高中数学二级结论汇编

1、、学习-好资料高中数学二级结论任意的简单 n 面体内切球半径为3VS表(V 是简单 n 面体的体积，S表是简单 n 面体的表面积)2.在任意 ABC内，都有 tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推论：在 ABC 内，若 tanA+tanB+tanC<0，则 ABC 为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的24倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩ex³x +1、-1 x -1< £ln x £x -1 e x xx>ex ( x >

2、1)6.椭圆x 2 y 2+ =1( a >0, b >0) a 2 b 2的面积 S 为S =ab7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：过圆( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2上任意一点P ( x , y ) 0 0的切线方程为( x -a )( x -a ) +( y -b )( y -b ) =r 0 02过椭圆x 2 y 2+ =1( a >0, b >0) a 2 b 2上任意一点P ( x , y ) 0 0的切线方程为xx yy0 + 0 =1 a 2 b2过双曲线x 2 y 2- =1( a >0, b >0) a 2

3、 b 2上任意一点P ( x , y ) 0 0的切线方程为xx yy0 - 0 =1 a 2 b28.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程圆x2 +y 2+Dx +Ey +F =0的切点弦方程为x x +y y + 0 0x +x y +y0 D + 0 E +F =0 2 2椭圆x 2 y 2+ =1( a >0, b >0) a 2 b2的切点弦方程为x x y y 0 + 0 =1 a 2 b2更多精品文档0学习-好资料双曲线x 2 y 2- =1( a >0, b >0) a 2 b 2的切点弦方程为xx y y 0

4、 - 0 =1 a 2 b2抛物线y2=2 px ( p >0)的切点弦方程为y y = p ( x +x ) 0 0二次曲线的切点弦方程为Ax x +B0x y +y x x +x y +y0 0 +Cy y +D 0 +E 0 +F =0 2 2 29.椭圆x 2 y 2+ =1( a >0, b >0) 与直线 Ax +By +C =0( A· B ¹0) a 2 b2相切的条件是A2a2+B2b2=C2双曲线x 2 y 2- =1( a >0, b >0) a 2 b 2与直线Ax +By +C =0( A· B ¹

5、0)相切的条件是A2 a 2 -B 2 b 2 =C 210.若 A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线 AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有kAC+kBD=0 ,( kAC,kBD分别表示 AC 和 BD 的斜率)11.已知椭圆方程为x 2 y 2+ =1( a >b >0) a 2 b 2，两焦点分别为F ， F1 2，设焦点三角形PF F1 2中ÐPF F =q1 2，则cosq³1 -2e2(cosqm ax=1 -2 e2)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x 的点

6、P 的距离)公式0r1,2=a ±ex013.已知k1，k2，k3为过原点的直线l1，l2，l3的斜率，其中l2是l1和l3的角平分线，则k1，k2，k3满足下述转化关系：k =12 k -k +k k 2 2 3 3 21 -k 2 +2 k k 2 2 3，k =2k k -1± (1 -k k ) 1 3 1 3k +k1 32+( k +k ) 1 32，k =32 k -k +k k 2 2 1 1 21 -k 2 +2 k k 2 1 214.任意满足ax n +by n =r的二次方程，过函数上一点( x , y ) 1 1的切线方程为ax x1n -1+by

7、 y n -1 =r 115.已知 f(x)的渐近线方程为 y=ax+b，则limx ® +µf ( x)x=a ， lim f ( x) -ax =b x ® +µ16.椭圆x 2 y 2+ =1( a >b >0) a 2 b 2绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为4V = ab3更多精品文档1 +k ×k学习-好资料17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C19.函数 f(x)具有对称轴 x =a ， x =b

8、( a ¹b )，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2 a -2b |20.y=kx+m 与椭圆x 2 y 2 2 mb 2 + =1( a >b >0) 相交于两点，则纵坐标之和为a 2 b 2 a 2 k 2 +b221.已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)A +B =x2B +C =y2C +A =z22 S = A ×B+B ×C+C ×A22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e =ca)的点的集

9、合(定点 F 不在定直线上，该常数为小于 1 的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线k -k23.到角公式：若把直线 l 依逆时针方向旋转到与 l 第一次重合时所转的角是 q ，则 tan = 2 11 21224.A、B、C 三点共线Û OD =mOA +nOC , OB =1m +nOD(同时除以 m+n)25.过双曲线x 2 y 2- =1( a >0, b >0) a 2 b 2上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为ab226.反比例函数y =kx( k >0)为双曲线，其焦点为

10、( 2 k , 2 k ) 和 ( - 2k , - 2 k )，k<027.面积射影定理：如图，设平面 外的 ABC 在平面 内的射影为 ABO，分别 ABC 的面积和 ABO 的 面积为 S 和 S ，记 ABC 所在平面和平面 所成的二面角为 ，则 cos = S : S更多精品文档学习-好资料28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例， 那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29.数列不动点：定义：方程f ( x ) =x的根称为函数

11、f ( x )的不动点利用递推数列f ( x )的不动点，可将某些递推关系a = f ( a nn -1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理 1 ： 若f ( x) =ax +b ( a ¹0, a ¹1), p 是 f ( x )的不动点， a 满足递推关系na = f ( a nn -1), ( n >1)，则a -p =a ( a nn -1-p) ，即a -pn是公比为 a 的等比数列.定理 2：设f ( x) =ax +bcx +d( c ¹0, ad -bc ¹0)，a n满足递推关系a = f ( a

