197-高中数学选修系列2选修2-2《定积分的概念》教案

1、精品教学网 第-35 页第五章定积分的概念教学目的与要求：1 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理， 掌握牛顿莱布尼茨公式。2 解广义积分的概念并会计算广义积分。3掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。5.1 定积分概念一定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数 f(x) 在 a,b 上有界，在 a,b中任意插入若干个分点，把区间 a,b分成 n 个小区间，记,.,max,.2, 1,211niiixxxnixxx在iixx,1

2、 上任意取一点i，作和式：)1.()(1iniixf如果无论 a,b作怎样分割，也无论i在iixx,1 怎样选取，只要0有iniixf1)(i （i 为一个确定的常数），则称极限i 是f(x)在a,b上的定积分， 简称积分，记做badxxf)(即 i=badxxf)(其精品教学网 第-36 页中 f(x) 为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a 为积分下限，b为积分上限， x 称为积分变量，a,b称为积分区间。注1 定积分还可以用语言定义2 由此定义，以上二例的结果可以表示为a=badxxf)(和 s=21)(ttdttv3 有定义知道badxxf)(表示一个具体的书， 与函数 f(x)以及

3、区间 a,b有关，而与积分变量x 无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(4 定义中的0不能用n代替5 如果iniixflim10)(存在，则它就是f(x) 在a,b上的定积分，那么 f(x) 必须在 a,b上满足什么条件f(x)在a,b上才可积分呢？经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为 100 10, 1)(xxxf在0 ，1 上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理 1 设 f(x) 在区间 a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理 2 设 f(x) 在区间 a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x) 在a,

4、b上可积。定理 3 设 f(x) 在区间 a,b上单调，则f(x)在a,b上可积。6 几何意义精品教学网 第-37 页当 f(x)0 时，badxxf)(表示曲边梯形的面积；当f(x) 0 时，badxxf)(表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在a,b上有正有负，则badxxf)(表示曲边梯形面积的代数和。 例 1 计算10dxex解：显然f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积，现将0 ，1分成 n 个等分，分点为ninixi,.2, 1 , 0,，nxi/1，n/1取iix作和式：11 1)(111)(1110101010eeeenlimenlimnelimxflimnn

5、nnnininininiii所以：10dxex=e-1 7按照定义52 定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，badxxf)(是当 ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1 a=b 时，badxxf)(=0 2 ab 时，badxxf)(=-abdxxf)(性质 1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质 2：常数因子可以外提（可以推广到n 个）精品教学网 第-38 页babadxxfkdxxkf)()(性质 3：无论 a,b,c的位置如何，有bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质 4：f(x)1则abd

6、xxfba)(性质 5：若 f(x)g(x) 则,)()(babadxxgdxxfba性质 6：babadxxfdxxf)()(性质 7：设在b, a，mxfm，则abmdxxfabmba性质 8： （积分中值定理）若f(x) 在a,b上连续，则 a,b上至少存一点，使下式成立，)()()(fabdxxfba例 1利用定积分几何意义，求定积分值4dxx1102上式表示介于0 x, 1x, 0y, 2x1y之间面积例 2、 （估计积分值）证明21xx2dx32102证：2221x49xx2在1,0上最大值为49，最小值为2 21xx21322精品教学网 第-39 页21xx213210253 定

7、积分的计算方法一变上限积分函数的导数设函数 f(x)在a,b上连续，x 为a,b上任一点，显然，f(x) 在a,b上连续，从而可积，定积分为xadxxf)(由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为)(xxadttf)(（ba）称)(x是变上限积分的函数。定理 1：设 f(x) 在a,b上连续，则)(xxadttf)(在a,b上可导，且导数为)()()(xfdttfdxdxxa证明省略定 理2： 如 果 函 数f(x)在 a,b上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数)(xxadttf)(是 f(x)在a,b上的一个原函数。注意：1 定理说明了连续函数的原函数一定存在2 此定理指出了

8、定积分与原函数的关系二、基本定理牛顿莱伯尼兹公式定理如果函数f(x) 是连续函数f(x)在区间 a,b上的一个原函数，则。(1) 证已知函数 f(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数， 又根据前面的定理知道，积分上限的函数精品教学网 第-40 页也是 f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即。 (2) 在上式中令x = a ，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此， c = f(a) 。以 f(a) 代入 (2) 式中的 c，以代入 (2) 式中的，可得，在上式中令x = b ，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对 ab 的情形同样成立。为方便起见，

9、以后把f(b) f(a) 记成。公式 (1) 叫做牛顿 (newton)- 莱步尼兹 (leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例 1 计算定积分。解。例 2计算。解。精品教学网 第-41 页例 3计算。解。例 4计算正弦曲线y = sinx在0, 上与 x 轴所围成的平面图形的面积。解。例 5求解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。精品教学网 第-42 页例 6、30 x41cosx0 x4xsinxcosxlncosxlimxtlntdtlim20 x0 x0 xxlncosxlimxsinxlimcosxlim41cosx

10、2xsinxlim410 x8154 定积分的换元法定理：设（ 1）f(x) 在a,b上连续，（2）函数)(tx在.上严 格 单 调 ， 且 有 连 续 导 数 ， （ 3 ）t时 ，bta)(且ba)(,)(则有换元公式：dtttfdxxfba)()()( .(1) 注1 用换元法时，当用)(tx将积分变量x 换成 t 求出原函数后， t 不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2)(tx必须严格单调3可以大于4 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。例 1、20222022dx) 1(x-1xdxx2xx法一设sin t1-x精品教学网 第-43 页23t

11、)dtsin(12dt t coscostsin t)(1202222法二设t2sinx2原式232!4!3!8dt t sin8204例 2设xf在,上连续，且dttft2xxfx0, 证明：若f(x) 为偶函数，则f(x)也是偶函数。证：tdtfu2xutdttft2xxfx0 x0dttft2xx0 xf例 3 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1) xf在-a,a连续，0a当xf为偶数，则a0a-af(x)dx2f(x)dx当xf为奇函数，则0f(x)dxa-a(2) t0taaf(x)dxf(x)dx，xf以 t为周期说明在任何长度为t 的区间上的积分值是相等的。精品教学

12、网 第-44 页例 4、e4)dxe-)(exx(11-1x-x2001原式10 x-x)dxe-x(e210 x-x)e-xd(e210 xx)ex(e2e4例 5、222022dxxsin1 xcosdxx2sinxcos xcos2x2arctansindsin xxsin1120202例 6、设xf为连续函数，且0dxf(x)sinxf(x)求xf解：设0adxf(x)则axsinxf两边积分00a)dx(sinxdxf(x)00axcosxa12a精品教学网 第-45 页12sinxf(x)5.5 定积分的分部积分法定理：若u(x),v(x)在a,b上有连续导数，则bababavdx

13、uuvdxvu|证明：因为vuvuuv)(，则有vuuvvu)(，两边取定积分。有bababavdxuuvdxvu|也可以写成：bababavduuvudv|例 110dxxex解：1) 1(|10101010eedxexexdedxxexxxx例 2edxx1)sin(ln解：eeeedxxxxexxdxxdxx11111)cos(ln1sin)sin(ln|)sin(ln)sin(ln=eeedxxxxxxedxxe1111)sin(ln|)cos(ln1sin)cos(ln1sin=edxxee1)sin(ln11cos1sinedxx1)sin(ln=2111cos1sinee例 3、

14、设0 xdtt1ln txfx1，求x1fxf解：x11x1dtt1lntdtt1ln tx1fxf精品教学网 第-46 页2x1x11x1lnx1lnx例4设)x(f在b,a连)b,a(可 导 ， 且0)x(f，xadt) t (fax1)x(f证明在)b, a(内，有0)x(f证：2xa)ax(dt) t (f)x(f )ax()x(fbxa)ax()(f )ax()x(f )ax(2ax)(f)x(f)x(f0)x(f在)b, a(单调减，x)x(f)(f故0)x(f56 定积分的近似计算57 广义积分一 无穷限的广义积分定义 1 设函数 f(x) 在区间 a , + ) 上连续，取ba

15、，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间 a , +) 上的广义积分，记作，即。(1)精品教学网 第-47 页这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数 f(x)在区间 (- ,+ ) 上连续，如果广义积分和都收敛， 则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +) 上的广义积分， 记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例 1：计算广义积分dxxarctgx021解：dxxarctgx021=8|21lim1lim20202bbbbxarctgdxxarctgx例 2计算广

16、义积分0sin xdx以及xdxsin解：)coslim1 (|cossin00axxdxa显然发散同理00sinsinsinxdxxdxxdx也发散例 3：证明广义积分(a0) 当 p1 时收敛，当p 1 时发散。证当 p = 1时，精品教学网 第-48 页, 当 p1 时，因此，当p 1时，这广义积分收敛，其值为；当 p1 时，这广义积分发散。二无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义 2 设函数 f(x) 在(a,b上连续，而在点a 的右领域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b 上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f