(完整版)浅析洛必达法则求函数极限

1、1名5财“、M AN LSh kRSri Y (»本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名： 卫瑞娟学号：1004970232专 业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师： 严惠云完成日期：2013年3月8日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础， 在众多求极限方法中， 洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中， 一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题， 对洛必达法则求函数极限的条件及范围、 应用、 何时失效做了整体分析与探讨， 并举例说明。 除此之外， 还介绍了除洛必达法则之外

2、其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。关键词 ：洛必达法则 函数极限无穷小量1WORD格式-可编辑-专业资料一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 （1）（一）洛必达法则定理 （1）（二）洛必达法则使用条件（2）二、洛必达法则的应用 （2）（一）洛必达法则应用于基本不定型（2）（二）洛必达法则应用于其他不定型（3）三、洛必达法则对于实值函数失效问题（5）（一）使用洛必达法则后极限不存在 （5）（二）使用洛必达法则后函数出现循环 （6）（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 （6）（四）使用洛必达法则中求导出现零点 （6）四、洛必达法则与其他求极限方法比较 （6）（一

3、）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 （7）（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 （8）（三）洛必达法则与夹逼定理求极限（9）五、洛必达法则求极限小结（10）（一）洛必达法则条件不可逆 （10）（二）使用洛必达法则时及时化简 （11）（三）使用洛必达法则前不定型转化 （11）序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数 学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一 个数学家苦思冥想出来的。极限的求法很多，主要包括有：利用极限的定义；利用极限的运算法则求极限；利用极限存 在的条件和准则求极限；利用两个

4、重要极限求极限；利用等价无穷小量和泰勒展开求极限； 利用函数的连续性求极限；利用洛必达法则求极限；利用中值定理求极限；利用导数或定积 分的定义求极限；利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这 一方法进行了分析与概括。洛必达法则求函数极限的条件及适用范围(一)洛必达法则定理定理11若函数f(x)与函数g(x)满足下列条件：(1)在a的某去心邻域v(x)内可导，且g'(x)0(2) lim f (x)0 lim g(x) 0x a 0x a 0(3) lim -f-(x)- A 则lim上区lim上式0 A (包括A为无穷大的情形)x a 0 g'(x)

5、x a 0 g(x) x a 0 g'(x)定理2若函数f (x)和g(x)满足下列条件(1)在a的某去心邻域v(x)内可导，且g'(x)0(2)lim f (x)x a 0Jim 0 g(x)-完整版学习资料分享(4) lim上3 A 则lim上区lim "x)A (包括A为无穷大的情形)x a 0 g'(x)x a 0 g(x) x a 0 g'(x)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：x x0 , x x0 , x x0 , x , x , x定理证明：作辅助函数F(x)f(x)3x (a,a ),0,当x aWORD格式-可编辑-专业

6、资料G(x)g(x)，当 x (a,a ),0, 当x a于是函数 F(x)及G(x)在a, a、， , 一. 一 、，一 , ' .一)连续，在a,a 可导，并且G (x) 0.今对a, a 内任意一点x,利用柯西中值定理得F(x)F(x) F(a)G(x)G(x) G(a)F'(xo)G'(xo),xo(a,x).由F(x)及G(x)的定义，上式即 f(x) Ux2g(x)g'(xo)所以当x a 0时(这时显然有x0a 0),对上式两端取极限，即limx a 0f(x) g(x)limx a 0f'(x"g'(x。)1类似，这里就

7、不点出。当然，还有其他不同的证明方法。证毕。关于定理二的证明方法也同定理(二)洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足 法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的 结果，下面举个例子来说明。x sin x例1 ：求lim x x sin x分析：根据洛必达法则使用条件，此式为一型，所以可以使用洛必达法则，但是1而xsinxlim 1cosx,结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不x xsin xx 1cosx

8、能再进行第二次。x sin x 1 cosx / sin x、解：lim lim lim ( )1x x sin x x 1 cosx x sin xsin xx sinx 1 一事实上，lim xlim1,这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也x x sinxx 1 sinxx可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用(一)基本类型：不定式直接应用法则求极限-完整版学习资料分享-WORD格式-可编辑-专业资料1 cosx例 2：求 lim2x 0 x2运用洛必达法则,我们有解：这是0待定型。： 0因为从而例 4：求 lim in-x ( x xlxmo1 c

9、osxlimlx 00).(1 cosx)'(x2)sin x lim 一 x 0 2xlimx 0sin x 1cosx-2 xx1 sin x一 lim 一2 x 0 x解：上述极限是 一待定型,.lnx . x lim lim 1x xxlimx(二)未定式的其它类型：000、°、1型极限的求解x-完整版学习资料分享此外，除了 0型或一型这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如 00 ,00,1 ,0.等待定型，由于他们都可以转化为0型或一型，0因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值2。关于如何转换,例如lim f (x) 0,lim g(x)，则limf

10、(x)g(x)是0 形式，这时，可以写为f(x)g(x)fx或型这就转化为0型或一型了。此外对于1 ,00,0等不定式，可以110g(x)f(x)取对数化为0 的形式，再运用如上方法便可转化为0型或一型了，下面对这些待定型一一举例0解答以作说明31 ,2 、例 5： lim (-2- ctan x).x 0 x2解：这是 型，设法化为0形式：02 221 2sin x x cos xlim ( ctan x) lim 22x 0 xx 0 x sin xsin x x cosx sin x xcosxlim 2x 0 sin xx sin x例 6：求 lim (2x)解：这是1(1 1)xi

