2022年2022年空间向量与立体几何

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载空间向量与立体几何一.学问网络：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载空间向量的加减运算空间空间向量的数乘运算向空量间及向空间向量的数量积运算其量运与算立体空间向量的坐标运算几立何体几直线的方向向量与平面的法向量何中用空间向量证平行与垂直问题的向量求空间角方法求空间距离共线向量定理共面对量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二考纲要求：（ 1）空间向量及其运算 经受向量及其运算由平面对空间推广的过程； 明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及

2、其坐标表示； 把握空间向量的线性运算及其坐标表示； 把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直；（ 2）空间向量的应用 懂得直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线.线面.面面的垂直.平行关系； 能用向量方法证明有关线.面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线.线面.面面的夹角的运算问题,体会向量方法在讨论几何问题中的作用；三.命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算.空间向量的应用；本章为立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离；猜测 10 年高考对

3、本章内容的考查将侧重于向量的应用,特殊为求夹角.求距离,教精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载材上淡化了利用空间关系找角.找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将为主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度；第一课时空间向量及其运算一.复习目标： 1 懂得空间向量的概念；把握空间向量的加法.减法和数乘；2 明白空间向量的基本定理；3把握空间向量的数量积的定义及其性质；懂得空间向量的夹角 的概念；把握空间向量的数量积的概念.性质和运算律；明白空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判定向量的共线与垂直；二.重难点： 懂得空间

4、向量的概念；把握空间向量的运算方法三.教学方法： 探析类比归纳,讲练结合四.教学过程（一）.谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情形,促使积极参加；同学阅读复资p128 页,老师点评,增强目标和参加意识；（二）.学问梳理,方法定位； （同学完成复资p128 页填空题,老师准对问题讲评） ；1空间向量的概念向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量；如位移.速度.力等；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；表示方法： 用有向线段表示, 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；说明：由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原先的向量相等,用同向且等长的有向线段

5、表示；平面对量仅限于讨论同一平面内的平移,而空间向量讨论的为空间的平移；2向量运算和运算率oboaababbcbaoaobaboparb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载加法交换率： abba.oaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载加法结合率： ab cabc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数乘安排率： ab ab.说明：引导同学利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的如干向量之和；向量加法的平行四边形法就在空间仍成立；3平行向量 共线向量 ：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些

6、向量叫做共线向量或平行向量；a 平行于 b 记作 a b ；留意：当我们说 a .b 共线时,对应的有向线段所在直线可能为同始终线,也可能为平行直线；当我们说a . b 平行时,也具有同样的意义；共线向量定理： 对空间任意两个向量a（ a 0 ）.b ,a b 的充要条件为存在实数使b a（1）对于确定的和 a , b a 表示空间与 a 平行或共线,长度为|a | ,当>0 时与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a 同向,当<0 时与 a 反向的全部向量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）如直线 l a , aop 的表达式；l ,p

7、 为 l 上任一点, o为空间任一点,下面依据上述定理来推导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论：假如l为经过已知点 a 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对任一点o,点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 在直线 l上的充要条件为存在实数t ,满意等式op其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量；oata精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 l 上取 aba ,就式可化为op1t oatob.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 t1 时,点 p 为线

8、段 ab的中点,就2op12oaob .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或叫做空间直线的向量参数表示式,为线段ab的中点公式；留意： 表示式 . 既为表示式 、 的基础, 也为常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题；结合三角形法就记忆方程；4向量与平面平行：假如表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 平行或 a 在 平面内,我们就说向量 a 平行于平面 ,记作 a ；留意：向量 a 与直线 a 的联系与区分；共面对量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面对量；共面对量定理假如两个向量 a .b 不共线,就向量 p 与向量 a .b 共面的充要条件为存在实数对 x

9、.y,使 pxayb . 注：与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面；推论：空间一点p 位于平面 mab内的充要条件为存在有序实数对x.y,使mpxmaymb、 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或对空间任肯定点o,有 opomxmaymb. 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在平面 mab内,点 p 对应的实数对（ x、 y）为唯独的；式叫做平面mab的向量表示式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 maoaom 、. mbobom 、. 代入,整理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o

