2022年2022年微积分复习资料

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载基本学问复习一. 不定积分1 不定积分概念,第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数 fx与 fx 在区间a、b内有定义,对任意的xa、 b,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'fxfx 或 dfxfx dx ,就称 fx为 fx在a、b 内的一个原函数；假如 fx为函数fx 的一个原函数、称 fx 的原函数全体为fx 的不定积分 、记作fx dxfxc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 不定积分得基本性质1dfxdxfx2；dxf 'x dxfxc精品学

2、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3；afxbgxdxafx dxbgxdx.（ 3）基本不定积分公式表一1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) kdxkxck为常数,x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2x dxc1 、 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1（3） dx xdxln xc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载421xdxarctan xc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) arcsin xc 、1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(6) cos xdxsinxc 、精品学习资料

3、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(7) sinxdxcos xc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx(8) cos2 xsec2xdxtan xc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx(9) sin 2 xcsc2xdxcotxc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(10) sec x tan xdx(11) csc x cot xdxsec xc 、 csc xc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

4、迎下载xa x(12) a dxc、ln a(13) shxdxchxc 、(14) chxdxshxc 、1(15) ch2 x dxthxc、1(16) sh2 xdxcthxc .（3） 第一换元积分法（凑微分法）设 fu具有原函数 、 ux可导 、就有换元公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx'x dxfudu.ux精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 其次换元积分法,分部积分法（1） 其次换元积分法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'设 xt为单调的. 可导的函数 、并且t0 .又设 ft't具有原函数 、精品学习资料精

5、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就有换元公式fx dxft'tdt、t1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中1x为 xt的反函数 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 分部积分法设函数 uux 及 vv x具有连续导数 、那么 、uv 'u' vuv' 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载移项 、得uv'uv 'u ' v.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对这个等式两边求不定积分、得u

6、v 'dxuvu'vdx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个公式称为 分部积分公式.它也可以写成以下形式:udvuvvdu.（3） 基本积分公式表二精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(17) tan xdx（18cot xdxln cosxc, ln sin xc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（19） secxdxln sectan xc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(20) cscxdxln cscxcot xc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx(2

7、1) a2x21 arctan xc、 aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(22) dxdx1 ln xac、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2a2(23) dx2axaarcsin xc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2x2(24) dx x2a2(25) dx x2a2a22lnxxac、 ln xx2a2c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）有理函数的积分,三角函数有理式的积分,某些简洁无理式的积分一. 有理函数的积分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个多项式的商p x称为 有理函数 ,又称为 有理分式

8、.我们总假定分子多项式pxq x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与分母多项式qx之间为没有公因式的. 当分子多项式px的次数小于分母多项式qx 的次数时 、称这有理函数为真分式 、否就称为 假分式 .利用多项式的除法、总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式、 由于多项式的积分简洁求、故我们将重点争论真分式的积分方法.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于真分式pnxqmx、第一将 qmx在实数范畴内进行因式分解、分解的结果不外乎两种精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类型 :一种为kxa、另外一

9、种为x2pxql、其中k、 l 为正整数且p24q0 ; 其次 、根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载据因式分解的结果、将真分式拆成如干个分式之和.详细的做法为:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 qmx分解后含有因式kxa、就和式中对应地含有以下k 个分式之和 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2ka1a2lk、xaxaxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 : a1、l、 ak 为待定常数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 qmx分解后含有因式x2pxql、就和式中对应

10、地含有以下l 个分式之和 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 1xn1m 2 xn 2lm l xn l、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2pxqx22pxqx2pxq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l其中 : m i 、 nii1、2、 l 、 l为待定常数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和、所以、有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二. 可化为有理函数的积分举例精

11、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4求1sin xdx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x 1cos x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解由三角函数知道、 sin x 与 cos x 都可以用 tanx 的有理式表示 、即2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 tan x2 tan x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x2sinxxcos22、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22sec2 x1tan2 x221tan2 x1tan2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos xcos2

12、 xsin 2 x22 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22sec2 x1tan2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如作变换utan x222x、那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x2u、cos x21u、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1u 21u 2而 x2arctan u、 从而4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2dx1u 2于为du .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1sinxdx精品学习资料精选

13、学习资料 - - - 欢迎下载sin x11cos x2u2du精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1u 212u21u 21u 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1u1u21u 21u21du u2uln uc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载221 tan2 xtan x1 ln tan xc.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5求x1 dx.x42222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解设x1u 、于为xu 21、dx2udu、 从而所求积分为精品学习资料精选学习资料 - -

14、 - 欢迎下载x1uu 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xdxu22udu12u21du精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载211du1u22 uarctanuc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x1arctanx1c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6求dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解设 3 x2u 、于为xu32、 dx3u 2du 、 从而所求积分为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx3u2du13 x21u13u1du1u2精品学习资料精

15、选学习资料 - - - 欢迎下载3uuln 1uc3 3x2 233 x23ln 13 x2c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7求dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13 xx5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解设 xt 6 、于为 dx6t 5dt 、 从而所求积分为52精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx6tdt6tdt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13 xx1t 2t 31t 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

