 )具备的几何条件，即“到两定点 (焦点 )的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的 “绝对值 ”去掉，点的

7、轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b， c 的关系易错易混考点二渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点归纳起来常见的命题探究角度有：1已知离心率求渐近线方程2已知渐近线求离心率3由离心率或渐近线确定双曲线方程4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围探究一已知离心率求渐近线方程1已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为52，则 c 的渐近线方程为() ay14xby13xcy12xdy x解析 ：因为 e2c2a2a2b2a21b2a254，所以b2a214，所以ba12，所以 y 12x.

8、 答案： c 探究二已知渐近线求离心率2(2016 海淀模拟 )已知双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线为y2x，则双曲线的离心率为_解析： 由题意知ba2，得 b2a，c5a，所以 eca5. 答案：5 探究三由离心率或渐近线求双曲线方程3(2016 宜春一模 )已知双曲线x2a2y2b21 的一个焦点与抛物线y24x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为() a5x24y251 b.x25y241 c.y25x241 d5x25y241 解析： 抛物线的焦点为f(1,0)， c1. 又ca5， a15， b2c2a211545. 故所求方程为5x25y241，故选 d.

9、 答案： d 探究四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4已知双曲线x2a2y2b21 与直线 y2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为() a(1，5) b(1，5 c(5， ) d5， ) 解析 ：双曲线的一条渐近线方程为ybax，则由题意得ba2，eca1ba2145. 答案： c 解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分|m|ba或|m|ab讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用考点三直线与双曲线的位置关系|(2016 汕头模拟 )已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)，f1，f2分别是它的左、右焦点

10、， a(1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e2.设过右焦点f2的直线l 与双曲线c的右支交于p，q 两点，其中点p 位于第一象限内(1)求双曲线的方程；(2)若直线 ap，aq 分别与直线x12交于 m，n 两点，求证： mf2nf2. 解(1)由题可知a 1. eca2.c 2. a2b2c2， b3，双曲线c 的方程为 x2y231. (2)设直线 l 的方程为xty2，p(x1，y1)，q(x2，y2)由x2y231，xty2，得(3t21)y212ty90，则 y1y212t3t2 1，y1y293t2 1. 又直线 ap 的方程为yy1x1 1(x1)，将 x12代入，得m12，

11、3y12 x11. 同理，直线aq 的方程为yy2x21(x1)，将 x12代入，得n12，3y22 x21. mf232，3y12 x11，nf232，3y22 x21. mf2 nf2949y1y24 x11 x21949y1y24 ty13 ty23949y1y24t2y1y23t y1y2994993t214 t293t21 3t12t3t21994940，mf2nf2. 解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的

12、问题常用点差法注意： 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系设 a，b 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y33x 2 与双曲线的右支交于m，n 两点，且在双曲线的右支上存在点d，使 omont od，求 t 的值及点d 的坐标解： (1)由题意知a2 3，又一条渐近线为ybax，即 bx ay0. 由焦点到渐近线的距离为3，得|bc|b2a23. b23，双曲线的方程为x212y231. (2)设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，则 x

13、1x2tx0，y1y2 ty0. 将直线方程y33x2 代入双曲线方程x212y23 1 得 x2163x840，则 x1x2163，y1y233(x1x2)412. x0y04 33，x2012y2031.x043，y03.t4，点 d 的坐标为 (43， 3). 20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式 ”致误【典例】已知双曲线x2y221，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a，b两点，且点p 是线段 ab 的中点？易错点析 由于 “ 判别式 ” 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任

14、何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误解设点 a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab 的中点为 (x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意设经过点 p 的直线 l 的方程为y1k(x 1)，即 ykx1 k. 由ykx1k，x2y221，得(2k2)x22k(1 k)x(1k)2 20(2k20)x0 x1x22k 1k2k2. 由题意，得k 1k2 k21，解得 k2. 当 k2 时，方程 成为 2x24x30. 1624 80，所以直线l 与双曲线c 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上答案： d a

15、组考点能力演练1双曲线x236m2y2m21(0m0，b0)上的点， f1，f2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且 pf1 pf2，若 f1pf2的面积是9，则 a b的值等于 () a4 b5 c6 d7 解析： 由|pf1|pf2|2a，|pf1|2|pf2|24c2，12|pf1| |pf2|9，得 c29a2.又ca54，a4，c5，b3.ab7. 答案： d 4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y2n2 1(m0，n0)有相同的焦点f1(c,0)，f2(c,0)，若 c 是 a，m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率是() a.33

16、b.22c.14d.12解析： 依题意， a2 b2m2n2c2，c2am,2n22m2 c2，得 a 4m，c2m， eca12. 答案： d 5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，p 为双曲线右支上的任意一点，若|pf1|2|pf2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是() a(1， ) b(1,2 c(1，3 d(1,3 解析： 因为 p为双曲线右支上的任意一点，所以 |pf1|2a|pf2|， 所以|pf1|2|pf2|pf2|4a2|pf2|4a2|pf2| 4a2|pf2|4a8a，当且仅当|pf2|2a，|pf1| 4a 时，等号成立，可

