2022年2022年选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载2-3 随机变量及其分布要点归纳一.离散型随机变量及其分布列11随机变量：在随机试验中,我们确定了一个对应关 系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母x, y,等表示2离散型随机变量：全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量3离散型随机变量的分布列：一般地,如离散型随机变量x可能取的不同值为x1,x2, xi ,x n, x取每一个值xi i 1, 2, n 的概率 p x xi pi,以表格的形式表示如下：xx1x 2xixnpp1p2pipn我

2、们将上表称为离散型随机变量x 的概率分布列,简称为x的分布列有时为了简洁起见,也用等式px xi pi , i 1, 2, n表示 x的分布列4 离散型随机变量的分布列的性质： pi 0, i 1, 2,n；npi 1.i 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5常见的分布列：两点分布：假如随机变量x的分布列具有下表的形式,就称x听从两点分布,并称ppx 1为胜利概率 .x01p1pp两点分布又称0 1 分布,伯努利分布超几何分布：一般地,在含有m 件次品的n 件产品中,任取n 件,其中恰有x 件次品,就大事 x k 发生的概率为p xkn k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

3、迎下载k cm c n mcn n, k 0, 1, 2, m, 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x01m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0n 01n 1mn m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pc m cn mcn nc m c n mcn nc m c n mcn n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 mmin m , n ,且 n n ,m n, n,m , n n* .假如随机变量 x的分布列具有上表的形式,就称随机变量x 听从超几何分布2二项分布及其应用1条件概率：一般地,设a 和 b 为两个大事,且p a 0,p（ ab）

4、称 pb|a p（ a） 为 在 大事a 发生的条件下,大事 b 发生的条件概率pb |a读作 a 发生的条件下b 发生的概率2条件概率的性质：0 pb|a 1；必定大事的条件概率为1,不行能大事的条件概率为0；假如b和c 为两个互斥大事,就p b c |a p b|a pc|a 3大事的相互独立性：设a, b 为两个大事,假如p ab papb,就称大事a 与 大事b 相互独立假如大事a 与 b相互独立,那么a 与 , 与 b, 与 也都相互独立baab(4) 独立重复试验：一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验(5) 二项分布：一般地,在 n 次独立重复试验中,设大

5、事 a 发生的次数为 x ,在每次试验中大事 a 发生的概率为 p,那么在 n次独立重复试验中,大事 a恰好发生 k次的概率为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p x k c pk 1 pn k , k 0,1, 2, n.此时称随机变量 x听从二项分布,记作x b n, p,并称 p为胜利概率两点分布为当n 1时的二项分布,二项分布可以看成为两点分布的一般形式3离散型随机变量的均值与方差(1) 均值.方差：一般地,如离散型随机变量x的分布列为 xx1x2x ix npp1p2pipn就称 ex x1 p1 x2p2 xi pixn pn为随机变量 x的均值或数学期望,它反映了离散

6、型随机变量取值的平均水平精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称 d x nx i e x 2 pi 为随机变量x 的方差,d （ x ）为i 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载随机变量x 的标准差(2) 均值与方差的性质：如y ax b,其中 a,b为常数, x为随机变量,就y也为随机变量,且eaxbaex b,d axb a2d x(3) 常见分布的均值和方差公式：两点分布：如随机变量 x 听从参数为 p的两点分布,就均值exp,方差 dx p1p二项分布：如随机变量xb n, p,就均值 exnp,方差 dx np1p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2

7、 正态曲线的特点：曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；曲线为单峰的,它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值1；2曲线与 x 轴之间的面积为1.3 和 对正态曲线的影响：当 肯定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移；当 肯定时,曲线的外形由确定, 越小,曲线越“瘦高 ”,表示总体的分布越集中；越大,曲线越“矮胖 ”,表示总体的分布越分散4 正态分布的3原就：如随机变量xn , 2,就 p x 0.682 6, p 2 x 2 0.954 4, p 3 x 3 0.997 4.在实际应用中,通常认为听从于正态分布n,2的随机变量 x 只取 3, 3之间的值,并简称之为3原就精品学习资料精

