2022年2022年高三-圆锥曲线知识点总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.椭圆方程 .1. 椭圆的第肯定义：第八章圆锥曲线专题复习精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf1 pf1 pf1pf 2pf 2pf 22af 1f 2 方程为椭圆 、2af 1f 2 无轨迹 、2af1f 2 以f1、f 2为端点的线段精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2椭圆的方程形式：椭圆的标准方程：2i. 中心在原点,焦点在x轴上：xa2y21ab2b0 . ii.中心在原点,焦点在y 轴上：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

2、- - - 欢迎下载y2x2a 2b21ab0 .x 2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 一 般 方 程 ： ax 2by 21 a0、 b0 . 椭 圆 的 参 数 方 程 ：1的 参 数 方 程 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b2 y bcos 、 bsin 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x a cosy b sin（一象限应为属于 0） .2 acos 、asin n x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：椭圆参数方程的推导：得3椭圆的性质：n a cos、 b sin方程的轨迹为椭圆.n 的轨迹为椭圆精品学习资

3、料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点： a、00、b) 或 0、ab、0 .轴：对称轴：x 轴, y 轴；长轴长2a ,短轴长2b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦 点 ： a 2c、0c、0或 0、c0、 cc. 焦 距 ：f 1f 22c、 ca2b 2. 准 线 ： xa或2c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y.离心率：e0ca22e1 .焦半径：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i. 设 p x0、y 0 为椭圆xa 2y1 ab b 20 上的一点,f 1、f 2为左.右焦点,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

4、料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf 1aex0 、pf 2aex022精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：由椭圆其次定义可知：来为 “左加右减 ”.pf1aex0 caex0 x00、pf2eacx0 ex0ax00 归结起精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii. 设p x0 、y 0 为椭圆x2b22y1 ab a 20 上的一点,f 1、 f 2 为上.下焦点,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf 1aey0 、pf 2aey0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通径：垂直于x 轴且

5、过焦点的弦叫做通径：2b 2d2；坐标：b 2 c、b 2c、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4共离心率的椭圆系的方程：椭圆x 2y222a b1 ab 0 的离心率为ec c aa2b2 ,方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y 2程a2b 2tt 为大于0 的参数, ab0 的离心率也为ec我们称此方程为共离心率的a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载椭圆系方程 .25如p 为椭圆：xa 2y221 上的点 . f 1、f 2 为焦点,如bf 1pf 2,就pf 1f 2的面积为精品学习资料精选学习

6、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 2 tan2（用余弦定理与pf 1pf 22a 可得） . 如为双曲线,就面积为2bcot.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点二.双曲线方程 .1. 双曲线的第肯定义：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf 1pf 1pf 1pf 2pf 2pf 22af 1f 2 方程为双曲线2af 1f 2 无轨迹2af 1f 2 以f 1、f 2的一个端点的一条射线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2双曲线的方程：2 双曲 线

7、标准方 程：xa 22y1 a、 b b2220、 yxa 2b 21 a、 b0.一 般 方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax 2cy 21 ac0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3双曲线的性质：i.焦点在 x 轴上：顶点：a、0、 a、0焦点：c、0、 c、0准线方程xa 2渐近线c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程： xay0 或 x2ba 22y0 ii.焦点在 y 轴上：顶点： 0、b 2a、 0、 a .焦点： 0、 c、 0、c) .

8、准精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线方程：ya.渐近线方程：2cyx0 或 y2aba 2x0 ,参数方程：22bx a sec或y b tan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x b tan.y a secc2a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载轴 x、 y 为对称轴, 实轴长为2a、 虚轴长为2b,焦距 2c.离心率e.准线距ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（两准线的距离） ；通径2b 2a.参数关系c 2a 2b 2 、 ec .焦半径公

9、式：对于双曲线a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2y 2方程a 2b 21（ f 1、f 2 分别为双曲线的左.右焦点或分别为双曲线的上下焦点）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载“长加短减”原就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mf 1mf 2ex0aex0a构成满意mf 1mf 22am f 1m f 2ex0ex0a（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载径要带符号运算,而双曲线不带符号）yy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mf 1ey0amf 2ey0am'mf 1mxxf 1f2精品学

10、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m'm f 1ey0af22m f 2ey0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 等轴双曲线： 双曲线 x 2y 2a称为等轴双曲线, 其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222轭 双 曲 线 . xyab与 xy2222ab互 为 共 轭 双 曲 线 , 它 们 具 有 共 同 的 渐 近 线 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y 20 .a

