[理学]多元函数微分学习题课ppt课件

1、第七章第七章 习题课习题课 主要内容主要内容 典型例题典型例题平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数延续的概念延续的概念极极 限限 运运 算算多元延续函数多元延续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念主要内容主要内容全微分全微分的运用的运用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法那么求导法那么复合函数复合函数求导法那么求导法那么全微分方式全微分方式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的运用几何上的运用方导游数方导游数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念一、一、 根本概念根本概念延续性延续性 偏导数存在 方导游数存在可微性可微性

2、1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、延续、延续 定义域及对应法那么求极限及判别极限不存在的方法求极限及判别极限不存在的方法 函数的延续性及其性质2. 几个根本概念的关系几个根本概念的关系问题：问题：1求极限，判别函数极限存在性求极限，判别函数极限存在性 2、函数延续性、偏导数存在性、可微性的判别、函数延续性、偏导数存在性、可微性的判别例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求求极极限限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 y

3、xxxyyx故故留意: 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要留意在定义域内 r , 的变化应该是恣意的. 例例2.2.讨论讨论221arctan,( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xx yf x yxyx y 在点在点(0,0)处的延续性，偏导数的存在性及可微性处的延续性，偏导数的存在性及可微性. .解解由于当( , )(0,0)x y 221|arctan|2xy时，故00lim( , )xyf x y22001lim arctanxyxxy0(0,0)f所以( , )(0,0).f x y函数在点连续221arctan,( , )(0,0)( , )0( , )(0,

4、0)xx yf x yxyx y 偏导数偏导数(0,0)xf 0( ,0)(0,0)limxf xfx2011lim( arctan)xxxx201limarctanxx2(0,0)yf 0(0, )(0,0)limyfyfy00limyy0可微性可微性 (0,0)在点处，(0,0)(0,0)xyzfxfy 221arctan()()xxy 2x221(arctan)2()()xxy (0,0)(0,0)xyzfxfy 221(arctan)2()()xxy 因此(0,0)(0,0)xyzfxfy 1(arctan)2x由于01lim(arctan)20故0(0,0)(0,0)limxyzfx

5、fy 0( , )(0,0)f x y因此函数在点可微.二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示构造显示构造隐式构造隐式构造1. 1. 分析复合构造分析复合构造( (画变量关系图画变量关系图) )自变量个数自变量个数 = = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象断定自变量与因变量由所求对象断定2. 2. 正确运用求导法那么正确运用求导法那么“链式法那么链式法那么留意正确运用求导符号留意正确运用求导符号3. 3. 利用一阶微分方式不变性利用一阶微分方式不变性问题：求偏导数、高阶偏导数问题：求偏导数、高阶偏导数( (多元复合函数、隐含数求导方法多元复合函数、隐含数求导

6、方法) )例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx P92 例例1-例例9(P92. 1) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(

7、,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设由题设23)32( (P92.2)(P92.2)解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显显然然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxd

8、zdxdyexy .)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzxP93 4.( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z如果函数关系式恒满足则称此函( , , )kf x y z试证: 次齐次函数满足关系式( , , )fffxyzkf x y zxyz证,utx vty wtz记方程t两边对 求导得1kfffxyzktfuvwt两边同乘以 得kffftxtytzkt fuvw( , ,)kf u v w即( , , )fffuvwkf u v wuvw, , ,.x y zu v w用分

9、别替换，即得结论k数为 次齐次函数，( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y zxvuxuv 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd解解vveuveyuudcosdsindyvuyuvyz利用行列式解出 du, dv ：(P94.6)vveuvexuudsindcosdvveuveyuudcosdsind veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusinyu代入即得 ;xzxvyxvdd

10、dveusinveucosyvxvxu及将代入即得 .yzyvyu及将三、多元函数微分法的运用三、多元函数微分法的运用1.1.在几何中的运用在几何中的运用求曲线的切线及法平面求曲线的切线及法平面 (关键: 寻求切向量) 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 ( (关键关键: : 寻求法向量寻求法向量) ) 2. 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 3. 在微分方程变形等中的运用在微分方程变形等中的运用1.2221022273270 xyzxyzxyz过直线作曲面的切平面，求此切平面的方程.解曲面切平