10、p1xy) omx oayob.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于对于空间任意一点p,只要满意等式.之一（它们只为形式不同的同一 等式）,点 p 就在平面 mab内；对于平面 mab内的任意一点p,都满意等式.,所以等式.都为由不共线的两个向量ma .mb （或不共线三点m.a.b）确定的空间平面的向量参数方程,也为m.a.b.p 四点共面的充要条件；5空间向量基本定理：假如三个向量a . b . c 不共面,那么对空间任一向量,存在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个唯独的有序实数组x、y、z、使 pxaybzc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

11、说明：由上述定理知,假如三个向量a . b .c 不共面,那么全部空间向量所组成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的集合就为p | pxaybzc 、 x.y.zr ,这个集合可看作由向量a . b .c 生成的,所精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以我们把 a , b , c 叫做空间的一个基底,a , b , c 都叫做基向量；空间任意三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底为指一个向量组,一个基向量为指基底中的某一个向量, 二者为相关联的不同的概念；由于 0 可视为与任意非零向量共线；与任意

12、两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不为0 ；推论：设 o.a.b.c 为不共面的四点,就对空间任一点p,都存在唯独的有序实数组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x.y.z ,使 op 6数量积xoayobzoc.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）夹角：已知两个非零向量a .b ,在空间任取一点o,作oaa , obb ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角 aob叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a, b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

13、 欢迎下载说明：规定 0a , b、 因而a, b= b , a；aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如a, b=,就称 a 与 b 相互垂直,记作 a b ；2ob精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在表示两个向量的夹角时,要使有向线段留意图（ 1）.（2）中的两个向量的夹角不同,a（ 1）aaa的起点重合,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图（ 1）中 aob=oa、 ob ,o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图（ 2）中 aob=ao、ob、a（ 2）ba精品学习资料精选学习资料 - - -

14、 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而有oa、ob= oa、ob =oa、 ob .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）向量的数量积：a b cosa、 b叫做向量 a .b 的数量积,记作 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ab= a bcosa、 b,b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量 ab在 e方向上的正射影:eb

15、 ala精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ae| ab | cos a、 ea b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）性质与运算率 aecosa、 e； a ba b 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）典例解析 a b| | a 2aaa.b =0 a ab =b a bca ba c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 1：空间向量的概念及性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1.有以下命题：假如向量a 、b

16、与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么a、 b 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关系为不共线；o、 a、 b 、 c 为空间四点,且向量oa、ob、oc不构成空间的一个基底,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 o、 a、 b 、c 肯定共面；已知向量a、b 、c 为空间的一个基底,就向量ab、 ab、 c ,也为空精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载间的一个基底；其中正确的命题为（）； a b c d 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：

17、对于“假如向量a、 b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么a 、b 的关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系肯定共线”；所以错误；正确；题型 2：空间向量的基本运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2.如图：在平行六面体abcda1 b1c1d1 中,d1c1mm为 a1c1 与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1d1 的交点；如 aba , adb ,a1aa1c ,db1就 下 列 向 量c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中与 bm 相等的向量为（）ab精品学习资料精选学习资料 -

18、 - - 欢迎下载 a1 a1 bcb 1 a1 bcc 1 a1 bcd 1 a1 bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：明显 bmbb1b1 m1 adabaa1 a1 bc ；答案为 a；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222点评：类比平面对量表达平面位置关系过程,把握好空间向量的用途；用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,此题考查的为基本的向量相等,与向量的加法 . 考查同学的空间想象才能；精品学习资料精选学习资料 - - -

19、 欢迎下载例 3.已知： a的值.3m2n4 p0、b x1m8n2 yp、 且m、 n、 p 不共面 . 如a b 、 求 x、 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：a b 、 且 a0、ba 、 即 x1 m8n2 yp3 m2n4 p.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又m、 n、p 不共面 、x1382 y 、x2413、 y8.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：空间向量在运算时,留意到如何实施空间向量共线定理；例 4.底面为正三角形的斜棱柱abca

20、1b1c1 中, d 为 ac的中点,求证： ab1平面 c1bd.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：记 aba、 acb、 aa1c、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab1ac、 dbabada1 b、 dc12dccc11 bc db2dc 1acab1 、 ab1 、db 、 dc 1共面.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1平面 c1 bd、 ab1/ 平面 c1bd.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（四）强化巩固导