11、2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6共渐近线的双曲线系方程：x2y 2a 2b 20 的渐近线方程为xy22a 2b 20 假如双曲线的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载渐近线为xay0 时,它的双曲线方程可设为 b1x 2y 2a2b 210 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如：如双曲线一条渐近线为yx 且过2p3、 ,求双曲线的方程？y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：令双曲线的方程为：xy0 ,代入3、1x 2y 2432 得1.精品学习资料精选学习资料 -

12、 - - 欢迎下载2247直线与双曲线的位置关系：2821x5 3f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条；1f23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.留意：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0.2.3.4 条.精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入渐近线求交和两根之和与两根之积同号.“ ”法 与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2y 2如 p 在双曲线1 ,就常用结论1：p 到焦点的距离为m 与 n,就 p 到两准精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b2线的距离比为m n. 简证：d 1d 2pf 1e pf 2e=m . n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三.抛物线方程 .设 p0 ,抛物线的标准方程.类型及其几何性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

14、下载y 22 pxy 22 pxx 22 pyx 22 py精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图形 yyyy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxxxoooo精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点pf 2、0f p 2、0f 0、 p 2f 0、p 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222范畴x0、 yrx0、 yrxr、 y0x准线pp xxppyy2r、 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称轴x 轴y 轴顶点（0, 0）精品学习资料

15、精选学习资料 - - - 欢迎下载离心率焦点pfpx21pfp2e1px1pfy12pfpy21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2留意：ay 2bycx 顶点 4acb 4ab . 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 y22 px p0 就焦点半径pfx p ; x 222 py p0 就焦点半径为pfy p .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通径为2p,这为过焦点的全部弦中最短的.x22ptx 2 pt精品学习资料精选学习资料 - - -

16、 欢迎下载 y22px （ 或 x 22 py）的参数方程为（或y 2pty22 pt）（ t 为参数） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2关于抛物线焦点弦的几个结论：设ab为过抛物线y=2px p>0 焦点的弦, ax 1 , y 1 .p 22b x 2 、y 2 、直线 ab的倾斜角为 ,就：x 1x2=, y 1y 2= p ; |ab|=2 p；24sin0以ab 为直径的圆与准线相切；焦点f 对a. b 在准线上射影的张角为90 ；112.| fa | fb |p四.圆锥曲线的统肯定义.1. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点f 和定直线 l 的距离之比为常数e

17、 的点的轨迹 .当 0e1 时,轨迹为椭圆；当 e1 时,轨迹为抛物线；当 e1 时,轨迹为双曲线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 e0 时,轨迹为圆（ec , 当 c a0、 ab 时） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点为关于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证ab=cd、即证 ad 与 bc 的中点重合即可.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 当椭圆的焦点位置不明确,而无法确定其标准方程时,可设方程为x2y2=1 （ m>0,精品学习资料精选学习资料 -

18、 - - 欢迎下载mnn>0 且 mn）,这样可以防止争论和纷杂的运算,椭圆与双曲线的标准方程均可用简洁形式mx2 +ny2=1（ mn 0）来表示, 所不同的为： 如方程表示椭圆,就要求 m>0,n>0 且 m n ；如方程表示双曲线,就要求mn<0,利用待定系数法求标准方程时,应留意此方法的合理使用,以防止争论；4. 双曲线为具有渐近线的曲线,复习中要留意以下两个问题：x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）已知双曲线方程,求它的渐近线方程,将双曲线的标准方程a 2b 21 中的常精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2xy精品学习

19、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数“ 1”换成“ 0”,即得a2b2=0,然后分解因式即可得到其渐近线方程=0；如a b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求中心不在原点,对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程,只需将双曲线方程x, y 分别配方,然后将常数“1”换成“0 ”,再分解因式,就可得渐近线方程,例如双曲线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x22y22 =1 的渐近线方程为x 322y22 =0,即 y ± 3（ x+2 ）,因此,假如双曲线的方3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点程已经确定,那么它的渐近线方程也就

20、确定了；（2）求已知渐近线的双曲线方程,已知渐近线方程为axby =0 时, 可设双曲线方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2 x2b 2 y20 ,再利用其他条件确定的值,求法的实质为待定系数法,假如已精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载知双曲线的渐近线,双曲线方程却不为惟一确定的；5.在建立抛物线的标准方程的坐标系时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简洁,便于应用；五直线和圆锥曲线的位置关系: 相交,相切,相离；1直线与圆锥曲线c 位置关系的判定:2判定直线与圆锥曲线c 的位置

