2022年2022年高中数学数学之特殊解法

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载数学方法之特别解法【考情分析】近年高考题尽量削减繁烦的运算,着力考查同学的规律思维与直觉思维才能,以及观看.分析.比较.简捷的运算方法和推理技巧,突出了对同学数学素养的考查；试题运算量不大,以熟识型和思维型的题目为主,很多题目既可用通性.通法直接求解、 也可用“特别”方法求解；其中,配方法.待定系数法.换元法.参数法为几种常用的数学解题方法；这些方法为数学思想的详细表达,为解决问题的手段,它们不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法,事半功倍为它们共同的成效；纵观近几年高考命题的趋势,在题目上仍为很留意特别解法应用,应为他起到

2、避繁就简.防止分类争论.防止转化等作用；猜测 20xx年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质.三角函数变形及求值.方程不等式的参数最值.解析几何求值等学问点的题目会用到这几种特别解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法,它们的规律不太简洁把握,但它们在实际的考试中会节约大量的时间,为后面的题目奠定基础；【学问交汇】1换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法；换元的实质为转化,关键为构造元和设元,理论依据为等量代换,目的为变换争论对象,将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化.复杂问题简洁化,变得简洁处理；换元法又称帮

3、助元素法.变量代换法；通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次.化分式为整式.化无理式为有理式.化超越式为代数式,在争论方程.不等式.函数.数列.三角等问题中有广泛的应用；换元的方法有：局部换元.三角换元.均值换元等；局部换元又称整体换元,为在已知或者未知中,某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉；例如解不等式：4 x 2 x 20,先变形为设2 x t （ t>0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题；三角换元,应用于

4、去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元；如求函数yx 1x 的值域时,易发觉 x0、1,设 x sin 2 , 0、 ,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,2其中主要应当为发觉值域的联系,又有去根号的需要；如变量x .y 适合条件x 2 y 2 r 2 （ r>0 ）时,就可作三角代换x rcos .y rsin 化为三角问题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载均值换元,如遇到x ys 形式时,设x s t ,y 2s t 等等；2精品学习资料精选学

5、习资料 - - - 欢迎下载我们使用换元法时,要遵循有利于运算.有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范畴的选取,肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的t>0 和 0、 ；22待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据为多项式恒等,也就为利用了多项式fxgx 的充要条件为：对于一个任意的a 值,都有faga ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键为依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就为把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方

6、程组来解决,要判定一个问题为否用待定系数法求解,主要为看所求解的数学问题为否具有某种确定的数学表达式, 假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式.拆分分式.数列求和.求函数式.求复数.解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤为：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；3参数法参数法为指在解题过程中,通过适当引入一些与题目争论的数学对象发生联系的新变量（参数）,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题；直

7、线与二次曲线的参数方程都为用参数法解题的例证；换元法也为引入参数的典型例子；辨证唯物论确定了事物之间的联系为无穷的,联系的方式为丰富多采的,科学的任务就为要揭示事物之间的内在联系,从而发觉事物的变化规律；参数的作用就为刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系；参数表达了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支；运用参数法解题已经比较普遍；参数法解题的关键为恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数供应的信息,顺当地解答问题；4配方（凑）法（1）配方法为对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简；

8、何时配方, 需要我们适当猜测,并且合理运用“裂项”与“添项”.“配”与“凑”的技巧,从而完成配方；有时也将其称为“凑配法”；最常见的配方为进行恒等变形,使数学式子显现完全平方；它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程.二次不等式.二次函数.二次代数式的争论与求解等问题；（2）配凑法：从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明白化.简洁化从而达到比较简洁解决问题的方法；常见的配凑方法有：裂项法,错位相减法,常量代换法等；【思想方法】1配方（凑）法典例解析精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1（ 1）（ 11 江苏 7）已知tanx 42、就tan x tan2x的值为 精品学习资料精选学

9、习资料 - - - 欢迎下载解析：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tanx11tan xtan x（1tan2 x）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4tan x tanx、442 tan x29精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tanx13tan2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载41 tan2 x（ 2）已知长方体的全面积为11,其 12 条棱的长度之和为24,就这个长方体的一条对角线长为（） a 23 b14 c5 d6分析：设长方体三条棱长分别为x.y.z,就依条件得

10、：2 xy +yz+zx=11 , 4 x+y+z=24 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而欲求的对角线长为x 2y2z2 ,因此需将对称式x 2y2z2 写成基本对称式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x+y+z及xy+yz +zx的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 为 配 方 法 , 故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222xyzxy2z2 xyyzxz =6 11=25；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2y 2z25 ,应选 c；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题解答关键为

