(完整word)高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角,推荐文档

1、21 6 323 直线与平面的夹角 、选择题 1. 已知平面 a内的角/ APB = 60 射线 PC 与PA、PB 所成角均为 135 贝 U PC 与平 面a所成角的余弦值是（） A 远 B 远 A. 3 3 C 亚 C. 3 DY 答案 B 解析 由三余弦公式知 COS45 COSaCOS30 ； COS a= 2. 三棱锥 P ABC 的底面是以 AC 为斜边的直角三角形，顶点 P 在底面的射影恰好是 ABC 的外心，PA= AB= 1 , BC = 2,贝 U PB 与底面 ABC 所成角为（ ） A. 60 B. 30 C. 45 D. 90 答案B 解析由 AB = 1, BC

2、=灵，知 AC = V3, OA普 / 1 X1 又 PA = 1, PQ 丄 AC, PO = , 0 OB= OA =于，. tanBuf. 应选 B. 3. 正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD 所成角的正弦值是（ BF 1 4. 在三棱锥 PABC 中，AB 丄 BC, AB= BC = 2 啓，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP 丄底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为（ ） 答案 C 解析 由计算得 sin 0= 32故选 C. C.中 D. A. 21 6 A. B. 8*3 3 答案 cos(OD, n) = OD

3、 OD n _1 |OD| n| 设 OD 与面 PBC 的角为0,贝 U sin 0= 300，故选 线 a 所成角的取值范围是（ ） n D. 3， 答案D 2i0 D.r 解析 以 0 为原点，射线 OA、OB、OP 为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系, 女口图，设 AB = a,贝 U OP = 可求得平面 PBC 的法向量为 n = ( 1, - 1, ,OD = ( 42a,0, -a), n 5.若直线 I与平面a所成角为 3，直线 a 在平面 a内，且与直线 I异面，则直线 I与直 6如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的 3 倍, 那么斜线段与平面所 成角的余弦

4、值为（ ） 1 A3 答案A 7.如图，正方体 ACi中，BCi与对角面 BBiDiD 所成的角是（ CiBBi CiBD C. CiBDi CiBO 答案D 解析由三垂线定理得，OB 为 BCi在平面 BBiDiD 上的射影. 故选 D. &在棱长为 i 的正方体 ABCD AiBiCiDi中，E 为 CCi的中点, 则直线 AiB 与平面 BDE 所成的角为（ ） D. 2n A 0，亍 n B 3, 2n 3 n A. 6 n B.3 严 - /1 |n 5 C.J D n 6 v 答案B 解析以 D 为原点建立空间直角坐标系，平面 BDE 的法向量 n = (1 , - 1,2

5、), 而 BAi= (0, - 1,1), 直线 A1B 与平面 BDE 成 60。角. 9. 正方形纸片 ABCD，沿对角线 AC 折起，使点 D 在面 ABCD 外，这时DB 与平面 ABC 所成角一定不等于( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 答案D 解析当沿对角线 AC 折起时，BD 在面 ABC 上的射影始终在原对角线上， 若 BD 丄面 ABC,则此时 B、D 重合为一点，这是不成立的，故选 D. 10. 已知等腰直角 ABC 的一条直角边 BC 平行于平面 a点 A a,斜边 AB= 2, AB 与平面a所成的角为 30则 AC 与平面a所成的角为( ) A.

6、30 B. 45 C. 60 D. 90 答案B 解析过 B、C 作 BB丄a于 B , CC丄a于 C , 则 BB = CC = 1, - sin 0= ? , - 0= 45 .故选 B. 、填空题 11. 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等， 则 AC1与平面 BB1C1C 的夹角的余弦值 为 _ . 答案V 解析设三棱柱的棱长为 1，以 B 为原点，建立坐标系如图，则 V3 1 丄 込 1 C1(0,1,1), A , 2，0，AC1= , 2，1，cos 0= 1+2=並 2 . 3 2 0= 30 . 3 . 又平面 BBiCiC 的一个法向量 n= (1,0,0),

7、 设 ACi与平面 BBiCiC 的夹角为Q sin e= |cos |=害= lACiini 12. 正四棱锥 S ABCD 中，O 为顶点 S 在底面内的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO =OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 _ . 答案30 13. AB/ a, AA丄a, A 是垂足，BB 是a的一条斜线段，B 为斜足，若 AA = 9, BB = 6 雨，则直线 BB与平面a所成角的大小为 _ . 答案60 14. 正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F 分别为 AAi、A1D1的中点，贝U EF 与面 AiCi所 成的角为 _ . 答案45 三、解答题 1