11、面的法向量为6 ,2 , 2 ,xyz通过已知直线的平面束为(102227)()0 xyzxyz即(10)(2)(2)27xyz000(,),xyz设切平面的切点为则有00010(2)(2)622xyz222000327xyz000(10)(2)(2)27xyz解得119. 或故所求平面方程为927xyz或91717270 xyz00010(2)(2)622xyz222000327xyz000(10)(2)(2)27xyz2.0:30 xybLxayz设直线在平面 上，平面 与曲面22(1, 2,5),.zxya b相切于点求的值解(1, 2,5)在点处， 曲面的法向量为n (1, 2,5)2

12、 ,2 , 1xy2, 4, 1故切平面方程为2(1)4(2)(5)0 xyz即2450 xyz 由030 xybxayz得,yxb 3()zxaxb 代入切平面方程得24()3()50 xxbxa xb 即(5)420a xbab故有50,a420bab由此得5,2.ab 3.2222(0).xyzxyyza a已知椭球面(1).z求椭球面上 坐标为最大与最小的点(2).xOy求椭球面在平面上投影区域的边界曲线解解 由于椭球面是一封锁曲面， 因此椭球面上z坐标此最值即为椭球面方程所最大与最小的点一定存在.确定的隐函数的最大值与最小值.方程两边分别关于xy及 求偏导，得220zzxzyyxx2

13、20zzyzxyzyy220zzxzyyxx220zzyzxyzyy令0,0,zzxy得2020 xyyxz解得2 ,3yx zx 代入椭球面方程得6ax 123(,),666aaaP223(,),666aaaP故得两点由于椭球面确实存在z坐标的最大与最小的点，因此12PP点 与 即为所求.2222(0).xyzxyyza a已知椭球面(2).xOy求椭球面在平面上投影区域的边界曲线设S是椭球面对于xOy面的投影柱面，S与椭球面切于C则在曲线 上，两曲面的法相量,C曲线一样，为2,2,2nxyyxzzynk由，知0 010n， ，即20zyC因此曲线 的方程为222220 xyzxyyzazy

14、zS消去 即得投影柱面 的方程22234xyxya故所求投影区域的边界曲线为22234xyxya0z 例例14.设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面其底部所在的区域为22( , )|75Dx yxyxy小山的高度函数为22( , )75.h x yxyxy00(1)(,)( , )M xyDh x y设为区域 上一点，问在该点沿平面 上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最解000( , )(,)h x yMxy在点沿梯度方向的方导游数最大，且最大值等于梯度的模， 由于( , )gradh x y 2, 2xyyx0000(,),(,).g xyg xy大值为试写出的表达式故00

15、00(,) |(,)|g xygradh xy220000( 2)( 2)xyyx 220000558xyx y22000000(,)558g xyxyx y(2) 如今此山开展攀岩活动，需在山脚寻觅上山坡度最大点作为起点，试确定攀爬起点的位置.22( , )|75Dx yxyxy解解 由题意知，要在底部区域D的边境限2275xyxy上寻觅使( , )g x y到达最大的点.令22( , )558f x yxyxy，由题意，只需在约束条件2275xyxy( , ).f x y下求出的最大值点设2222( , )558(75)F x yxyxyxyxy 108(2)0 xFxyxy 108(2)

16、0yFyxyx 2275xyxy解得5 35 3xy5 35 3xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy55xy 55xy 由于(5 3,5 3)( 5 3, 5 3)150ff(5, 5)( 5,5)450ff(5, 5)( 5,5)与故皆可作为攀爬起点.例例15.( , )0, ( , )0,f x yx y已知两条平面曲线( ,)( , ) 和分别为两曲线上的点， 试证：如果这两点是这两条曲线上和最远的点，则关系式( ,)( , )( ,)( , )xxyyff .成立相距最近证证21122( ,)g x y xyd设221212()() ,xxy

17、y( , , ) 则为1122( ,)g x y xy 在条件11( ,)0,f x y22(,)0 xy.下的极值点设2212121122()()(,)(,)Fxxyyf x yxy则有12()( ,)0yyFf 22()( , )0 xxF 12()( ,)0 xxFf 22()( , )0yyF 2212121122()()(,)(,)Fxxyyf x yxy解得关系式( ,)( , )( ,)( , )xxyyff 故命题得证.P92. 10.2222262zxyzzxy 求曲线上点的 坐标的.最小值和最大值解. 问题为在约束条件222,zxy2262zxy下，.z求 的最小与最大值由