17、得2a4a 2c，解得 e3，又因为双曲线离心率大于1，故选 d. 答案： d 6已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，过点 f2作与 x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为p，且 pf1f26，则双曲线的渐近线方程为_解析： 易知 p c，b2a，又 pf1f26，tan 6b2a2c，即33c2a22ac，即3e22e30， e3，b2a2c2a212.ba2，则双曲线的渐近线方程为y 2x. 答案： y 2x7设点p 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与圆 x2y2a2b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|3|pf2

18、|，则双曲线的离心率为_解析： 由双曲线的定义|pf1|pf2|2a，又 |pf1|3|pf2|， |pf1|3a，|pf2| a.又点 p在以 f1f2为直径的圆上，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即 (3a)2a2(2c)2，c2a252， e102. 答案：1028已知双曲线c 的左、右焦点分别为f1，f2，其中一条渐近线为y3x，点 a 在双曲线 c 上，若 |f1a|2|f2a|，则 cos af2f1_. 解析： 双曲线的一条渐近线方程为y3x，则 b3a，c 2a.在 af2f1中，由|f1a|2|f2a|，|f1a| |f2a|2a，得|f1a|4a，|f2a|2a，|

19、f1f2|4a，cosaf2f114. 答案：149直线 l：y3(x2)和双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)交于 a，b 两点，且 |ab|3，又 l 关于直线l1：ybax 对称的直线l2与 x 轴平行(1)求双曲线c 的离心率；(2)求双曲线c 的方程解： (1)设双曲线c：x2a2y2b21 过一、三象限的渐近线l1：xayb0 的倾斜角为 . 因为 l 和 l2关于 l1对称，记它们的交点为p，l 与 x 轴的交点为m. 而 l2与 x 轴平行，记l2与 y 轴的交点为q. 依题意有 qpo pom opm . 又 l：y3(x 2)的倾斜角为60 ，则 2 60 ，所以 t

20、an 30 ba33. 于是 e2c2a21b2a211343，所以 e2 33. (2)由于ba33，于是设双曲线方程为x23k2y2k21(k0)，即 x23y23k2. 将 y3(x2)代入 x23y23k2中，得 x233(x2)2 3k2. 化简得到 8x236x363k20，设 a(x1，y1)， b(x2，y2)，则|ab|13|x1x2|2x1x224x1x223624 8 363k2896k23，求得 k21. 故所求双曲线方程为x23y21. 10.如图所示的 “ 8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2y24y4

21、0，双曲线的左、右顶点a，b 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为f1， f2，试在 “8”字形曲线上求一点p，使得 f1pf2是直角解： (1)设双曲线的方程为x2a2y2b2 1(a0，b0)，在已知圆的方程中，令y0，得 x240，即 x 2，则双曲线左、右顶点为a( 2,0)， b(2,0)，于是 a2. 令 y2，可得 x280，解得 x 22，即双曲线过点( 2 2，2)，则8224b21， b 2. 所以所求双曲线方程为x24y241. (2)由(1)得双曲线的两个焦点f1(2 2，0)，f

22、2(22，0)当 f1pf290 时，设点 p(x，y)，若点 p 在双曲线上，得x2 y24，由f1p f2p0，得 (x2 2)(x22) y20，即 x28 y2 0.由x2y24，x28y20，解得x 6，y 2，所以 p1(6，2)，p2(6，2)，p3(6，2)，p4(6，2)若点 p 在上半圆上，则x2 y24y4 0(y2)，由f1p f2p0， 得(x22)(x22)y20，即 x2y280， 由x2y24y40，x2y280，无解同理，点 p 在下半圆也没有符合题意的点综上， 满足条件的点有4 个，分别为 p1(6，2)，p2(6，2)，p3(6，2)，p4(6，2)b 组

23、高考题型专练1(2015 高考全国卷)已知 a，b 为双曲线e 的左，右顶点，点m 在 e 上， abm 为等腰三角形，且顶角为120 ，则 e 的离心率为 () a.5 b2 c.3 d.2 解析： 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，不妨设点m 在双曲线的右支上，如图，abbm2a，mba120 ，作 mhx 轴于h，则 mbh60 ，bha，mh 3a，所以 m(2a，3a)将点 m的坐标代入双曲线方程x2a2y2b21，得 ab，所以 e2.故选 d. 答案： d 2(2015 高考重庆卷 )设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是f，左、右顶点分别是a1， a2，过 f 作 a1a2的垂线与双曲线交于b，c 两点若a1ba2c，则该双曲线的渐近线的斜率为 () a12b22c 1 d 2 解