21、关系时, 将直线的方程代入曲线c 的方程, 消去 y（也可消去 x ）得一个关于变量x （或 y ）的一元二次方程ax +bx+c=0 ；当 a 0 时,如 0,就与 c 相交； 如=0,就与 c相切； 如 0,就有与 c 相离；当 a=0 时,即得到一个一次方程,如方程有解,就直线与 c 相交,此时只有一个公共点如 c为双曲线,就平行于双曲线的渐近线；如 c为抛物线,就平行于抛物线的对称轴；留意： 当直线与双曲线.抛物线只有一个公共点时,直线和双曲线.抛物线可能相切,也可能相交；2直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦ab,设,就弦长公式：当时、弦长公式仍可以写成：

22、留意： 利用这个公式求弦长时,应留意应用韦达定理；六. 求曲线的方程 .1坐标法的定义：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点在直角坐标系中,用坐标表示点, 把曲线看成满意某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标（x , y ）所满意的方程表示曲线,通过争论方程的性质间接地来研究曲线的性质. 这就为坐标法. 2坐标法求曲线方程的步骤：建系设点点满意的几何条件坐标化整理化简成最简形式证明（可省略, 但必需删去增加的或者补上丢失的解）3求轨迹方程的常用方法：直接法.定义法.代入法.参数法等；七. 规律方法指导 .1三种圆锥曲线定义.标准方程及简洁几何性质的对比:椭圆双曲

23、线抛物线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1到两定点f1.f2 的距离之和为定值 2a（2a |f 1f2| ）的点的定义轨迹1到两定点f1.f2 的距离之差的肯定值的为定值2a（0 2a|f 1f2| ）的点的轨迹精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2与定点和定直线的距离之比2与定点和定直线的距离之比与定点和定直线的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为定值 e 的点的轨迹（ 0 e 1）为定值 e 的点的轨迹（e 1）相等的点的轨迹精品学习资料精选学习资料 - -

24、 - 欢迎下载图形标准方方程程参精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数方程角）（参数为离心（参数为离心角）（ t 为参数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载范畴,中心原 点 o（0, 0）原 点 o（ 0, 0）顶点（ a, 0）（ a,0）,（ a, 0）,（ a, 0）（ 0, 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点（ 0, b）,（ 0, b）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称轴x 轴, y 轴；长轴长 2a,短轴长2bx 轴, y 轴；x 轴实轴长 2a,虚轴长2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点f1

25、（ c , 0）, f2（ c, 0）f1（ c, 0）, f2（ c , 0）焦距离心率e=1准线渐近线2有关圆锥曲线综合题类型:(1) 求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采纳“先定形,后定式,再定量”的步骤：定形指的为二次曲线的焦点位置与对称轴的位置,假如位置不确定时,考虑为否多解；此时留意数形结合,在图形上标出已知条件,检查轴上的点.垂直于轴的直线的位置为否精确等；定式依据“形”设方程的形式,留意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在22哪个坐标轴上时,可设方程为mx+ny =1 m0、 n 0定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小；此

26、处留意n 个未知数,列够n 个独立的方程,并留意“点在线上”条件及韦达定理的使用；留意： 求指定的圆锥曲线的方程为高考命题的重点,主要考查同学识图.画图.数形结合.等价转化.分类争论.规律推理.合理运算及创新思维才能,解决好这类问题,除要求同学们娴熟把握好圆锥曲线的定义.性质外, 命题人仍经常将它与对称问题.弦长问题.最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法(2) 求取值范畴或最值函数方法 -将待求范畴参数表示为另一个变量的函数,留意求函数的定义域；方程与不等式组-n个未知数,列够n 个独立方程或不等式,留意归纳总结列不等式的方法：利用几何性质求参数范畴；利用不等式性质 结合几何性质 求参数范同3解析几何问题中,解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构.问题结构多,且易于发散,一旦形成为图形或学问点的综合,往往最具运算量.最为繁难复杂因此,有时即便为明确明白法甚至较细的步骤,解题过程当中也经常被卡住,算不究竟.算不出正确结果也为常有的事；因此,如何解决运算量问题,对于解题胜利与否至关重要解决运算问题,可以有以下措施：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点(1) 不断提高运算和恒等变形才能；留意培育观看问题.分析问题.转化问题.解决问题的才能,防止思维定势,提高