FB工程数学(复变函数)习题课20211120

1、工程数学（复变函数）习题课例 1 例 3 计算以下各式的值（1）例 4 求知足以下条件的所有复数z：（1）zz13是实数，且6131zz；（2）z的实部和虚部都是整数，且z实部为奇数。解：设iyxz，ryx,且yx,不同时为零，那么)13()13(13132222yxyyiyxxxiyxiyxzz由条件（ 1）得： y =0或：1322yx当0y，由61313122xxyxxx，知如此的 x 不存在。当1322yx时，由6213122xyxxx，知321x。又由（ 2）知x为整数，且为奇数，即：x =1,3那么当1x时，12y；当3x时，2y。但因为12y不是整数，应除去，最后知足条件的复数为

2、：i23，i23例 6 计算或讨论以下各式的值，其中z为复数。（1）zzzrelim0解 设iyxz，那么iyxxzzre，有imim xxxzzmxyzz11limrelim00显然， m 不同，im11的值不同，故极限不存在。（2）iziizziz21lim22)1(解 由2)1(2ii得：)1)(1()1)(1(2122izizizziziizz因此：4311lim21lim122)1(iizziziizziziz（3）)1(lim2zziziz解：因为)(1)()1(2izzizizzizzziz因此：21)(1lim)1(lim2izzzziziziz（4）)0()(21lim0zz

3、zzziz解：设)sincosirrezi（，那么)sin(cosirrezi，于是2sin21)sin2cos2()(21)(2irirrzzzzizf当0，即 z 沿正实轴 0时， f( z) 0；当4，即 z 沿直线 y= x 0 时，f( z) 1；因此：)0()(21lim0zzzzziz不存在。例 9 例 10 例 11 例 20 例 23 讨论函数223)(zzzf在复平面上何处可导？何处解析？解：)44(22323222xyiyxxzz，令22223yxxuxyyv4那么：xxu41yyu4yxv4xyv41由上可知，在复平面上处处知足c-r 条件，且偏导数持续，即u，v 可微

4、，因此函数在复平面上处处可导，处处解析。例 24 讨论函数z1在复平面上何处可导？何处解析？解：222211yxyiyxxiyxz，令22yxxu22yxyv那么：22222)(yxxyxu222)(2yxxyyu222)(2yxxyxv22222)(yxyxyv由上可知，关于0z，解析函数的c-r 条件处处不知足，因此函数z1处处不可导，处处不解析。例 25 讨论函数)2()()(222yxyixyxzf在复平面上何处可导？何处解析？解：令xyxu22，22yxyv那么：12 xxuyyu2yxv2yxyv22由上可知，当y=1/2 时才知足 c-r 条件，故函数仅在直线y=1/2 上可导，

5、在复平面处处不解析。例 28 设 f( z)= my3+ nx2y +i (x3+ lx y2)为解析函数，试确信l，m 和 n 的值。解：因为nxyxu2223nxm yyu223lyxxvlxyyv2由解析函数的c-r 条件，yvxu，得：l = n同例，由xvyu，得：3my2+n x2= 3x2 ly2最后得：和13mnl例 29 设yevpxsin，求p的值使v为调和函数， 并求出解析函数ivuzf)(。解：因为ypexvpxsin，yeyvpxcos及yepxvpxsin222，yeyvpxsin22由2222yvxv，可得：1p当1p时，yevxsin，那么由yvxu，得：yex

6、uxcos那么)(cos)(cosygyeygydxeuxx又由xvyu，得：yeygyexxsin)( sin得：cygyg)(0)( 其中 c是一个常数项。最后得：cecyieyezfzxxsincos)(同理，当1p时，cezfz)(例 33 证明：22yxu和22yxyv都是调和函数，但viu不是解析函数。例 34 例 41 计算积分cdzixyx)(2，c为直线段0 到i1。解：直线段方程为y= x，0 x 1 ，因此：31)1()()(1022idxiixiyxdixyxic例 42 计算积分cdzzzz)(2，c 为圆周|z |= 1上从 1 到 1 的上半圆周。解：iez，0，

7、22iezzz，因此：381313131)1()(303022iiiiiiceeeedieedzzzzi例 44、例 45 计算或讨论以下各式的值，其中z为复数。（每题 5 分，共 25 分）（1）32)1(zzdzzze解 在|z|= 3 内有奇点 z= 0, 1,1，分解被积函数为部份分式，再应用柯西积分公式)2(22222121121)1(111032eeieieiiedzzedzzedzzedzzzezzzzzzczczczzz（2）dxxxcos9cos解：因为ixixixixixixixixixixixixeeeeeeeeeeeexx86422468991cos9cos因此：cxx

8、xxxcxeeieeieeieeiceieieieixeieieieidxxxixixixixixixixixixixixixixixixix2sin4sin216sin318sin41)(21)(41)(61)(818161412121416181cos9cos2244668886422468例 61 讨论级数01)(nnnzz的敛散性。解：因为级数的部份和1)(10.1nnnkkknzzzs当|z| 1 时，1limnns，故级数收敛于 1；当1z时，0limnns，故级数收敛于0；当1z时，nnslim不唯一，故级数发散；当1z，而)0(iez时，zn=c osn + i si nn ，

9、因为 cosn 和 si nn 的极限都不存在， 因此nnslim不存在，级数发散。例 62 求以下级数的收敛半径。（每题 3 分，共 6 分）（1）1)(cos(nnzin解：因为2)cos(nneechnin，而zezinnnn1)cos(lim，因此1)(cos(nnzin的收敛半径为1e。（2）)0,0(1baibaznnnn解：用根值法nnnnnnnnnnnbaibac2/122)(1lim1limlim因为,max2)(,max2/12/122bababannnn，因此,max)(lim2/122babannnn那么，级数)0,0(1baibaznnnn的收敛半径为maxa,b。（

10、3）12)43(nnnzi解：用根值法：225)43(limlimzzicnnnnnnn那么，级数12)43(nnnzi的收敛半径为51（4）1)1(sinnnnzn解：因为0)1(sinlim1nnnnzn，因此1)1(sinnnnzn的收敛半径为。例 63 例 65 计算或讨论以下各式的值，其中z 为复数。（1）02)!2(nnni解：由02)!2(nnnzchz得：1cos)!2(02chininn（2）2)2)(1(nninn解：由zznn110，两边求导得：211)1(1znznn两边再对 z 求导得：322)1(2)1(zznnnn两边同乘以 z2得：32)1(2)1(zzznnnn令2)2(1iiz，代入上式得：32)2(4)2)(1(iinnnn（3）121limnnzzz解：1111112znzzzzzznn当|z|= 1，及 z 1 时，121limnnzzz不存在，因此有1,1111111lim12zzzorzzzzzznn不存在例 70 例 81 判定zze1的孤立奇点的类型，并求其留数。解：由)!211)(!21(221zzzzezz可知0z是其本性奇点。又因为1z次项为!3!21!2111，即01)!1( !1)0,(renzznnes例 83 判定)sin()111(zzshz的奇点类型，并求孤立奇点处的留数。解：