21、练1.已知正方体 abcda1b1c1d1 中,点 f 为侧面 cdd1c1 的中心,如 af y 的值.adx aby aa1,求 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：易求得 xy1 、xy02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在平行六面体2.abcda1 b1 c1 d1 中, m为 ac与 bd的交点,如a1 b1a, a1 d1b, a1 ac,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以下向量中与b1m相等的向量为

22、 a；ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 a 1 bcb1 a 1 b cb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2c 1 a2221 b cd1 a2221 bc2adc b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.（ 2021 四川卷理） 如图,已知正三棱柱 abca1b1c1 的各条棱长都相等, m 为侧 棱cc1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的中点,就异面直线ab1 和 bm所成的角的大为；解析：不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载妨设棱长为 2,挑选基向量ba、 bb1、 b

23、c ,就ab1bb1ba、 bm1bcbb1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosab1 、 bm bb1ba 2 bc251 bb 1202202250 ,故填写90 o ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（五）.小结： 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明对于垂直,一般为利用 aba·b0 进行证明对于平行,一般为利用共线向量和共面对量定理进行证明 2 运用向量求解距离问题,其一般方法为找出代表相应距离的线段所对向量,然后运算这个向量对应的模而运算过程中只要运用好加法法就,就总能利

24、用一个一个的向量三角形, 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果 3 利用向量求夹角 线线夹角.线面夹角.面面夹角 有时也很便利其一般方法为将所求的角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角就可以利用公式cos a b 4 异ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1.l 2,ab为其公垂线段, c.d分别为 l 1.l 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上的任意一点, n 为与 ab 共线的向量,就 ab | cd| n |n | .5 设平面 的一个法向量为 n

25、 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 p 为平面 外一点,且 po ,就点 p 到平面 的距离为 d | po p| n |n | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载其次课时空间向量的坐标运算一.复习目标： 1.懂得空间向量坐标的概念；2.把握空间向量的坐标运算；3 把握用直角坐标运算空间向量数量积的公式；把握空间两点间的距离公式二.重难点： 把握空间向量的坐标运算；把握用直角坐标运算空间向量数量积的公式；把握空间两点间的距离公式三：教学方法： 探析类比归纳,讲练结合四.教学过程（一）.基础学问过关（同

26、学完成以下填空题）1.空间直角坐标系：（1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 i 、 j 、 k 表示；（2）在空间选定一点 o 和一个单z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载位正交基底 i 、j 、 k,以点 o 为原点,分别以i 、 j、 k 的方向为正方ax、y、z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向建立三条数轴：x 轴. y 轴. z 轴,它们都叫坐标轴我们称ki o jy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载建立了一个空间直角坐标系oxyz ,点 o 叫原点, 向量i

27、 、 j 、 k 都x叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xoy 平面, yoz 平面, zox平面； 2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系oxyz 中,对空间任一点 a ,存在唯独精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的有序实数组 x、y、 z ,使 oaxiy jzk ,有序实数组 x、y、 z叫作向量 a 在空间直角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标系 oxyz 中的坐标,记作ax、y、 z, x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.设 a

28、a1 、 a2 、 a 3 ,b b1 、 b2 、 b3 1a±b；2a3a· b4ab；ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）模长公式：如 aa 、 a、a , 就| a |222a aaaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6）夹角公式：a bcosa ba1b1a2b2a3b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | | b |222222aaabbb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

29、123123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7）两点间的距离公式：如ax 、 y 、 z , bx 、 y 、z ,就 | ab|2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111222abx2x1y2y1z2z1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8设 ax1 、 y1 、 z1 、 b x2 、 y 2 、 z2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 ab , abab的中点 m的坐标为4.直线的方向向量的定义为；如何求直线的方向向量？5.平面的法向量的定义为；如何求平面的法向量？（二）典型题型