11、m2lxm02limx tan 2Mi(2x)=exp=exp例7:求lim (x x解：这是limxsin x xcosx2Tzx sin xxsin x22xsinx x cosxexpx cosx sin xlim1tan-xln(2ln(2 x) lim x 1cotx2lim- 2 x1 x2产0待定型，经变形得ln(x 1 x2)ln xlimx8:求limxln x解：这是x)(csc2)2lim (x . 1x1lim 勺1(x1d x2)K待定型，可变形为xlnxlimx1)ln x.2ln x41 xlimxlnx ,成了 一待定型，于1ln xlim xlnx lim l

12、im lim （ x） 0x 0x 01 x 01 x 0_2xx例 9：求 lim xx x 0解：这是00待定型，由对数恒等式知，xx exlnx,运用例8可得xxln x lim xln x 0lim x lim eex 0 e 1x 0x 0三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则 时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上 定理

13、1、2的条件（3） 4例10：计算lim xx sin xxsin xsin x1 -解：原式=limx1x / sin x1 x1、定（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理 理2的条件（3）例11：计算lim xxexexJ型） e解：原式=lim x2xe2xe=1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也 就是不符合定理1、定理2的条件（3）1e x 0一例12：计算lim （-型）x 0 x 0令人1，一,e tt斛：令 t 一，则原式=lim - lim -r 1xx 01 x 0 et（四）求导后有零点，也就是不满足条

14、件例如-WORD 格式-可编辑-专业资料-limxe2x(cosx 2sin x) e 2x sin2 x_ x _ _e sin x的极限是不存在的，事实上，取x n冗- （n ）,此时分母的导数是有季点的。4四、洛必达法则与其它求极限方法比较使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关 注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说 单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便（一）洛必达法则与无穷

15、小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当 x 0时，sin x x,tanx x,arcsinx xex 1 x,ln（1 x） x,2 1 cosx,V1 x <1 x x2用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换5,下面举个例子作为比较。例13求1如21 cosx2 -2"x sin x解1：（运用无穷小量代替法）21 cosx2_2x sin xlx”1 4 -x24x解2:（利用洛必达法则）d21 cosx lim -2x 0 x sin x

16、= lxm022xsin x32.22x cosx sin xlimx 0一一 2sin x2 2 -一 2x cosx sin x22xcosx2- 3 ,2_2x 0 2xcosx 2x sin x 2xcos x2cosxlim 222x 0 2cosx x sin x1分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就可简化解 题过程。x sin x . x sinx解：lim f = lim3一x 0 x2(ex 1) x 0x31 cosxlim2x 0 3x21 2-x lim -2-2x 0 3x2（二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较6

17、利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。一旦我们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比较常见、便捷的方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。例14：求lim n84n 9n 5T-82T27n 4n 6n解1：limn8-4n 9n 5-82T27n 4n 6nlimn89n (1 n8461 n (7568 )n这里运用到了 lim4nlim飞n n5limnlimn解2:此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必 达法则求此极限的解题过程，以做说明。limn

18、84n 9n 5r 83 日 27n 4n 6nlimn7.38n 36n-Z7Z2-56n12n 12n（第一次运用洛必达法则）lim8n6 36n2n 56n6 12n 12limn48n5 72n 336n5 12（第二次运用洛必达法则）8n5 12nlim5n 56n24（第三次运用洛必达法则）40n4 12 lim4n 56 5n8 5 5n 1 一 一，lim 5n 3 1（第四次运用洛必达法则）n 56 5 4n 7-完整版学习资料分享WORD格式-可编辑-专业资料所以原式=lo7单已例14为例，纵观用极限运算和已知极限来求函数极限同使用洛必达法则求极限，显而易 见前者要显的简单

19、的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。（三）洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比较夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。 定理内容：如果对于点x0的某一零域内的一切 x但x0本身可以除以（或对于绝对值大于某一正数的一切x）有不等式g（x） f （x） h（x）成立，且lim g（x） lim h（x） I ,则lim f （x） I。使用两边夹法则求函数极限，关于在于把%或f（X）适当放大或者缩小。下面举个例子分别用洛必达法则和夹逼定理来求函数极限，以作比较。,、1 x15：求 lim (1)x1:（运用两边夹定理）对于任意X1时,有1且 lim 1xlim 1x根据两边夹

20、定理，则lim (1x1)x x2:（利用洛必达法则）分析:首先可以看出原式是属于形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形式，但是这里,需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。lim (1x1)x xxln 1lim ex（第一次转换）lim x ln x先求lim xlnxlnlimx（第二次转换）-完整版学习资料分享1x(1 1)limxx_1xlim x(1综上：原式=e1 e纵观这两种解法比较，若说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但是若说 难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。五、洛必达法则求极限注意事项小结诚然，洛必达法则的内容简单，使用方

21、便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可能造成 运算出错。(一)洛必达法则条件不可逆洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。因此，在0型或一型中，limf(x)存在，并不g (x)能断言lim f®不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他合适的解题方法，以下例子可 g(x)以明显看出。例16：求lim xx sin xx分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于一型，此时若使用洛必达法则则lim xsinx lim 18sx,显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存在？答案xx x1是否定的，下面我们用其他方法来解此题。解：, sinx1 -x sinxx /lim lim- 1x x x 1结果为1,所以原式的极限是存在的。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。(二)使用洛必达法则时，应及时化简7o使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有无穷小量 代替法、分离极限不为零的因子、变量代换等下面通过例子说明/1 2 x .31 x x e * 1 x一 .2例 17： lim 3x 0x3分析：此题若是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无穷小量 代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。解：猴11 2 x1 x - x e 123xxim0.1 x3 13x1 lim -