同济版概率论第五章(1)

1、5.3 连续型随机变量及其概率密度函数一、概率密度一、概率密度 1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数，若存在非负函数f( )，(- + )，使对任意实数，使对任意实数 ，都有都有xduufxXPxF)()()(xxx则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f( )为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数,记做记做pdf. 常记为常记为 X f( ) , (- + )xxx密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为 badu)u(f)bXa(P2. 密度函数的性质密度函数的性质 (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )

2、； (2) 归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； xaexf)(设随机变量X的概率密度为求常数a.0221xxaedxae dxa12a解:(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF设随机变量X的分布函数为0211021)(xexexFxx求f (x)102( )102xxexfxex解:（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若，若X X f( )f( )，(- (- ) )，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是badxxfbXaPbXaPbXaP)(xx例例 1 1、已知随机变量已知随机变量X X的

3、概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x), 2)F(x), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5)其他021210)(xxxxxf解:2200012( )2112212xxxF xxxxx221.50.53(1.5)(0.5)2 1.5 1224FF 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为01( )ln11xF xxxexe(1)(1)求求PX2,P0X3,P2Xe-0.1.PX2,P0X3,P2Xe-0.1.(2)(2)求概率密度求概率密度f(xf(x) )2(20)ln2,03(30)(00)0,20.1(0.1)(2)ln(0.1)

4、ln2P XFPXFFPXeF eFe11( )0 xef xx其它1、 均匀分布均匀分布 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)() x ( fx则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为)x(fx00, 00,1)(xxexFx例例 2、电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为0.50.5的指数分布的指数分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(

5、2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用两年的年，求它还能使用两年的概率为多少？概率为多少？解解, 0005 . 0)(xxexf0 0. .5 5x x37. 0) 1 (1 12 20 0. .5 5x xe ed dx x0 0. .5 5e e2 2 P P X X5 . 1|5 . 3)2( XXP37. 011.50.5x3.50.5xedx0.5edx0.5e3.5,1.51.53.51.5P XXP XP XP X注:上例说明指数分布的无记忆性. 例例3 3、设飞机雷达上使用的某种型号的电子器件、设飞机雷达上使用的某种型号的电子器件,

6、,在在烧坏前使用的小时数烧坏前使用的小时数, ,即寿命服从即寿命服从的指数分布的指数分布, ,(1)(1)试求此种器件使用不到试求此种器件使用不到9090小时的概率小时的概率. .(2)(2)如雷达上使用了三只此种型号的器件如雷达上使用了三只此种型号的器件, ,求求9090小时内小时内至少有两只未烧坏的概率至少有两只未烧坏的概率. . 解解 (1)(1)设设 X X 表示此种器件的寿命表示此种器件的寿命, , 则则X X的分布函数为的分布函数为: :118018010( )00 xexF xx1290(90)10.393P XFe (2) 设Y表示三只器件中在90小时内未烧坏的只数, 则(3,

7、 )YBp,其中12190pP Xe 111223322233223() (1)()0.658P YP YP YCeeC e正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3、 正态分布正态分布 其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为，可表为XN( , 2).若随机变量随机变量2221( )2xXf xex (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=

8、 对称对称；f( )maxf(x) . 21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4、标准正态分布标准正态分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。.,21)(22 xexx 分布函数表示为分布函数表示为 xdtexXPxxt,)(2212 其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标

9、准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。如，若的值。如，若XN（0，1）, （0.5)=0.6915,P1.32X2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 命题命题:若若XN( , 2)， ,则则()().XxFxPXx P2850(0,1)XUN1 设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?2.2.设设 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3 |3 的值的值. . 如在质量控制中，常用标如在质量控制中，常用标准指标值准指标值3 3 作两条线，当生产过程的指标观察作两条线，

10、当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报值落在两线之外时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .正态分布表1(0,1)2XUN1 0.7251.725(1.725)( 0.725)0.7252XP P -3 X +3 = 33(3)( 3)2 (3) 10.9973XP 例例4 4 某地区某地区1818岁女青年的血压岁女青年的血压( (收缩压收缩压) )服从服从N(110,12N(110,122 2).).在该地区任选一位在该地区任选一位1818岁女青年岁女青年, ,测量她的测量她的血压血压, ,(1)(1)求求PX105,P100X120;PX105,P100Xx0.0510

11、5 11011050.421 0.66280.337112P X 解：（）120 110100 11010012012120.830.832 0.7967 10.5934PX 0.05P Xx(2)令11010.0512x则1100.9512x1101.64512x查表得129.74x 注注:XN(110,122).几个常用的连续型随机变量几个常用的连续型随机变量均匀分布均匀分布正态正态分布分布指数分布指数分布无记忆性无记忆性PcXd两个参数的意义两个参数的意义例例5 5 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个个这种元件，