18、于曲线为一条封锁曲线，因此z坐标的最大与最小值一定存在.设( , , )F x y z 2222(2)(62)zzxyzxy那么有240 xFxx 420yFyy 10zF 2220Fzxy 22620Fzxy 240 xFxx 420yFyy 10zF 2220Fzxy 22620Fzxy 整理得2 (2)0 xFx 2 (2 )0yFy 10zF 2220Fzxy 22620Fzxy 由前三式得0 x 0,y 或代入后两式解得202xyz 024xyz 或因此z坐标的最大值为4, 最小值为2.作业作业 P102 2、5、6、7、11、15一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函

19、数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .测测 验验 题题 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ( ) ). . ( (A A) ) 0 0 ； ( (B B) ) 1 1 ； ( (C C) ) 2 2 ； ( (

20、D D) ) e . . 4 4、函函数数),(yxf在在点点),(00yx处处连连续续, ,且且两两个个偏偏导导数数 ),(),(0000yxfyxfyx存存在在是是),(yxf在在该该点点可可微微 的的( ( ) ). . （A A）充充分分条条件件, ,但但不不是是必必要要条条件件； （B B）必必要要条条件件, ,但但不不是是充充分分条条件件； （C C）充充分分必必要要条条件件； （D D）既既不不是是充充分分条条件件, ,也也不不是是必必要要条条件件. . 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(

21、yxf( ).( ). (A) (A)偏导数不存在；偏导数不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (D) (D)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成

22、的四面体的体积 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B)

23、 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . . 10 10、设函数、设函数),(),(yxvvyxuu 在点在点),(yx的某邻的某邻 域内可微分域内可微分, ,则则 在点在点),(yx处有处有 )(uvgrad( ).( ). .)(;)(;)(;)(graduvDgradvuCgraduvgradvuBgradvgraduA 二、讨论函数二、讨论函数33yxyxz 的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型. .三三、求求下下列列函函数数的的一一阶阶偏偏导导数数: : 1 1、yxzln ； 2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ； 3 3、

24、000),(2222222yxyxyxyxyxf . .四四、设设),(zxfu , ,而而),(yxz是是由由方方程程)(zyxz 所所 确确的的函函数数, ,求求du . .五五、设设yxeuyxuz ),(, ,其其中中f具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导 数数, ,求求yxz 2. .六、六、 设设uvzveyvexuu ,sin,cos, ,试求试求xz 和和yz . .七、七、 设设x轴 正 向 到 方 向轴 正 向 到 方 向l的 转 角 为的 转 角 为, 求 函 数求 函 数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)(1,1)沿方向沿方向l的方向导的方向导数数, ,并分别

25、确定转角并分别确定转角, 使这导数有使这导数有(1)(1)最大值；最大值；(2)(2)最小值；最小值；(3)(3)等于零等于零 . .八、八、 求平面求平面1543 zyx和柱面和柱面122 yx的交线上与的交线上与xoy平面距离最短的点平面距离最短的点 . .九九、在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面1222222 czbyax的的切切平平面面, , 使使该该切切平平面面与与三三坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体的的体体积积最最 小小, ,求求这这切切平平面面的的切切点点, ,并并求求此此最最小小体体积积 . .一、一、1 1、A A； 2 2、B B； 3 3、B B； 4 4、

26、B B； 5 5、D D； 6 6、C C； 7 7、A A； 8 8、A A； 9 9、D D； 10 10、B.B.二、二、(1)(1)当当0 yx时时, ,在点在点),(yx函数连续；函数连续；(2)(2)当当0 yx时时, ,而而),(yx不是原点时不是原点时, ,则则),(yx为可去间断点为可去间断点, ,)0 , 0(为无穷间断点为无穷间断点. .三、三、1 1、1ln)(ln yxxyz, ,yyxyxzlnln ； 2 2、,)(321fxyzyzyffuxx 32)(fxyzxzxfuyy . . 3 3、,0, 00,)(2),(22222223 yxyxyxxyyxfx检