8、选学习资料 - - - 欢迎下载专题一条件概率1条件概率的求法1 利用定义,分别求出pa和 pab ,解得pb |a p（ ab ）p（ a） .2 借助古典概型公式,先求大事a 包含的基本领件数na,再在大事a 发生的条件下求大事b 包含的基本领件数 n ab ,得 pb|a n（ ab ） .n（ a）2解决概率问题要留意“三个步骤,一个结合”1求概率的步骤为： 第一步,确定大事性质；其次步,判定大事的运算；第三步,运用公式2概率问题经常与排列.组合学问相结合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例1】在5道题中有 3道理科题和 2道文科题假如不放回地依精品学习资料精选学习资料

9、- - - 欢迎下载次抽取 2道题,求：1第1次抽到理科题的概率；2第1次和第 2次都抽到理科题的概率；53在第 1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率解设“第1次抽到理科题”为大事 a, “第2次抽到理科题”为大事 b,就 “第1次和第 2次都抽到理科题”为大事 ab . 1从 5 道题中不放回地依次抽取2 道题的大事数为n a 220.依据分步乘法计数原理,na a1× a 1 12.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于 为 pan（ a）n（ ）34123.205精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载专题二相互独立大事的概率1求相互独立大事一般与互斥

10、大事.对立大事结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清大事间的内部联系,在些基础上用基本领件之间的交.并.补运算表示出有关大事,并运用相应公式求解2特殊留意以下两公式的使用前提1如a, b互斥,就 pa bpapb,反之不成立2如a, b相互独立,就 pab papb,反之成立【例 2】 甲.乙.丙三台机床各自独立加工同一种零件,甲机床加工的零件为一等品而乙机床加工的零件不为一等品的概率为1,4乙机床加工的零件为一等品而丙机床加工的零件不为一等品的概率为1 ,甲丙两台机床加工的零件都为一等品的概率为2.1291 分别求出甲.乙.丙三台机床各自独立加工的零件为一等品的概率；2 从甲.乙.丙加工的

11、零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3m 5; x:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载专题三离散型随机变量的分布列.均值与方差1离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布,由于这两种分布列在生活中应用较为广泛,故在高考中对该学问点的考查相对较敏捷,常与期望.方差融合在一起,横向考查2对于分布列的求法,其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法,运算时可能会用到等可能大事.互斥大事.相互独立大事的概率公式等3均值与方差都为随机变量重要的数字特点,方差为建立在均值这一概念之上的,它说明白随机变量所取的值相对于

12、它的均值的集中与离散程度,二者联系亲密,在现实生产生活中特殊为风险决策中有着重要意义,因此在当前的高考中为一个热点问题【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举办5 次统一测试, 同学假如通过其中2 次测试即可获得足够学分升上高校连续学习,不用参与其余的测试,而每个同学最多也只能参与5 次测试 假设某同学每次通过测试的概率都为1,每次测试时3间间隔恰当每次测试通过与否相互独立1 求该同学考上高校的概率；2 假如考上高校或参与完5次测试就终止,记该生参与测试的次数为 x,求x的分布列及 x的数学期望精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

13、4··px 5 c112 3332 4316.27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 x 的分布列为：x2345精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p149274162727精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ex 2×1 3× 4 4× 4 5× 1638.92792727【例4】 2021 ·枣庄检测 某单位为了参与上级组织的普及消防学问竞赛,需要从两名选手中选出一人参与为此,设计了一个选择方案：选手从6 道备选题中一次性随机抽取3 题通过考查得知： 6 道备选题中选手甲有4 道题能够答

14、对,2 道题答错；选手乙答对每题的概率都为2,且各题答对与否互不影响设3选手甲.选手乙答对的题数分别为, .1 写出的概率分布列 不要求运算过程,并求出 e,e；2 求d, d请你依据得到的数据,建议该单位派哪个选手参与竞赛？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123解1的概率分布列为p13 1555所以 e 1123312.×5× 5×5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题意, b 3, 233或者 p 0 c0 13, e 3×3 1 ；2722,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3p 1 c1 232 21 1 232 1 2； 943 2 38精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 2 c3 33 9； p 3 c3 327,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载专题四正态分布精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例5】某市去年高考考生成果听从正态分布n500