16、 欢迎下载611dt1t 26 tarctan tc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载66 xarctan 6xc.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 8求11x xxdx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x解设t 、于为t 2 、 x1、 dx2tdt、从而所求积分为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxt 212t21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

17、- 欢迎下载11x2tt 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dxt 21 tdt2dt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx121t 21dt22t12tln t1ct1t 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2t2lnt1ln t21c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21x x2ln1x1ln xx c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二. 定积分（1） 定积分概念,微积分基本定理,定积分得基本性质（1） 定积分的概念1；定积分的定义定义 定积分 设函数fx 在区间a、b 上有定

18、义 .用分点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax0x1x2lxn 1xnb、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将区间a、b 任意分成 n 个小区间 、小区间的长度为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xixixi 1i1、2、 l、 n 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记maxxi . 在每个小区间xi 1 、 xi上任取一点ixi 1ixi、作乘积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 i n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f

19、ixii1、2、l、 n .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将这些乘积相加、得到和式6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnfii 1xi 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个和称为 函数fx在区间a、b 上的积分和. 令0 、如积分和n 有极限 i 这个值 i精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不依靠于a、 b 的分法以及中间点i 的取法i1、2、l、 n、就称此极限值为fx 在a、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上的定积分 、记作n

20、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ilimfi 0 i 1xfx dx 、ia精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 a 和 b 分别称为 定积分的下限与上限,a、 b 称为 积分区间 .函数的可积性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 1如 fx 在a、b 上连续 、就 fx在a、b 上可积 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 2如 fx 在a、b 上只有有限个间断点、并且有界 、就 fx 在a、 b 上可积 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定积分的几何定义精品学习资料精选

21、学习资料 - - - 欢迎下载在a、 b上 fx0 时 、 我 们 已 经 知 道 、 定 积 分bfx dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yfx.两条直线xa、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积;在a、 b 上 fx0 时、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由曲线 yfx.两条直线xa 、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 、定积分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bfxdx 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; 在aa、 b 上 fx 既取得正值

22、又取得负精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值时 、 函数fx的图形某些部分在x 轴的上方、而其它部分在x 轴下方 . 此时 定积分bfxdx 表示 x 轴上方图形面积减去x 轴下方图形面积所得之差图 4-2.a定积分的基本性质7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为了以后运算及应用便利起见、对定积分做以下两点补充规定:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 当 ab 时、bfxdx0 ;a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当 ab 时、bafx dxfx dx.ab精品学习资料精选学习资料 -

23、 - - 欢迎下载b性质 11dxba.abbb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 2 线性性质 k1 fxk2 gxdxk1fx dxk2gx dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 1bbbfxgxdxfx dxgx dx.a aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 2b bkfx dxkfx dx.a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 3b cbfx dxfx dxfxdx.a

24、ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 4如 ab、fxgx、就bbfx dxgx dx.a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 3如 ab、 fx0 、就bfxdx0.a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b推论 4如 ab、 mfxm 、 就 m bafxdxmba .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 5b bfx dxfxdx ab .aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质

25、 5定积分中值定理（图 4-6）如 fx 在a、b 上连续 、就至少有一点a、 b 、使得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bfx dxfba .a积分上限的函数及其导数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 1假如函数fx在区间a、 b 上连续 、就积分上限的函数xxftdta精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 a、b 上可导 、并且它的导数'xdxdxaftdtfxaxb .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 2假如函数fx在区间a、 b

26、 上连续 、就函数xxftdta精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就为 fx在 a、 b 上的一个原函数.一. 牛顿-莱布尼茨公式8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 3假如函数 fx为连续函数fx在区间a、b 上的一个原函数、就bfx dxfbfa .a通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（1） 定积分的换元积分法与分部积分法fx 在 a、 b 上连续 、作变换 xt、其中t满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) a、b、 且当 t、时、ta、b ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) t在、上具有连续导数、就精品学习资

27、料精选学习资料 - - - 欢迎下载bfx dxfta'tdt.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定积分的分部积分法：uxv'bxdxuxvxavx u 'x dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 28证明 :1. 如 fx 在a、 a 上为连续的偶函数、就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx dxa2 fx dx.0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 如 fx 在

28、a、 a 上为连续的奇函数、就afx dx0.a例 29如 fx在 0、1 上连续 、证明 :(1) 2 fsin x dx2 fcosx dx;00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) xf0sin xdxfsin20x dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 31设 fx为连续的周期函数,周期为t ,证明 :a tt(1) fx dxfx dx;a0a ntt(2) fx dxnfx dx nn.a09精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 9证明 :i2 sin n xdx2 cosn xdxn00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n

29、1n331l、 n为正偶数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn2422精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n-1n3 l42 、 n为正奇数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证:令 xt、 就2nn2 sinnxdx2530ncostdt2 cosxdx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n002当 n2 时、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i2 sinn xdx2 sin n1 xd cosx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos x sinn1 x 22n0

