2022年2022年高一数学必修1各章知识点总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载一.集合有关概念1. 集合的含义高一数学必修1 各章学问点总结第一章集合与函数概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由happy的字母组成的集合h、a、p、y(3) 元素的无序性:如： a、b、c和a、c、b为表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 、 大西洋 、 印度洋 、北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的篮球队员、b=1、2、3、4、5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自

2、然数集）记作： n正整数集n* 或 n+整数集 z有理数集q实数集r1） 列举法： a、b、c2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法； xr| x-3>2 、x| x-3>23） 语言描述法：例： 不为直角三角形的三角形 4） venn 图:4.集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二.集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： ab 有两种可能 （ 1）a 为 b 的一部分, ；（ 2）a 与 b 为同一集合；反之 :集合 a 不包含于集合b、 或集合 b 不包含集合

3、a、 记作 ab 或 ba 2“相等”关系：a=b 5 5,且 5 5,就 5=5实例：设a=x|x2-1=0 b=-1、1“元素相同就两集合相等”即：任何一个集合为它本身的子集；a a真子集 : 假如 a b、 且 ab 那就说集合a 为集合 b 的真子集,记作 ab 或 ba假如ab、 bc 、 那么 ac 如 果 ab同时 ba 那 么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 :空集为任何集合的子集,空集为任何非空集合的真子集；个子集, 2个真子集nn-1有 n 个元素的集合,含有2三.集合的运算运算交集并集补集类型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定由全部属于a 且

4、属义于 b 的元素所组成的集合 、 叫做 a、b 的由全部属于集合 a 或属于集合 b 的元素所组成的集合, 叫做 a、b设 s 为一个集合,a 为s 的一个子集,由s 中全部不属于a的元素组成的集合, 叫做 s 中子精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交集 记作 ab（ 读作 a 交 b）,即ab= x|xa,且的 并集 记作： ab（读作 a 并 b）, 即ab =x|xa,集 a 的补集 （或余集）记作 c s a ,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xb韦恩ab图示图 1或 xb ab图 2csa= x| xss、 且xaa精品学习资料精选学习资料 - - -

5、欢迎下载性aa=a a =ab=baaba质abbaa=aa =aab=baababbcuac ub= cu abcuac ub= cuabac ua=uac ua= 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题：1. 以下四组对象,能构成集合的为（）a 某班全部高个子的同学b闻名的艺术家c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数2. 集合 a , b, c 的真子集共有个23. 如集合 m=y|y=x-2x+1、xr、n=x|x 0 ,就 m与 n 的关系为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 设 集 合 a= x 1x2 , b= x xa,如 ab,就 a 的取值范畴为

6、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.50 名同学做的物理.化学两种试验,已知物理试验做得正确得有40人,化学试验做得正确得有31 人,两种试验都做错得有4 人,就这两种试验都做对的有人；6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合m=.227. 已知集合a=x| x+2x-8=0、 b=x| x-5x+6=0、 c=x|22x -mx+m-19=0、如 b c, a c=,求 m的值二.函数的有关概念1函数的概念：设a.b 为非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合a 中的任意一个数x ,在集合b 中都有唯独确定的数fx和它对应, 那么就称f ：a b

7、 为从集合a 到集合 b 的一个函数 记作： y=fx, x a其中, x 叫做自变量,x 的取值范畴a 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x a 叫做函数的值域 留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据为：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必需大于零；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 指数.对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数为由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域为使各部分都有意义的x 的值

8、组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例2 2值域 :先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3.函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx、 x a 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点px , y 的集合c,叫做函数y=fx、x a 的图象c 上每一点的坐标x ,y 均满意函数关系y=fx ,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实数对x.y 为坐标的点 x , y ,均在

9、 c 上 .(2) 画法a. 描点法：b. 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间.闭区间.半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示 5映射一般地, 设 a.b 为两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合a 中的任意一个元素x ,在集合 b 中都有唯独确定的元素y 与 之对应,那么就称对应f ： ab 为从集合a 到集合b 的一个映射；记作“f（对应关系）：a（原象）b（象）”对于映射f ： a b来说,就应满意：(1) 集合 a 中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象为唯独的；(2) 集合 a

10、 中不同的元素,在集合b 中对应的象可以为同一个；(3) 不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域为各段定义域的交集,值域为各段值域的并集补充：复合函数假如y=fuu m、u=gxx a、 就 y=fgx=fxx a称为f . g的复合函数；二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数y=fx的定义域为i ,假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x 1,x 2,当 x1<x 2 时,都有fx 1<fx2 ,那么就说fx

11、在区间d 上为增函数 . 区间 d 称为 y=fx的单调增区间.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如对于区间d 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当 x 1<x2 时,都有 fx 1fx 2 ,那么就说fx在这个区间上为减函数. 区间 d 称为 y=fx的单调减区间 .留意：函数的单调性为函数的局部性质；（ 2）图象的特点假如函数y=fx在某个区间为增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右为上升的,减函数的图象从左到右为下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 1任取 x 1, x 2 d,且

12、 x1<x2； 2作 差 fx 1 fx 2 ； 3变形（通常为因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 5下结论（指出函数fx在给定的区间d上的单调性）(b) 图象法 从图象上看升降(c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能为其定义域的子区间、 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地, 对于函数fxfx就叫做偶函数的定义域内的任意一个x ,都有 f x=fx,那么（ 2）奇函数一般地, 对于函数fx的定义域

