二次函数与幂函数

1、二次函数与幕函数1考纲传真1.(1)了解幕函数的概念；(2)结合函数y= X, y=X2, y= X3, y=X? y=A.的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函X数、方程、不等式之间的关系解决简单问题【知识通关】1. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) = ax2+ bx+ Ca0);顶点式：f(x) = a(X h)2+ k(a0),顶点坐标为(h, k);零点式：f(x) = a(x X1)(x x2)(a 0), x1, X2 为 f(x)的零点.二次函数的图象与性质函数y= ax2 + bx + c(a> 0)y= ax2 +

2、 bx+ c(a V 0)图象Ly1他：定义域R值域4ac b2+ 4a 24ac b2,4a单调性在, 2a上减， 在2b,+上增在, 2a上增， 在-±,+上减对称性函数的图象关于直线x=2a对称2.幕函数(1)定义：形如y= x(g R)的函数称为幕函数，其中X是自变量，是常数. 五种常见幕函数的图象与性质、函数 特征.y=Xy= X2y=X31 y=X?y= X1图象/V,Tn定义域RRRxX 0x|x 0值域Ryy 0Ryy 0yy 0奇偶性奇偶奇非奇非偶宜单调性增(_, 0)减，(0,+)增增增(, 0)和(0,+)减公共点(1, 1)常用结论1.幕函数y= X在第一象限

3、的两个重要结论恒过点(1,1);当X (0,1)时，越大，函数值越小；当X (1，+)时，越大，函数值越 大.2. 研究二次函数y= ax2 + bx+ c(a0)在区间m, n(mvn)上的单调性与值域时， 分类讨论-吕与m或n的大小.2a3. 二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有X，都有f(1) = f(2)，那么函数y= f(x)的图象关于X=X1 + X22对称.(2) 对于二次函数y= f(x)对定义域内所有X，都有f(a + X) = f(a-x)成立的充要条 件是函数y= f(x)的图象关于直线X = a对称(a为常数).【基础自测】1. 判断

4、下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“X”)(1)二次函数y= ax2+ bx + c，X R不可能是偶函数.()4acb2二次函数y= ax2+ bx + c，X a，b的最值一定是一肩 ()(3) 幕函数的图象一定经过点(1,1)和点(0, 0).()当>0时，幕函数y= X在(0,+)上是增函数.()答案×(2) ×(3)×1 22. 已知幕函数f(x)= k Xa的图象过点 2 2",贝U k+ 等于() *C.3则 a, b,3. 如图是y= xa;y=xb;y= XC在第一象限的图象,A.a> b> CB. av bvC

5、C.bv CV aD. avCV bC的大小关系为()D54. 已知函数y= X-1, + ax + 6在,+内是增函数，贝U a的取值范围为()A. a 5B. a 5C. a 5D. a 5C5 .函数 g(x) = x2- 2x(x 0,3)的值域是.-1,3【题型突破】幕函数的图象及性质I SSi II1. 幕函数y= f(x)的图象经过点(3, /3),则f(x)是()A.偶函数，且在(0,+ )上是增函数B .偶函数，且在(0,+)上是减函数C. 奇函数，且在(0, + )上是减函数D. 非奇非偶函数，且在(0,+ )上是增函数Dm的值为()A.0B . 1C.2D . 32. 幕

6、函数y= xm2-4m(m Z)的图象如图所示，则C112 23 .若(a+ 1) V (3- 2a),贝U实数a的取值范围是.方法总结1求解与幕函数图象有关的问题，应根据幕函数在第一象限内的函 数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究2利用幕函数的单调性比较幕值大小的技巧：结合幕值的特点利用指数幕的运 算性质化成同指数幕，选择适当的幕函数，借助其单调性进行比较 求二次函数的解析式SS2I【例1】(1)已知二次函数f(x) = x2 bx + C满足f(0) = 3,对？ x R,都有f(1+ X) = f(1 x)成立，贝U f(x)的解析式为(2)若函数f(x) = (x+ a)(bx

7、+ 2a)(a, b R)是偶函数，且它的值域为(一, 4，则 该函数的解析式f(x) =.(1)f(x) = x2 2x + 3(2) 2x2 + 4方法总结求二次函数解析式的方法1三点坐标 1J 6 |T 1 对称轴 I1逢彗点A 两交点坐标式虫氏煤刃已知二次函数f(x)满足f(2) = 1,f( 1)= 1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式解法一(利用一般式):设 f(x) = ax2+ bx+ c(a 0).4a+ 2b+ c= 1,由题意得a b+ c= 1,4ac b24a8,10.所求二次函数为 f(x)= 4x2 + 4x+ 7.a= 4, 解得b = 4,C=

8、 7.法二(利用顶点式): 设 f(x) = a(x m)2+ n. f(2) = f( 1),函数图象的对称轴为2+ 1 1-2-=2.1°m = 2又根据题意函数有最大值8,二n = 8.21 y= f(x)= a X 2 + 8.21T f(2) = 一 1 , a 2 2 + 8= 1,解得 a= 4,2 f(x) = 4 X 2 + 8= 4x2+ 4x + 7.法三(利用零点式):由已知f(x) + 1= 0的两根为X1 = 2, X2= 1,故可设 f(x) + 1= a(x 2)(x + 1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.4a 2a1 a 2又函数的最大

9、值是8,即=8,解得a= 4,所求函数的解析式为f(x) = 4x2+ 4x + 7.二次函数的图象与性质l®S3|I?考法1二次函数的单调性【例2函数f(x)= ax2+ (a 3)x + 1在区间1,+)上是递减的，则实数a的取值范围是()A 3, 0)B . ( , 3C. 2, 0D . 3,0D母题探究若函数f(x) = ax2+ (a 3)x + 1的单调减区间是1,+),则a=3?考法2二次函数的最值【例3 求函数f(x) = X2+ 2ax+ 1在区间1,2上的最大值.解f(x) = (x+ a)2+ 1 a2,f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为X = a.1

10、 1(1)当一av2,即 a> 2时，f()max = f=4a+ 5；1 1(2)当一a2，即 a 2时，f()max = f( 1)= 2 2a.1 4a+ 5, a> 2, 综上,f(x)max =12 2a, a ?考法3二次函数中的恒成立问题1【例4】已知函数f(x) = ax2 2x+ 2,若对一切X 2，2，f(x) >0都成立,则实数a的取值范围为()1C1A.2,+B.2,+C. 4,+)D.( 4,+)已知函数f(x) = x2+ mx 1,若对于任意X m, m+ 1,都有f(x) V0成立， 则实数m的取值范围是.(1)B (2) I, 0方法总结1.

11、二次函数最值问题的解法：抓住 “三点一轴”数形结合，三点 是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调 性及分类讨论的思想即可完成2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键1 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数2两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数 是否已分离.这两个思路的依据是：af X恒成立？ af x max, a f X恒成立 ? a f X min.虫 1拣刃 已知二次函数 f(x) = ax2+ bx+ 1(a, b R), X R.(1)若函数f(x)的最小值为f( 1)= 0,求f(x)的解析式，并写出单调区间；在(1)的条件下，f(x)>x+ k在区间3, 1上恒成立，试求k的取值范围.(1)由题意知_b_2a=1,解得f 1 = a b+ 1= 0,a= 1, b = 2.所以 f(x) = X2+ 2x+ 1,函数f(x)的单调