8、5. 如图所示，ABCD 是直角梯形，/ ABC= 90 , SA 丄平面 ABCD , 1 SA= AB= BC = 1，AD = 2，求 SC 与平面 ABCD 所成的角. 解析解法 1 :如图所示，设 n是平面a的法向量，AB 是平面a的一条斜线，A a, AB 与平面a所成的角为 扌一 arccosAB列; |AB| n AS 是平面ABCD的法向量，设 CS 与 AS 的夹角为a / CS =CB + BA+ As, ASCS= AS(CB + BA+AS) = AS AS= i. |AS|= 1 , |CS|= .(CB + BA + AS)2 = jCB l2 + |BA 2 +

9、 |AS |2= .3, AS| |CS|cos e= J - sin2時计 cos= AS CS 片 arccos 中 3 - n 从而 CS 与平面 ABCD 所成的角为 2-arcco 解法 2 :连结 AC,显然/ SCA 即为 SC 与平面 ABCD 所成的角.计算得： AC= ；2, tan / SCA 晋 16. 如图，在直三棱柱 ABO A B O 中，00 = 4, 0B= 3, / AOB = 901D 是线段 A B的中点，P 是侧棱 BB 上的一点.若 0P 丄 BD，试求： (1)0P 与底面 AOB 所成的角的大小; (2)BD 与侧面 A00 A所成的角的大小.

10、解析如图，以 0 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有 设 P(3,0 , z),则 BD = 2，2, 4 , 0P= (3,0 , z). BDOP一 2 + 4z= 0, z= 9 -P 3, 0, 9 . (1) / BB丄 平面 AOB , / POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角. 9 8 3 3 tan/ POB = = 3, ./ POB = arctanz. 3 8 8 3 故 OP 与底面 AOB 所成角的大小是 arcta (2) / OB = (3,0,0)，且 OB 丄平面 A00 A, 平面 A00 A的法向量为OB = (3,0,0). T 3 3 又 DB

11、 = (3,0,0) , 2, 4 = 2, 2, 4 , 3 9 OB DB = 3X + ( 2) X 0+ ( 4)X 0= 又 |0B|= 3,故 SC 与平面 ABCD 所成角为 arcta B(3,0,0) , D 3, 2, 4 , / BD 丄 OP , |DB|= . 2 2+( 2)2+( 4)2=啰, T T 9 OB DB _ 2 _3 |OB|DB| = =莎 n T T n 3 BD 与侧面 AOO A所成的角的大小为 - =-arcco 马転(或写成 3 arcsin) 17. 如图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，E 是 CCi的中点，求 BE 与平面 B

12、iBD 所成角的正弦值. 解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 B(2,2,0), Bi(2,2,2), E(0,2,1), BD = ( 2, 2,0), BBi= (0,0,2), BE= ( 2,0,1). 设平面 BiBD 的法向量为 n = (x, y, z), Tn 丄 BD , n 丄 BBi n BD = 2x 2y= 0 n BBi = 2z= 0 x= y 令 y = i 时，贝 U n = ( i,i,0), i8. (2009北京)如图， 在三棱锥 P ABC中， PA丄底面 ABC, PA = AB,/ ABC = 60 / BCA = 90 点 D

13、, E 分别在棱 PB, PC 上，且 DE / BC. (1) 求证：BC 丄平面 FAC; (2) 当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; 解析考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内cos = n BE |n|E| 即 BE 与平面 BiBD 所成的角的正弦值为 i0 cos 容，可以用直接法实现，也可用向量法. 解法一： / PA 丄底面 ABC, PA 丄 BC. 又/ BCA= 90 AC 丄 BC. BC 丄平面 PAC. 1 (2) / D 为 PB 的中点，DE / BC, DE = qBC. 又由知，BC 丄平面 RAC, DE 丄平面

14、 PAC,垂足为点 E. / DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角. / FA 丄底面 ABC, PA 丄 AB, 又 FA= AB, ABF 为等腰直角三角形, 1 AD = AB. V2 1 在 Rt ABC 中，Z ABC = 60 BC = qAB. 在 Rt ADE 中，sin Z DAE =匪= -BC= AD 2AD 4 解法二：(1)如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz. (1) / AP= (0,0, a), BC= 2a, 0, 0 , BC 丄 AP. 又 TZ BCA = 90 BC 丄 AC. BC 丄平面 PAC. AD 与平面 FAC 所成的角的大小为 arcsi2. 设 PA= a，由已知可得 A(0,0,0), B 器,23a, 0 , C 0, 0 ,