30、探析题型 1：空间向量的坐标例 1.（1）已知两个非零向量a =（a1, a2 ,a3）, b =（b1,b2, b3）,它们平行的充要条件为（）a. a ：| a |= b ：| b |b.a 1 ·b1=a2 ·b2=a3 ·b3c.a1 b1+a2b2+a3b3=0d.存在非零实数 k,使 a =kb（ 2）已知向量 a =（ 2,4,x）,b =（2,y,2）,如| a |=6 ,a b ,就 x+y 的值为（ ）a. 3 或 1b.3 或 1c. 3d.1（ 3）以下各组向量共面的为（ ）a. a =1 ,2, 3 , b =3, 0, 2 , c =4

31、 , 2, 5 b. a =1 ,0, 0 , b =0, 1, 0 , c =0 , 0, 1 c. a =1 ,1, 0 , b =1, 0, 1 , c =0 , 1, 1 d. a =1 ,1, 1 , b =1, 1, 0 , c =1 , 0, 1解析：（1）d；点拨：由共线向量定线易知；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） a点拨：由题知2416x3644 y2x0x4、x y3 或y4、1.；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） a点拨：由共面对量基本定理可得；点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就为考查共线.垂直时参数的取值情形；例 2.已

32、知空间三点a（ 2,0,2）,b（ 1,1,2）,c（ 3,0, 4）；设 a = ab , b = ac ,（1）求 a 和 b 的夹角；（2）如向量 k a +b 与 k a 2 b 相互垂直,求 k 的值.思维入门指导：此题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.解： a 2,0,2 , b（ 1,1, 2）,c 3,0,4 , a = ab , b = ac , a =1 ,1,0 , b =（ 1,0,2）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1cos=ab100=2510 1010,

33、a 和 b 的夹角为10；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | | b |2 ka +b =k（1,1,0） +（ 1,0,2）（ k 1, k,2）, k a 2 b =（k+2, k, 4）,且k a +b （ k a 2 b ）,（ k1,k,2）·（ k+2,k, 4）=k 1k+2+k 28=2k2+k 10=0；5就 k= 2 或 k=2；点拨：第（ 2）问在解答时也可以按运算律做；（ a +b ） k a 2 b =k 2 a 2k a · b 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 b 2=2k2+k10=0,解得 k= 2题

34、型 2：数量积,或 k=2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3.（1）（2021 上海文,理 2）已知向量 a 和b 的夹角为 120°,且| a |=2 ,| b |=5 ,就（2 a b ）· a = .（2）设空间两个不同的单位向量a =x 1, y1,0 , b =x 2,y2,0 与向量 c =1 ,1,1 的夹角都等于 4 ；1 求 x1+y1 和 x1y1 的值； 2 求< a , b >的大小 其中 0<a , b > ；解析：（ 1）答案：13；解析：（ 2 a b ）·a =2a 2 b ·a

35、 =2| a | 2| a | ·| b | ·cos120°12222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=2·42·5（）=13；（2）解： 1 |a |=|b |=1 ,x1 +y 1 =1,x2 =y 2 =1.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2又 a 与 c 的夹角为 4 , a · c =| a |c |cos4 = 261212612 = 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 a · c =x1+y1 , x1+y1= 2

36、；611精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222另外 x 1 +y1 =x 1+y1 -2x 1y1=1, 2x1y1=2 1= 2 . x1y1= 4 ；61精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2cos<a , b >=ab=x1 x2+y1y2,由1 知, x1 +y1= 2,x1y1= 4 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | | b |61精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 x1 ,y1 为方程 x 2x+ 4=0 的解.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x

37、162 、4x162 、4x262 、4x 262 、4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载62y1、y14或62.y 24同理可得6262、y 2.4或4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载62x1y 2、462x1y 2、4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a b ,x2y16262 、4或62x2y16262 .462111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cos< a , b >=4·4+4·4= 4 + 4= 2 .精品学习资料精选学习资料 -

38、 - - 欢迎下载 0<a , b >, < a , b >= 3 ；评述：此题考查向量数量积的运算法就；题型 3：空间向量的应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4.（ 1）已知 a.b.c 为正数,且 a+b+c=1,求证：13a1 +13b1 +13c1 43 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知 f1=i +2j +3k,f2 =-2 i +3j - k,f3 =3i -4 j +5k,如 f1,f2 ,f3 共同作用于同一物体上, 使物体从点 m1（1,-2 , 1）移到点 m23 ,1,2 ,求物体合力做的功；精品学习资