12、 ), n >1 n n -1，初值条件a ¹ f ( a ) 1 1(1)若f ( x )有两个相异的不动点p, q，则a -p a -p n =k × n -1a -q a -q n n -1（这里k =a -pca -qc）(2)若f ( x )只有唯一不动点p，则1 1= +k a -p a -pn n -1（这里k =2ca +d）定理 3：设函数f ( x ) =ax2 +bx +c ex + f( a ¹0, e ¹0)有两个不同的不动点x , x1 2, 且由u = f (u ) n +1 n确定着数列更多精品文档ï

13、39;ïï学习-好资料u n,那么当且仅当b =0, e =2 a时,u -x u -x n +1 1 =( n 1u -x u -x n +1 2 n 2)230.(1)ì nA nB nC-4sin sin sin n =4 k 2 2 2ïnA nB nC4 cos cos cos n =4 k +1 ï 2 2 2sin( nA) +sin( nB) +sin( nC ) =ínA nB nC4sin sin sin n =4 k +2 ï 2 2 2nA nB nCï-4cos cos cos n =4

14、k +3 î 2 2 2，k ÎN*(2)若A +B +C =，则：sin 2 A +sin 2B +sin 2C A B C=8sin sin sinsin A +sin B +sin C 2 2 2cos A +cos B +cos C =1 +4sinA B Csin sin2 2 2sin2A B C A B C +sin 2 +sin 2 =1 -2sin sin sin2 2 2 2 2 2sinA B C p-A p-B p-C +sin +sin =1 +4sin sin sin2 2 2 4 4 4sin A +sin B +sin C =4sinA B

15、Csin sin2 2 267cottanA B C A B C +cot +cot =cot cot cot2 2 2 2 2 2A B B C C A tan +tan tan +tan tan =12 2 2 2 2 2sin( B +C -A) +sin(C +A -B ) +sin( A +B -C ) =4sin A sin B sin C(3)在任意ABC 中，有：sinA B C 1 ×sin ×sin £2 2 2 8cosA B C 3 3 ×cos ×cos £2 2 2 8sinA B C 3 +sin +si

16、n £2 2 2 2更多精品文档01 21 0 2学习-好资料cosA B C 3 3 +cos +cos £2 2 2 2sin A +sin B +sin C £3 32tanA B C +tan +tan ³2 2 23sin A ×sin B ×sin C £3 38cos A +cos B +cos C £32tanA B C 3 ×tan ×tan £2 2 2 9cos A ×cos B ×cos C £18910sss 2ttt 2A B

17、C 3 +sin 2 +sin 2 ³2 2 2 4A B C +tan 2 +tan 2 ³12 2 2A B C cot +cot +cot ³2 2 2cot A +cot B +cot C ³3 33(4)在任意锐角 ABC 中，有：tan A ×tan B ×tan C ³3 3tan2 A +tan 2 B +tan 2C ³9cot A ×cot B ×cot C £39cot 2 A +cot 2 B +cot 2 C ³131. 帕斯卡定理：如果一个六边形内

18、接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同 一条直线上32. 拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面， 其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式辛普森(Simpson)公式：设拟柱体的高为 H，如果用平行于底面的平面 去截该图形，所得到 的截面面积是平面 与一个底面之间距离 h 的不超过 3 次的函数，那么该拟柱体的体积 V 为1 H V = ( S +4 S +S ) H ，式中，S 和 S 是两底面的面积，S 是中截面的面积(即平面 与底面之间距离 h =6 2 时得到的截面的

19、面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时 所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3 次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB 三角的余弦关系为：cosOAC=cosBAC·cosOAB(BAC 和OAB 只能是锐角)更多精品文档x学习-好资料34.在 ABC 中，C 为直角，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， ABC 的内切圆半径为a +b -c 235.立方差公式：a3

20、 -b 3 =( a -b )( a 2 -ab +b 2)立方和公式：a 3 +b 3 =( a +b )( a 2 -ab +b 2 )36.已知ABC，O 为其外心，H 为其垂心，则OH =OA +OB +OC37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值2a( a >b >0)-2b推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值x 2 x n en +1e x =1 +x + + + x38.2! n! ( n +1)!-ab22( a >b >0)推论：ex>1 +x +x 2239.e

21、 x -e -x ³ax ( a £2)推论：1t - ³2 ln t (t >0) tln x ³axx +a( x >0,0 £a £2)40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 a(长半轴长)42.向量与三角形四心：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c(1)OA +OB +OC =0 Û O 是 DABC 的重心(2)OA ×OB =OB ×OC =OC ×OA Û

22、O为DABC的垂心更多精品文档学习-好资料(3)(4)aOA +bOB +cOC =0 Û O 为 DABC 的内心OA =OB =OC Û O 为 DABC 的外心43.正弦平方差公式：sin2 a-sin 2b=sin(a-b)sin(a+b)44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：sin x =1 1 sin( x + ) -sin( x - )2 211 cos2æ46.点(x,y)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标为 çèx -2 A( Ax +By +C ) 2B ( Ax +By +C ), y -A 2 +B 2 A 2 +B 2ö÷ø47.圆锥曲线统一的极坐标方程：r=ep1 -e cosq(e 为圆锥曲线的离心率)48. 超 几