1-3空间向量及其运算的坐标表示(精讲)(原卷版)

1、1.3空间向量及其运算的坐标表示(精讲)F思维导图ia 'b =k】Mn+j'in I ：i：2一般地，如果空间商量的基底何最引中，4总高都是单住商量, 汨且逵三个向量两两黍直，就蒋这担基底为单住正交基底.农单位 正交兼底下向量的分解群为向量的单住正交分解，而且，量果p =xet +ye3 +ze3 t则称有序实数如Gr, y,2为向量p的坐标，定义 记件p = Gr, yr启*其中jt, yt /骞寿为p的更标分量,；右手拇指指向翼的正方向r右手食指指向¥轴的正方向，空间向量的坐标匀速与原点的选择无关，生标位 注意 工不同，只会百响计算的繁简，不会影喻结果一般要求

2、一 尽贵选择问题中涉及到的点落在坐标轴上高设空间中两个向V： , U满是，：l)t b =(2t SU ：2)r则a +b =（xi+xif ji + nt卜匕）若明 #是的个关数，W+*+=gi+隹，监i+明，g *%)占1=/=出5+d+城当5且讨时，g，。，6=磊=蔼篝电h.|a|J b| I ji I 牙6 十心 + 噌色=同当;现时.；/U=6=X；钿-，门，g)=Mxu产，工1冷卜二加 b=Azi当：的每一个坐标分量都不为零时，有淖=叁=金 (XI yi 11a，b = a "b =Ouc +jin +zije: = ft1）,c （ 1,5, 3）,下列等式中正确的是【

3、例1】（2021哈尔滨）（多选）已知向量a(1,2,3),b(3,0,A. (a b) CC.a b c2 a2 b2,2c【一隅三反】1 （2020 全国高二课时练习）已知a =(11),b =( -1, 2, - 1),则 b =A.(2, 4, 2)B.(-2,-2)C.(2, 0, -2)D.(2,1-3)2.（2021 陕西宝鸡市高二期末（理）已知(1, 2,1),b（1,x, 2）且a-b13,则x的值为（A.B. 4C.D. 63. （2021 山西）已知AB1, 1,0 , C 0,1, 2 ,若cd 2AB，则点D的坐标为(A.2,3, 2 B. 2, 3,2C.2,1,2D

4、.2, 1, 24. （2021 广东中山市）（多选）已知向量 a 4, 2, 4 ,b 6, 3,2 ,则下列结论不正确的是（A. a b 10, 5, 2B. a b 2, 1,6C. a*b 10D.考点二空间向量中数量积的坐标运算【例2】(1)(2021北京昌平区高二期末)下列命题正确的是(A.1,2,2,4,2，则 a/bB.1,2,2,4,2，则a bC.1,2,22,则 a/bD.1,2,22,(2) (2021 陕西宝鸡市局二期末(理)已知向量a (3,1,2)(1,3,t),且a与b夹角的余弦值2 一 一为2 ,则t的取值可以是(7A. 2B.c. 4D.(3) (2021

5、福建泉州市)若OAm, n,0OB40, , pn0,4,0BF则m p的最小值为(A. 1B.C. 3D. 6【一隅三反】(2021 广西钦州市)已知 a1,2,3,m,A.B. 2C.3D. 32.(2021 山西太原市高二期末(理)已知 a 1 t,1,0b 2,t,t ,则 b的最小值是(A.B- .2D. ,53.(2021 河南南阳市高二期末(理)已知空间向量a ( 2, 1,1), b (3,4,5),则下列结论不正确的是()A. (2 a b)/aB. 5 a 3 bC. a 5abD. a与b夹角的余弦值为61,2,3 , OB2,1,2 ,OP 1,1,2 ,4.（2021

6、 浙江高二单元测试）已知空间直角坐标系 O xyz中，OA点Q在直线OP上运动，则当QA QB取得最小值时，点 Q的坐标为（）A.13 1, , 、2 4 31 3 3B一，一，一2 2 4C.考点三建立空间坐标【例3】（1） （2021 莆田第十五中学高二期末）已知i,j,k为单位正交基底，且 a= j 3k ,b=2i 3j 2k，则向量a + b与向量a 2b的坐标分别为 ?.（2） （2021 浙江高二单元测试）在正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别为AD，BBi的中点，则cos EAF ； EF .【一隅三反】1. （2021 浙江台州市）已知直四棱柱 ABCD ABQiDi的高为4,底面边长均为2,且 BAD 60 ,是侧面BCCiBi内的一点，若DP DiP ,则AP的最小值为 2. （2021 河南郑州市）如图所示，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为4,MN是它内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）,P为正方体表面上的动点，当弦 MN的长度最大时，的PM PN取值围