11、在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观看和分析三个数学式,简洁发觉使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解；这也为我们使用配方法的一种解题模式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2例2 （ 1）设f1 和f2 为双曲线xy 21 的两个焦点、 点p 在双曲线上且满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 f1pf2=90°,就 f1pf2 的面积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a1 b5 c2 d52精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：欲求s1 | pf | pf|(1) ,而由已知能得到什么呢

12、？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22pf1 f2212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 f1pf2=90°,得| pf1 | pf2 |202 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又依据双曲线的定义得| pf1|-|pf2|=43 ,那么 2 .3 两式与要求的三角形面 积 有 何 联 系 呢 ？ 我 们 发 现 将 3 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2| pf1 |2| pf 2 |2| pf1 |2| pf2 |2 | pf1 | pf2

13、|16 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 | pf1 | pf2 |12| pf1 |2| pf2 |161422精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s1 | pf| pf|1 ,选 a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf1f 2212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化；（2）设方程x 2 kx 2=0 的两实根为p.q,如 p 2 + q 2 7成立,求实数k 的取精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载qp值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎

14、下载解析：方程x 2 kx 2=0 的两实根为p.q,由韦达定理得：p q k , pq 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 2 +q 2 pq 4 p2q 2 22 p2q2 pq 22 pq22 p 2 q 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4qp pq 2 pq pq 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 k 24248 7,解得k10 或 k10 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 p.q 为方程 x 2 kx 2=0 的两实根, k 2 80 即 k2 2 或 k 22综合起来

15、, k 的取值范畴为：10 k 22或者22 k10 ；点评：关于实系数一元二次方程问题,总为先考虑根的判别式“ ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理；此题由韦达定理得到p q.pq 后,观看已知不等式,从其结构特点联想到先通分后配方,表示成p q 与 pq 的组合式；假如此题不对“”争论,结果将 出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“”的争论,但解答为不严密.不完整的,这一点我们要尤为留意和重视；2待定系数法典例解析精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3（ 11 江苏, 12）在平面直角坐标系xoy 中,已知点p 为函数f xe x x0 的图精品学习资料精选学习资料

16、- - - 欢迎下载x 00x 0象上的动点,该图象在p 处的切线 l 交 y 轴于点 m,过点 p 作 l 的垂线交y 轴于点 n,设线段 mn的中点的纵坐标为t ,就 t 的最大值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：设p x0 、 e、 就 l :yex0ex0 xx 、m 0、1x0 e ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过点 p 作 l 的垂线：yex0e x0 xx 、 n 0、 ex0x0ex 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0xxxxxt1 1x eex ee1 x e xe000

17、00000022精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t '1 ex0 2e x0 1x0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, t 在 0、1 上单调增,在1、 单调减,tmax1 e21 ；e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例4（11安徽文,17）设直线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l1 : yk1 x1、 l 2 : yk2 x1、 其中实数k1 、 k2 满意 k1k220.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ i ）证明l1 与 l2 相交；精品学习资料精选学习资

18、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii ）证明l1 与 l 2 的交点在椭圆2x 2 +y 2 =1上.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：此题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判定与证明,点在曲线上的判定与证明,椭圆方程等基本学问,考查推理论证才能和运算求解才能.证明：（ i ）反证法,假设为l 1 与 l 2 不相交,就l 1 与 l 2 平行,有k1=k2,代入 k1k2+2=0,得k2120.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此与 k1 为实数的事实相

19、冲突.从而 k1k 2 、即l1与l 2 相交 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii ）（方法一）由方程组yk1 x1yk2 x1x2、k2k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得交点p的坐标 x、 y 为2yk2 k2kkk1 . k18k 2k 22k k1.k 2k 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 2x 2y 22k2 22k1k21 2k1211212kkkk22422212k1k212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此即说明交点p x、 y在椭圆2x 2y 21上.精品

20、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（方法二）交点p 的坐标x、y 满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1k1 xy1k2 xk、y11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故知x0.从而k2xy1. x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入k1 k220、得 y1y120.xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理后,得2 x2y 21、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以交点p在椭圆2 x2y 21上.精品学习资料精选学习资料 -

21、- - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3换元法典例解析例 5（ 1）（ 06 江苏卷）设a 为实数,设函数f xa 1x21x1x 的最大值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g a ；（）设t 1x1x ,求 t 的取值范畴,并把f x 表示为 t 的函数 m t ；（）求g a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：（）令 t1x1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要使有 t 意义,必需1+x 0 且 1-x 0,即 -1 x 1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22 t221x2、4、t 0精品学习资料精选学