39、料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：（1）设 m =13a1 ,13b1 ,13c1 , n =1 ,1,1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就| m |=4 ,| n |=3 . m · n | m | ·|n | ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 m · n =113a1 +113b1 +113c1 | m | ·|n |=43 .1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当13a1 =13b1 =13c1 时,即 a=b=c=3 时,取“ =”号；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料

40、精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）解： w=f· s= f1 +f2+f3 · m 1 m 2=14；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：如 m =x ,y,z , n =a ,b,c ,就由 m · n | m | ·|n | ,得ax+by+cz 2 a 2 +b2+c2 x 2+y2 +z2. 此式又称为柯西不等式n=3 ；此题考查 | a | ·| b | a · b 的应用,解题时要先依据题设条件构造向量a , b ,然后结合数量积性质进行运算；空间向量的数 量积对应做功问题；（三）.强化巩固训练1.

41、07 天津理, 4 设 a .b .c 为任意的非零平面对量 、 且相互不共线 、 就（ a · b ） c （ c · a ） b = 0| a | | b |<|a b |（ b · c ） a （ c · a ）22b 不与 c 垂直（ 3 a +2b ）（3 a 2 b ）=9| a | 4| b |中,为真命题的有（）a. b. c.d. 解析：平面对量的数量积不满意结合律. 故假；答案： d由向量的减法运算可知| a | .| b | .| a b | 恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故真；由于（ b ·

42、c ） a （ c · a ） b · c =（ b · c ） a · c （ c · a ） b · c =0,所以垂直. 故假；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载22（ 3 a +2b ）（3 a 2 b ）=9· a · a 4b · b =9| a |4| b |成立. 故真 .点评：此题考查平面对量的数量积及运算律；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知 o 为原点,向量 oa3、0、1 、ob1、1、2、ocoa、 bc oa ,求 ac 精品学习

43、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 设ocx、 y、 z、 bcx1、 y1、 z2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ocoa、 bc oa , ocoa0 , bcoar ,3xz0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 xz0、x1、 y1、 z23、0、1y10、z2.x13、,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解此方程组,得 x7 、 y1、 z21 、1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载101010（四）.小结： 1共线与共面问

44、题； 2 平行与垂直问题； 3 夹角问题； 4 距离问题；运用向量来解决它们有时会表达出肯定的优势用空间向量解题的关键步骤为把所求向量用某个合适的基底表示,本节主要为用单位正交基底表示,就为适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最终通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路为列方程,解方程第三课时空间向量及其运算强化训练一.复习目标： 1.明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示；2. 把握空间向量的线性运算及其坐标表示；3. 把握空间向量的数量积

45、及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直；4.通过本课强化训练,使同学进一步娴熟懂得和把握上述概念和运算方法,提高同学的敏捷和综合运用才能；二.重难点： 空间向量及其运算的综合运用；三.教学方法： 讲练结合,探析归纳；四.教学过程（一）.基础自测（分组训练.共同沟通）1. 有 4 个命题：如 p=xa+yb,就 p 与 a.b 共面；如 p 与 a.b 共面,就 p=xa+yb；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载如 mp =x ma +y mb ,就 p.m.a.b 共面；如 p.m.a.b 共面,就 mp =x ma +y mb .其中真命题的个数为（

46、b）；a.1b.2c.3d.42. 以下命题中为真命题的为d；a. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线为异面直线,就这两个向量不为共面对量b. 如| a|=| b| ,就 a, b 的长度相等而方向相同或相反c.如向量 ab , cd 满意| ab | | cd | ,且 ab 与 cd 同向,就 ab cdd.如两个非零向量 ab 与cd 满意 ab + cd =0,就 ab cd3. 如 a=2x、1、3、b=1、-2y、9、且 ab,就（ c）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.x=1、y=1b.x=1 ,y=- 122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c.x=1 , y=- 3d.x=- 1 , y= 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载62624. 已知 a（ 1, 2,3）,b（2,1,2）, p（ 1, 1, 2）,点 q在直线 op上运动,当 qa · qb 取精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最小值时,点 q的坐标为.答案448、333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 在