27、验题答案检验题答案 0,0,)()(),(2222222222yxoyxyxyxxyxfy. .四、四、dyzyzfdxzyff1)()()1)(221 . .五、五、uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2. .六、六、.)sincos(,)sincos(uuevvvuyzevuvvxz 七、七、,sincos lf,4 ,45 43 .47 及及 )3()2()1(八八、).1235,53,54(九九、切切点点abcVcba23),3,3,3(min . .补充补充 典型例题典型例题例例1. 知知求出 的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(

28、),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 一样., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvuyxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未思索分母变化的一切情况, , 1,111xyxxy时例如例例2

29、. 讨论二重极限讨论二重极限时, 以下算法能否正确?yxyxyx00lim解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的恣意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 由于都不能保证自变量在定义域内以恣意方式趋于原点 .特别要留意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要留意在定义域内 r , 的变化应该是恣意的. 同时还可看到, 此题极限实践上不存在 .yxyxyx00lim例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgy

30、xfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy2. 知知求求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(22

31、21xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf6. 设设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解解 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzFfxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFddyx)0(23FFfx 23FFfx 1 32FFfx131fx fFF331f FxF fF 解法解法2 0),(, )(

32、zyxFyxfxz方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1阶段练习阶段练习8.( , )(),y xf u vzfx y设是二元可微函数，又设,求zzxyxy解解zx1f 2()yx 2f 1yzy11fx22()xfy zzxyxy12yxffxy12()yxffxy1222yxffxy 所以所以9.(,),uf xyz xyzf设其中 存在二阶连续偏导数，2.ux z 求解解.ux1f 2f yz2ux z 11f 12f xy2122()ff xy yz2f y 2

33、1112222()fxyyz fxy zfyf10.222( , )( )zzz x yxyzyfy设是由方程确定的.fdz隐函数，其中 可微，求解方程两边分别求微分，得222xdxydyzdz( )zfdyy( ) ( )zzyfdyy而( )zdy2y ydzzdy代入得222( )zxdxydyzdzfdyy( )zydzzdyfyy整理得(2( )zzfdzy 2xdx( 2( )( )zzzyffdyyyy 因此2( )2xdzdxzfzy2( )( )( )2zzzyffyyydyzfzy10.222( , )( )zzz x yxyzyfy设是由方程确定的.fdz隐函数，其中 可

34、微，求解222( , , )( ),zF x y zxyzyfy设则xF 2xyF 2( )zyfy( )zyfy2zy2( )( )zzzyffyyyzF12( )zzyfyy2( )zzfy因此zxxzFF2( )2xzfzyyzFzyF 2( )( )( )2zzzyffyyyzfzy.dz sin( , )(0,1)y zexzex y方程在点附近确定了一个12.( , ),(0,1),(0,1),(0,1).xyxyzz x yzzz可微的隐函数求解解0,1xyz把代入方程得0，x方程两边同时关于 求偏导，得sincos0y zxxezzxz z解得sincosxy zzzexz (

35、0,1)0 xzy方程两边同时关于 求偏导，得y ze (1)yzcos0yxz zcosy zyy zezxze (0,1)yz1 01 0ee1 解得sincosxy zzzyexz 对两边同时关于 求偏导，得sin()cosxyy zzzy exz 2cos(cos )sin(1)sin(cos )y zy zyyyy zz zexzzezxz zexz(0,1)xyz2(0,1)yzee1e 13.2223,.1zxydy dzdx dxxxyz 设求解x方程组两边分别关于 求导，得23220dzdyxdxdxdydzxyxzdxdx整理得322(2)dzdyxdxdxdzdyzxxy

36、dxdx 解得23(2)132xxyxdzdxzx24636xxyxz122(2)132xzxydydxzx246xyxzxz 例例7.22( ,0)( , )2 ,( ,1)0,sinff xzf x yx f xxyy设满足( , ).f x y求解222fxy由得fy故( , )f x y 故( ,1)( )( )f xxxx0( ,0)f xy0(2( )yxyx( )xsin x由上两式解得( )sinxx，( )sinxxx 因此2( , )sinsinf x yxyyxxx2( )xyx2( )( )xyx yx之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 z