22、习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t 的取值范畴为2、 2. 由得1x21 t 212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mt=a1 t 221+t=1 at2ta、t22、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）由题意知ga 即为函数mt1 at22ta、 t2、 2 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意到直线t1为抛物线amt 1 at22ta 的对称轴,分以下几种情形争论；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习

23、资料 - - - 欢迎下载（1）当 a>0 时,函数y=mt、t2、 2 的图象为开口向上的抛物线的一段,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1由 t<0 知 mt 在 2、 2. 上单调递增,ga=m2=a+2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 当 a=0 时, mt=t、t2、 2 、 ga=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 当 a<0 时、 函数 y=mt、t2、 2 的图象为开口向下的抛物线的一段,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

24、- 欢迎下载如 t10、2a,即 a2 就 g a 2m22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 t12、2 ,即2a1 就 g a a2211m 1 a1a2 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 t2、 ,即aa0 就2a1g am2a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上有gaa2、a1 、22a1 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a222、a22点评：本小题主要考查函数.方程等基本学问,考查分类争论的数学思想方法和综合运用数学学问分析问题.解决问题的才能；（2）设 a>0,求

25、fx 2asinx cosx sinx ·cosx 2a 2 的最大值和最小值；解析：设sinx cosx t ,就 t -2 、2 ,由 sinx cosx 2 1 2sinx · cosx 得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinx ·cosx t 21,2121精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx gtt 2a22（ a>0）, t -2 、2 ,21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t -2 时,取最小值：2a 22 a,221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 2a2 时, t 2 ,取最大值

26、：2a 22 a；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 0<2a2 时, t 2a,取最大值：1；2112 0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fx的最小值为2a 2 22 a,最大值为222a 22；1222aa 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题属于局部换元法,设sinx cosx t 后,抓住sinx cosx 与 sinx · cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得简洁求解；换元过程中肯定要留意新的参数的范

27、畴（t -2 、2 ）与 sinx cosx 对应,否就将会出错；此题解法中仍包含了含参问题时分类争论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情形进行争论；一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和.差.积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 fsinx ± cosx ,sinxcsox ,常常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的争论；22例 6点 p x, y 在椭圆 xy 21 上移动时,求函数u=x2xy+4y +x+2y 的最大值；+24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解析：点p x、

28、 y 在椭圆 x4y 21上移动,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可设x 2 cos,y sin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 ux22 xy4 y 2x2 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4 cos24 sincos4 sin 22 cos2 sin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=令 cos2cossinsin2t ,cossin1精品学习资料

29、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sincos2 sin ,|t | 2 ；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 u= 2t 2t12t1 223, | t | 2 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 t =2 、 即 sin1时, u 有最大值；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 =2k + kz 时,44参数法典例解析umax622 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7（ 11 辽宁文,

30、21）如图,已知椭圆 c1 的中心在原点 o,长轴左.右端点 m, n 在 x轴上,椭圆 c2 的短轴为 mn,且 c1, c2 的离心率都为 e,直线 l mn, l 与 c1 交于两点,与 c2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 a, b, c,d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（i ）设e1 ,求 bc 与 ad 的比值；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ii ）当 e 变化时,为否存在直线l ,使得bo an,并说明理由解：（ i ）由于 c1, c2 的离心率相同,故依题意可设x2y2

31、b 2 y2x2c1 :221、c2 :421、ab0abaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设直线l : xt| t |a) ,分别与c1, c2 的方程联立,求得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载at、 aa2t 2 、 bt、 ba2t 2 .4 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13当 e时、ba、 分别用ya 、 y b表示 a, b的纵坐标,可知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| bc

32、 |:| ad |2 | yb |b3 .222 | ya |a4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii ） t=0 时的 l不符合题意 . t等,即0 时, bo/an 当且仅当bo的斜率 kbo与 an的斜率 kan相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba2t2aa2t2ab、 tta22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 taba 2b 21ea. e2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 | t |a、 又0e1、所以1 e22e1、解得

33、22e1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以当 0e2 时,不存在直线l ,使得 bo/an；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当2e21 时,存在直线l 使 得 bo/an.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：设问形式的存在性问题很常规,但为题目内容却多年不见,考查了点参数问题,根本不需要设直线方程,更没有直线与圆锥曲线的联立,这为大部分同学所不适应的；此题设交点坐标为参数 、 “设而不求”,以这些参数为桥梁建立 t 的表达式求解；例 8实数 a. b.c 满意 a bc 1,求 a 2 b 2 c 2 的最小值；1分析：由 a b c 1 想到“均值换元法” ,于为引入了新的参数,即设a t 1 , b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 t 2 , c31 t 3 ,代入 a32 b2 c2 可求；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1解析：由a