30、01 sinn2 x cos2xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n12 sinn 2 xdxn12 sinnxdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这样 、我们得递推公式:n1 i n 2ni1 i n.n1 i.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn 2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n 为正偶数时 、 i nn1n331li 0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当

31、n 为正奇数时 、 in1n3l32 i .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnn又2431精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1i2 sin0i 02 dx0xdx1、.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故n1n3 l31、 n为正偶数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i nnn2422精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n-1n3 l42 、n为正奇数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn253在一些实际问题中、常会遇到积

32、分区间为无穷区间、或者被积函数为无界函数的积分、它10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反常积分无穷限的反常积分定义 1设函数fx在区间a、上连续 、取 ta 、假如极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在 、就称此极限为 函数 fx 在无穷区间limta、tfxdxa上的反常积分、记作fxdx、 即a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxdxalimttfx dx、a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这时也称反常 积分fxdx 收 敛 ; 假如上述极限不存在、 就函数fx在无穷区间aa、上的反常积

33、分fx dx 就没有意义 、习惯上称为 反常积分fx dx 发散 、这时aa记号fxdx 不再表示数值了.a类似地 、 设函数fx 在区间、b上连续 、取 tb 、假如极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limtbfxdxt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在 、就称此极限为 函数 fx 在无穷区间、 b 上的反常积分、记作bfx dx、 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxdxlimtfx dx、t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

34、料精选学习资料 - - - 欢迎下载这时也称 反常积分bfx dx 收敛 ;假如上述极限不存在、就称 反常积分bfx dx 发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数fx 在区间、上连续 、假如反常积分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0fx dx 和0fxdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载都收敛 、就称上述两反常积分之和为函数fx在无穷区间、上的反常积分、记作fx dx、 即0fx dxfx dxfx dx、0这时也称 反常积分fxdx 收敛 ;否就就称 反常积分fxdx 发散 .上述反常积分统称为无穷限的反常积分.由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式

35、 、可得如下结果.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 fx为 fx 在 a、上的一个原函数、 如 limxfx 存在 、就反常积分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx dxlimfxfa ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 limxfx 不存在 、就反常积分fxdx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如记 flimxfx 、fxffa、 就当 f存在时 、精品学习资料精选学习资料 -

36、 - - 欢迎下载a;fx dxfxa a当 f不存在时 、 反常积分fxdx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类似地 、如在、 b 上 f 'xfx、就当 f存在时 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b bfx dxfx;b当 f不存在时 、 反常积分fx dx 发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如在、内 f 'xfx、就当 f与 f都存在时 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx dxfx;当 f与 f有一个不存在时、 反常积分fx dx 发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 证

37、明反常积分dxa0当 ppax1时收敛 、当 p1 时发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证当 p1 时、dxdxln x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 p1 时 、ax paxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dxx1 p、 p1、1 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax p1paa、 p1. p1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此 、当 p1 时 、这反常积分收敛、其值为

38、a1 p;当 pp11 时、这反常积分发散.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一. 无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.假如函数fx在点 a 的任一邻域内都无界、那么点 a 称为 函数 fx 的瑕点 .无界函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的反常积分又称为瑕积分 .定义 2设函数fx在a、 b 上连续 、点 a 为 fx的瑕点 .取 ta 、假如极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limtabfxdxt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

39、- - - 欢迎下载存在 、就称此极限为 函数 fx 在a、b上的反常积分、仍旧记作bfxdx、 即a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx dxalimtafxdx、t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这时也称 反常积分bfx dx 收敛 ;假如上述极限不存在、就称 反常积分abfx dx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类似地 、 设函数fx在 a、 b 上连续 、点 b 为 fx 的瑕点 .取 tb 、假如极限精品学习资料精选学习资料 - - -

40、 欢迎下载存在 、就定义limtbtfxdxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx dxalimtbfx dx;a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载否就 、就称反常积分bfx dx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数fx 在 a、b 上 除 点 c acb外连续 、点 c 为 fx 的瑕点 .假如两个反常积分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载都收敛 、就定义cfx dx 和abfx dxc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

41、bcbfxdxfx dxfx dx、aac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载否就就称反常积分bfx dx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'运算无界函数的反常积分、也可借助于牛顿-莱布尼茨公式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 xa 为 fx的瑕点 、在分a、 b 上 fxfx 、假如极限limxafx存在 、就反常积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bfxdxfblimfxfbfa;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载axa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

42、下载假如 limxafx 不存在 、就反常积分bfxdx 发散 .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们仍用记号bafx来表示 fbfa、从而形式上仍有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bbfx dxfx;aa对于 fx 在a、 b 上连续 、b 为瑕点的反常积分、也有类似的运算公式、这里不再详述 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b例5证明反常积分adx当0qxaq1 时收敛 、当 q1 时发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载微分方程微分方程的基本概念一般地,凡表示未知函数.未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做 微分方程. 未知函数为一元函数的,叫做 常微分