13、内的任意一个x ,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1 第一确定函数的定义域,并判定其为否关于原点对称； 2 确 定 f x 与 fx的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0,就 fx为偶函数；如f x = fx或 f x fx = 0,就 fx为奇函数留意：函数定义域关于原点对称为函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域为否关于原点对称,如不对称就函数为非奇非偶函数. 如对称, 1 再依据定义判定 ; 2 由 f-x ±f

14、x= 0 或 fx f-x= ±1 来判定; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 .9.函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式为函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一为要求出它们之间的对应法就,二为要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a , b 上单调递增,

15、在区间b , c 上单调递减就函数 y=fx在 x=b 处有最大值fb；假如函数y=fx在区间 a , b 上单调递减,在区间b , c 上单调递增就函数 y=fx在 x=b 处有最小值fb；例题：1. 求以下函数的定义域：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x2 x15x1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yy1x33x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 设函数 f x 的定义域为 0, 1 ,就函数f x 2 的定义域为 _ _精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 如函数f x1) 的定义域为2, 3 ,就函数f 2 x1 的定义

16、域为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2 x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 函数f xx2 1x2 x x22) ,如f x3 , 就 x =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 求以下函数的值域：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 yx2x3 xr yx22x3x1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3yx12 x4yx4x5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载26. 已知函数f x1x 24x ,求函数f x,f

17、 2x1的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. 已知函数fx满意 2f xf x3x4,就f x =；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 设fx 为 r 上的奇函数,且当x0、 时、f xx13 x 、 就 当 x、0 时f x =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 在 r上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx22x3 yx22x3yx26 x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

18、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 判定函数yx 31 的单调性并证明你的结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 设函数f x1x 21x 2判定它的奇偶性并且求证：f 1 xf x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.指数函数（一）指数与指数幂的运算其次章基本初等函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1根式的概念： 一般地,假如 xn*a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且

19、n n 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都为0,记作 n 00 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n 为奇数时,n a na ,当 n 为偶数时,n a n| a |aa0aa0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a nna m a0、 m、 nn * 、n1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mamn11aanma n0、 m、 nn * 、 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运

20、算性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrs（ 1） a · aa a0、 r、 sr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rs（ 2） a r（ 3） aba rs aa r a s a0、 r、 s0、 r、 sr ；r 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地,函数ya x a0、且a1 叫做指数函数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 x 为自变量,函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能为负数.零和12.指数函数的图象和性质a>10<a<166

21、554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域r定义域r值域 y 0值 域 y 0在 r 上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数图象都过定点（ 0, 1）函数图象都过定点（ 0, 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1 ） 在 a , b 上 ,f xa x a0且a1 值 域 为f a、 fb 或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f b、 f a ；精品学习资料精选学习资料 - -

22、 - 欢迎下载（ 2） 如 x0 ,就f x 1 ； f x取遍全部正数当且仅当x r ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）对于指数函数二.对数函数（一）对数f xa x a0且a1 ,总有f 1a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1对数的概念： 一般地, 假如 a xn a0、 a1 ,那么数 x 叫做以a 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载底 n 的对数, 记作： x数式）log a n（ a 底数, n 真数,log an 对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明： 1留意底数的限

23、制a0 ,且 a1 ； 2a xnlognx ；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3留意对数的书写格式log a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载指数式与对数式的互化幂值真数aab nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 果 a0 , 且 a1, m0 , n0 ,那么：精品学习资料精选学习资料

24、- - - 欢迎下载 1log a m· n log a m log a n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 2log anlog a m log a n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 3log a mn log a mnr 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：换底公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log a blog c b（ alog c a0 , 且 a1； c0 , 且 c1 ； b0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载利用换底公式推导下面的结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

25、载（ 1） logb nn logb ；（ 2） logb1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载amma（二）对数函数alog b a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.对数函数的概念：函数y log axa0 ,且 a1 叫做对数函数,其精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中 x 为自变量,函数的定义域为（0, +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都为形式定义,留意辨别； 如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2 log 2 x , yxlog 55都不为对数函数,而只能称其为对数型函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2

26、对数函数对底数的限制：2.对数函数的性质：a0 , 且 a1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a>10<a<1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32.521.51 10.532.521.51 10.5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义域 x 0定义域 x 0值域为 r值域为 r在 r 上 递增在 r 上递减精品学习资料精

27、选学习资料 - - - 欢迎下载函数图象都过定点（ 1, 0）函 数 图 象 都 过 定 点（ 1, 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）幂函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.幂函数定义：一般地,形如为常数2.幂函数性质归纳yx ar 的函数称为幂函数,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）全部的幂函数在（0, +）都有定义并且图象都过点（1, 1）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0、 上为增函数 特精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载别地,当1时,幂函数的图象下

28、凸；当0凸；1时,幂函数的图象上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）0 时,幂函数的图象在区间0、 上为减函数在第一象限内,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴例题：1. 已 知 a>0 ,a0 ,函数 y=a x 与 y=log a-x 的图象只能为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 运算：log3 2; 2 4log2 3 =；1 log 5 272532 log 5 2 =;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log 27 64精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 0.064 17 084 2 3 316 0.751=0. 012精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 函 数 y=log1 2x -3x+1 的递减区间为22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 如函数f xloga x0a1 在区间a、2a 上的最大值为最小值的3 倍,就 a=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -