【精品】解题案例分析-小学

1、先复习上午的内容：1. 三个期望实现了吗？（1）体会三个名词：案例，案例教学与案例研究；数学教学上的案例（课例）：是具有典型意义的教学 过程的描述.创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文 的体裁表示出来.案例教学：是一种通过典型教学过程（课例）的分析 来学习教育理论与教学技能的教学方法.案例研究：在对典型教育事件进行具体描述的基础 上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究 方法，叫做案例研究.（2）参与一个行动：案例分析.（3）带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例 研究.2. 采用讲故事方式有效吗？解题案例分析-小学陕西师范大学数学系罗增儒710062029-853088

2、7213609297766email： zrluo snnu edu cn主题：怎样解题？怎样学会解题？是数学学习中的两个 核心问题，是数学教师的专业制高点.我们要科学把握怎样解题的基本过程，懂得通过解题分析去学会解题.(昨天重在教学案例，今天重在解题案例)两个练习(1) 你认为：什么叫解题？你是怎样学会解题？(2) 某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽 车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过 来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地 的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟.1怎样解题的基本过程1-1什么叫数学解题？1-1-1数学题数学上要求回答或解释的事情，

3、需要研究或解决的矛 盾，称为数学题.对数学家而言，重在第二句话：“需要研究或解决的矛 盾.在数学教学中，重在第一句话：“要求回答或解释的事 情”.内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一 个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、 一个待解决的实际问题等.（特别提醒：构建概念、论证定 理也是解题！）数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件，结 论.“未知的结论” 一方面像空着的位置，需要加以填充， 另一方面又由“已知的条件”客观决定着，构成“已隐蔽地 确定”与''未明显地给出”的统一.这就是教学中的数学题. 1-1-2数学解题解题就是求出数学题的答案，这个答案

4、在数学上也叫做 “解”，这个“解”的重要特征是“沟通条件与结论之间的 联系”，自动包括“沟通联系”中每一步的数学依据，所以 解题有四个要素：条件、结论、解和解题依据.“寻找条件与结论之间的联系”永远是数学解题的思考 中心，这是一个“将已有知识用于新情境”的探索过程、发 现过程.通常是从模仿开始、经过练习、学会发现.一个人拿到题目之后，通过翻看习题集得到了答案（当 然这个答案是正确的），从形式上看他的问题解决了，但这 是一个缺少过程、缺少探索、缺少发现的“结果”，应是一 个不成功的“解题”.我们认为，解题更应像攀登珠穆朗玛 峰、徒步从一个营地跋涉到另一个营地，而不是旅游、坐着 轿车从一个景点玩到

5、另一个景点.1-2数学解题的基本过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程.解题过程不仅 仅是“书写解答”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所 有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理 解题意、思路探求、书写解答、回顾反思.科学把握好这四 个阶段是一种良好的解题习惯.1-2-1理解题意理解题意也叫做审题，（审题审什么？怎么审？）主要 是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目 本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通 起点与目标之间联系的更多信息.特别要抓好审题的“三个 要点、四个步骤”.（1） “三要点”是：要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学 含

6、义如何.首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件 就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件 的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、 哪些数学关系.题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发 解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好 了行进中的加油站.要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何.题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选 择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数 学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解” 题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄 清“求解”（探索）的性质或

7、范围，它们与哪些数学关系、 哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向.题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导 解题方向.弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带 上了纠正偏差的指南针.数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配 的、受实践的目的制导的.要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一 种什么样的结构.即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上， 继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些 联系就表现为题目的结构.为了更接近问题的深层结构，审 题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与 结果的反思.应该是循环往复、不断深化的过程.题目的条件

8、和结论是“怎样解这道题”的两个信息源， 审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的 信息与启示.(2) “4步骤”是: 步骤1:读题一一弄清字面含义.审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读 300400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一 分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系 上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个, 这是读题最实质性的工作.其次要从答题形式、数据要求上 明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求用“定 义”证明，有的题目要求用“数学归纳法”证明，有的题目 要求用数字回答，有的题目要求保留小数点几位等等，如果 不按

9、这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危 险），虽然有的同学并非不会做.步骤2：理解一一弄清数学含义.看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为 实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语 言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取 数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”， 弄清题目的数学含义.这当中，我们常常要“回到定义”、 激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结 论都数学化，并被我们所理解.步骤3：表征一一识别题目类型.信息在大脑的呈现叫做表征.弄清条件、弄清结论的同 时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会 激活相关

10、的数学知识，而且也会调动相关的解题经验.对于 大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存 所现成的一一每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基 本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取 该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）.即使是新的 “陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标， 继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶 段一一拟定计划.解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东 西，并且和他的解题思维联系起来.步骤4：深化一一接近深层结构.简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通, 但有时认识是浅层的.对于变通过的、“形似而质异”的

11、、 或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”.因而, “弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了， 主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续 弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思 路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识 的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结 构.经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予 的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”.题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源， 审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的 信息与启示.思考练习1:请思考下面各题中

12、条件是什么、结论是什么.思考题1李师傅原来加工5300只零件，不合格的有 186只，技术改革后，不合格率是2%,问加工同样的这批零 件，合格的零件增加多少只.（题目的结论求什么？你是怎么求的？参见案例1）思考题2为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政 策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据 “回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？（你们可能见过（或教过）这样的解法，通过“借1还 1”（分牛问题也是“借1还1”）可兑换喝到5瓶矿泉水，于 是，学到了 “借1还1”.但是，你们从数学上想过没有：条 件“3个空瓶可以换1整瓶”的数学实质是什么？数学可不 是魔术.（参见案例2）思考题3某车间两

13、个小组加工同数量的同一种零件， 第一小组5天完成，第二小组4天完成.已知第二小组平均 每天加工480个零件，问第二小组平均每天比第一小组多加 工多少个零件.（条件是什么？结论求什么？参见案例3 ）1-2-2思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法 是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比 较容易解决的问题.可以分两步走：（如图1）完成完成正难则反数形结合t完成i图1（1）努力在已知与未知之间找出直接的联系一一化归 为已经解决过的基本问题.对于大量的常规题来说，题意弄 清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之 即来.（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联

14、系，就对原来的问题作出某 些必要的变更或修改.（运用解题策略：以退求进、区分种 种情况、正难则反、以及自始至终的数形结合等） 以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问 题的一部分，看清楚、想明白了再进.退是手段、进是目的,“难的不会想简单的，是个好主意.在具体实践中，常常是 进退互化.（参见案例2） 区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、 或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决.在 具体实践中，常常是分合并用.（参见案例2） 正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向, 转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反 证法）.在具体实践中，常常是正反相辅.

15、数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结 合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势.（参见案例6）思考练习2：请思考下面各题中的解题思路.思考题4某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟 开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到 乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟？（你认 为这是什么题型？或可以化为什么题型？参见案例4） 思考题5将n（n>2）个同学任意分两组，给两组之间的 每两个同学都拉上一绳子（同一组内的同学不拉绳子），继续 这过程，只要某组的同学数大于l就把这组同学

16、再随意分 成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，直至每组只有1个同学为止.求过程结束时绳子的总数.（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？参见案例5）思考题6请猜一猜:出+*+*+_和会是多少?（数形结合，参见案例6）1-2-3书写解答就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己、说服别人（包括同 意或不同意你看法的人）.这当中可能会有某一步骤因忽视 了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或 触发新的灵感.在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要 系统指导和严格训练的问题.我们建议（1）抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次

17、、选定理、 用文字.（2）把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范.思考练习3：请思考下面各题中的解题思路.思考题7有一组数排列成方阵，如图2所示，试计算这组数的和.1234523456345674567s56789图2(这个数表有一种对称性结构，可以有多种不同的书写，反映出来的思维层次是有区别的，写出你的解法.参见案例7)1-2-4回顾反思有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思， 另一个学会解题层面的回顾反思.(1)解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的.有的检验是解题的必要步骤，检

18、验之后,解题才算完成； 有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关.(2)学会解题层面的回顾反思：表现为解题后对数学 题目本身及解题方法的重新认识.女口，解题中用到了哪些知 识？哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己 是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什 么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法？更一 般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单 的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题 能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体 现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼

19、前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它 的长期积累会升华为数学才华.这是更深层次的回顾反思，已经涉及学会解题了.思考练习4：做完下面各题后，你作过回顾吗?思考题7 （蚂蚁爬行）如图3, 一圆柱体的底面周长为24cm,高ab为4cm, 一只蚂蚁从点a出发沿着圆柱体的表面爬行到c点的最短路程为（你怎么做的？参见案例9）图3思考题8张家和李家共同拥有一块如图4所示的平行四边形田地，田地的中间有一用于灌溉的圆形池塘，现两家想把这块田地平均分配，并且中间的池塘也要平均分配.聪 明的同学你能为他们想个法子吗？（写出你的推广，参见案 例10）这4个步骤需要不断的反馈调节（如图5）,即使4步完

20、成了也存在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过 反馈调节而精简；有时候思路还存在漏洞，通过反馈调节而图52学会解题的案例分析我们认为学解题的关键是学会解题分析，主要包括解题 思路的探求和解题过程的反思.解题思路的探求（§ 1-2-2）, 把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点 展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目 的答案（这是一个认知过程）.而解题过程的反思（§ 1-2-4 的学解题层面），则继续把解题活动（包括题目与初步解法） 作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对 “解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高 思维

21、素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这 是一个再认知过程）.2-1学会解题的四步骤程式回顾笔者从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的30年），我们看到了一条清晰的学解题线路: 由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”, 已经进入到“自觉分析”的阶段.我们将其作为“一个中国 解题者的学习案例”，或“一个中国学习者的解题案例”总 结为学会学解题的四步骤程式：简单模仿、变式练习、自发 领悟、自觉分析.2-1-1简单模仿（1）模仿：通过观察被模仿对象的行为，获得相应的 表象，从而产生类似行为的过程.（2）解题模仿：即模仿着教师或教科书的示范去解决 一些识记性的问题.

22、这是对解题基本模式加以认识并开始积 累的过程.其本身会有体验性的初步理解.学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿 开始，学音乐舞蹈等艺术也都从模仿开始，每节数学课后的 作业基本上都是模仿性练习.（3）记忆：在这一阶段中，记忆是一项重要的内容， 由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好： 记忆的敏捷性（记得快）; 记忆的持久性（记得牢或忘得慢）； 记忆的准确性（记得准）； 记忆的准备性（便于提取）.而要真正做到、做好这4点，还需要进入第2阶段.2-1-2变式练习（1）变式练习的含义：即在简单模仿的基础上迈出主 动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的干扰性 习题，本质上是进

23、行操作性活动与初步应用.（2）变式练习的作用：首先是通过变换方式或添加次 数而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实 践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会.“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国 的数学教育有"变式教学”的优良传统，“变式练习”是这 一传统在解题教学上的重要体现；数学概念具有“过程”与 “对象”的二重性，牢固掌握相应的运作是实现由“过程” 向"对象”转变的必要条件.学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶 段.没有亲身的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”,数学理解就被架空了，模仿和练习应是学生获得本质领悟的基础或必要

24、前提（“熟能生巧”可以找到心理学解释,张奠宙教授说：记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重 复依靠变式）.但是，对学解题而言，更重要的是要跨越模仿和练习而产生领悟.2-1-3自发领悟（1）自发领悟的含义：即在模仿性练习与干扰性练习 的基础上产生理解一一解题知识的内化（包括结构化、网络化 和丰富联系），主要表现为从事实到规律的领悟、从实践到理 论的提升.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁 然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”（默会学 习.（2）领悟的内容：这实际上是一个各人自己去体会 解题思路的探求， 解题能力的提高， 解题策略的形成， 解题模式的提炼，从而获得能力的自身性

25、增长与实质性提高的过程（生成个体 经验）.由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由“双 基”到能力的升华，而这种飞跃或升华又需要一个长期的积 累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在 高原现象）.目前的很多学生就被挡在了这一阶段（停留在 模仿与练习上），很多优秀学生也就停留在这一阶段，我们 自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、 自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题学习还应有 第4阶段.2-1-4自觉分析(1) 反思：就是从自身的认识活动中“脱身”出来， 作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，使自 己的活动成为了思考的对象.(2) 自觉分析的含义

26、：即对解题过程进行自觉的反思, 使理解进入到深层结构.这是一个通过已知学未知、通过分 析"怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个 理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础 到创新、从内隐到外显的飞跃阶段.就是说解题不仅关注“答 案，而且还要 把解答问题看作是设计和发明的目标； 把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程； 提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示(有构建 “数学解题学”的前景).(3) 自觉反思的基本内容： 解题中用到了哪些知识？ 用到了哪些方法？ 这些知识和方法是怎样联系起来的？ 自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什 么？遇到过什么障碍？后

27、来是怎么解决的？是否还有别的 解决方法？更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的 方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的 命题吗？ 命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？ 这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识 和方法体现了什么样的解题策略？ 洞察问题的深层结构了吗？(4) 自觉分析的操作：通常要经历整体分解与信息交 合两个步骤. 整体分解：就是把原解法的全过程分拆为一些信息单 元，看用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起 的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程 等.有两个基本的思考方向.方向1：正面思考.看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟

28、新的解 题通道.这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别 是要从知识链上对知识内容作多角度的理解.看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来 体现简洁美.看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤， 提高整个解题的观点和思维的层次.看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤，以体现解题的奇异美.看解题过程中哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步既可简化过程又可迅速推广.综合、全面看条件与条件、条件与结论之间的联系,洞察问题的深层结构，体现数学的整体性与统一美.还要看到，分析解题过程时，“结论也是己知信息”,这会使我们对题目的认识更加深刻和全面.具体进行时，可以画逻辑结构图、信息过程

29、图来帮助思考.方向厶反面思考.可以使用否定假设法来提出问题.使用否定假设法的步骤是:确定出发点.（已知命题、问题或概念）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性.就所列举的属性进行思考；如果这一属性不是这样的 话，那它可能是什么？依据上述对于各种可能性的分析提出新问题. 信息交合：就是抓住整体分解中提炼出来的新认识或 本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信 息块的有序化，使认识更接近问题的深层结构.于是，一个 新的解法就诞生了，所储存的数学知识之间的非人为的、实 质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了，提炼 解题理论的基础也奠定了.整体分解与信息交合既是收集证据、解释证

30、据，又是随 时报告结果的过程.在人类认识总是不断深化的背景下，解 法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中 间过程.事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向 大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰 富联系准备了基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动 创造性工作的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的 立体结构.这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更 广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本 质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结 构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成 果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成.这就像登上

31、 山顶后居高临下的俯瞰（当然山外还有山），也像是经过黑夜 摸索之后拉开黑房间的电灯，整个境界已焕然一新.如果说, 探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的 话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、 理论提炼性的特征了.2-2学会解题的案例分析解题案例分析的基本框架：选取一个感兴趣的案例；确定一个分析的视角；选择一个分析的方法；进行整体分解与信息交合.2-2-1案例1：合格与不合格的零件李师傅原来加工5300只零件，不合格的有186只,技术改革后，不合格率是2%,问加工同样的这批零件，合 格的零件增加多少只.分析（1）条件是什么？字面上看条件有三个： 零件总数5300只.

32、原来加工水平下的不合格零件总数186只（可算出 不合格率约3. 5%,） 技术改革后，不合格率是2%.（不合格率降低了）（2）结论是什么？字面上看结论一个：求合格的零件增加多少只.（3）沟通条件和结论的联系一一“增加多少”的数学含义是减法：合格零件的增加数二改革后的合格零件数-原来的合格零件数.但是，条件没有出现“合格零件”，所以还要用减法： 合格的零件数=零件总数-不合格的零件数.所以，解题要用到两次减法.思路1从运算上考虑，要求出“合格的零件增加数”,只需求出:( i)现在的合格零件数；5300x(1-2%)(2) 原来的合格零件数；5300-186(3) 作差.5300x(1 2%) (

33、5300 186)解法 15300x(1-2%)-(5300-186)= 5194-5114=80解法 2 5300x(1 2%)-(5300-186)= 186-5300x2%= 186-106=80(我的建议，解题活动不要停止)说明反思这个解题过程可以看到，运算式向我 们揭示了一个内容：合格零件的增加数=不合格零件的减少数.立即可以得出一个更简洁的思路.思路2因为合格零件的增加数等于不合格零件的减少 数，故有186-5300x2%= 186-106=80说明 思路2删除了式中既加上5300,又减去5300 的思维回路，既体现了“内容与方法的统一”，又体现了“解 题教学是解题活动的教学”.暴

34、露数学解题的思维活动有两 个关键过程，其一是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程（我们叫做第一过程的暴露），其二是对初步思路反思 的元认知过程（我们叫做第二过程的暴露），解题教学不仅 要有第一过程的暴露，而且还要有第二过程的暴露，是对思 路1的反思导致了思路2的出现.感悟 这只用到一次减法，重新理解题意“结论是什么”, 认识是不是深入了一步？（理解题意需要循环往复，不是一次完成）2-2-2案例2：空瓶兑换例21为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策:3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据“回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？分析 （1）条件是什么？ 3个空瓶可以换1瓶矿泉水，数学上

35、提供了 “除数”； 现有10瓶矿泉水，数学上提供了 “被除数”；（2）结论是什么？最多还可喝几瓶矿泉水，可分解为三个小问题： 可喝几瓶矿泉水.数学上要求做“除法”； 为了求出“最多”，数学上要求继续做“除法”； 多次“除法”的结果加起来，数学上是“加法”.解法1 分4步完成：第1步，用原有的10个空瓶去换3整瓶矿泉水，剩1个空瓶. 第2步，用4个空瓶去换1整瓶矿泉水，剩1个空瓶.第3步，用2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶, 换一整瓶，喝完后，还空瓶.第4步，最多共可喝3+1+u5瓶.反思分析 这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3 空换1整”的要求.其中最富于智慧的应是第3步，对其作

36、正面思考：第3步的聪明就在于“借一还一”吗？它的实质 是什么？请看下图八八八八i .图6可见，“借一还一”技术表象的实质是：2个空瓶可以换 来一瓶里的“矿泉水”（不包括瓶子）.于是，第3步隐含着 问题的本质，已知条件中“3个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿 泉水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“矿泉水”.分 三步兑换可以合并为1步完成（整体处理）：解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“矿 泉水”，现有10个空瓶，最多可换巴=5瓶里的“矿泉水”.2感悟也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本 质”，但解法1是可以做到的，通过对“初步解法”的分析, 就有机会找回被浪费了的重要信息，获得更接近问

37、题深层结 构的解法一一即使我很笨，我也能学会聪明.并且，一旦抓 住了题目的本质，推广立即就成为可能：例2-2已知a个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿泉水，现有 b整瓶矿泉水，若不再添钱，最多还可以多喝角瓶矿泉水？例23已知5个空矿泉水瓶可以换2整瓶矿泉水.现 有10整瓶矿泉水.若不再添钱，则最多还可喝 = 6几瓶_5-2_矿泉水.例24己知。个空汽水瓶可以换c整瓶矿泉水賄b整矿泉水.若不添钱，则最多还可喝 旦瓶矿泉水.(a, b, a-c为正整数，qc)解 s个空矿泉水瓶可以换c整瓶矿泉水”就是-c个空瓶换c瓶里的水，平均口个空瓶换1瓶里的水，共可换ba-瓶.(学生在解题上的愚笨十有八九不是天生的)2

38、-2-3案例3：多加工多少个零件.某车间两个小组加工同数量的同一种零件，第一小组5天完成，第二小组4天完成.已知第二小组平均每天 加工480个零件，问第二小组平均每天比第一小组多加工多 少个零件.思路1从运算上考虑可以分成三步来完成：(1) 为了求出“第二小组平均每天比第一小组多加工多少个零件”，由于已知“第二小组平均每天加工480个零件”, 故只需求出"第一小组平均每天加工多少个零件”.(2) 为了求出“第一小组平均每天加工多少个零件”， 由于已知“第一小组5天完成”，故只需求出“总加工零件(3) 由“第二小组平均每天加工480个零件，且4天完成”，故可求“总加工零件数”.整个思路

39、就打通了.有解法1480-处= 480-384=96解法2 480_ 480x(5-4)_5吕=96 .但也有学生这样做： 思路2倒= 96.清问：思路为2对不对呢？是偶然巧合还是有必然理由 呢？我们的回答是肯定的.其实，在列式的化简中，已经 出现了式(结论也是已知信息)，已经揭示了题目的深层 结构：把第二小组每天的加工数除以5,就是第二小组平均 每天比第一小组多加工的零件数.(1)直观说明.如图7,让第二小组也干5天，则第二 小组比第一小组多加工了 480个零件，把这480个零件分成 5等分，平均添到第一小组的每一天去，可见每一等分就是 “第二小组平均每天比第一小组多加工的零件数”.（2）算

40、理说明.一般地，设第一小组平均每天加工。个零件，第二小组平均每天加工b个零件&。），有5a = 4b 5（b 一 a） = bdb-a = g,即第二小组平均每天比第一小组多加工2个零件.当心480时 5就是原题.（3）更一般性规律.设第一小组平均每天加工。个零件共加工兀天，第二小组平均每天加工b个零件共加工y天ax = by 二 ax + （x - y）b = bx n b a =x_y = l 时，有 b-d =（4）前一思路更注重形式运算，思维比较具体、平缓,主要表现方法的操作；后一种思路更注意内容转化，表现为 思维比较跳跃的推理，要把两个方向结合起来思考.2-2-1案例4：自行

41、车轮胎例4-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000km后报废，若安装在后轮则彳丁驶3000s后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮 胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少伽？请用多种解法求解.解法1解法2解法3如果你不能求解，没关系，请先做第2题.例42 件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干 前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成， 如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段 一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、 后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？如果你能求解请返回做第1题；如果你也不能求解第2 题，没关系，

42、请先做第3题.例43 件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工 程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（去掉交换的干扰）如果你能求解请返回做第2、1题；如果你不能求解第3 题，请看第4题.一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（再去掉“工程一半”的干扰） 这就是标准的工程问题了.这里的解题设计是化归为基本问题.为了加深理解，我们将例4-1 （自行车问题）与例4-2 （工程问题）列表对比如下（左右两边有“相当于”的对应关系）:例自行车问题例42：工程问题一对自行车轮胎的磨损（感觉磨损有破坏

43、性）一件工程（感觉工程有建设性）磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成件工程）轮胎分为前轮、后轮工程分为前段、后段前轮、后轮磨损量相等（一前段、后段工程量相等（工程平个轮胎的磨损量为定值是隐含条件）均分为前、后两段是u知条件）前轮行驶5000s报废甲工程队干前段5000小时完成后轮行驶3000km报废乙工程队干后段3000小时完成如果行驶一定路程后，交换 前、后轮胎，使一辆自行车 的一对新轮胎同时报废（交 换前、后轮胎好像是实质的， 否则，怎能“使一辆自行车的 一对新轮胎同时报废”？）如果两工程队同时动工，甲工程 队干前段、乙工程队干后段一定 时间后，甲、乙两工程队交换， 使前、后两段同时完工（

44、甲、乙 两工程队交换不交换是非实质 的，使整段工程完工即可）这辆车将能行驶多少s?整个工程儿小时完成？可见，“自行车问题”与"工程问题”有相同的结构.这 样一来，就激活了原有的知识经验，一般性的“工程”模式 就可以具体指导特殊性的“自行车”磨损问题，更反映问题 深层结构的解法也水到渠成.解法1设每个新轮胎报废时的总磨损量为1,则一对 新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的 轮胎每行驶1加的磨损量为丄，安装在后轮的轮胎每行驶5000的磨损量为丄，进而，每对轮胎磨损量为3000丄+占；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同5000 3000时报废最多可行驶”=3750

45、（km）.+5000 3000解法2假设自行车行驶了 15000加，则前轮用了 3个, 后轮用了 5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能 行驶 15000 = 3?50（加）.4（还可以有方程等解法，不赘述）说明 这里的解法1、解法2看上去很不相同，为什么 两个不同的解法都能用来解同一道题呢？差异给我们提供了一个深入领悟解题、深入领悟数学的机会.假设每个新轮胎报废时的总磨损量为s ,则式可列为2ss s5000 + 3000对此，先约去s,再计算，有=3750 ,2s _2s 二 r115000 30005000 3000这就是解法1 若不白白约去,而是让s取5000于与3000的最小公

46、倍数15000,贝i有2s飞=1 5000 30002x1500015000 150001500030002x15000_150004= 3750不仅如此，所有的工程问题宀的计算，都可以用乘以- + -a b恥最小公倍数的办法来处理，其实也是通理通法.停留在表面或获得“答案s会使我们错过一个提高的机会，实在是“进宝山而空还”.继续看例子.（测试是否真看透）例51某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽 车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过 来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地 的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟.解法1设人的速度为v人，公共汽车的速度为，

47、又设 在一个发车间隔的时间里公共汽车走s千米.由“每隔6分 钟开过来一辆到甲地的公共汽车”知，汽车与人相遇（相向 而行，相当于相遇问题）的相对速度为vv车+v人花'由“每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车”知， 汽车超过人（同向而行，相当于追及问题）的相对速度为 1人于是，汽车本身的速度为_lfs s）得发车间隔时间为t=-i6 12二亍二8（分钟）+6 12说明1 请对比、两式，立即可以发现，它们有完 全一样的数学结构耙（工程问题），只有具体数字的微小+ a b差别，当然可以取6与12的最小公倍数来处理，请看解法2. 解法2假设人从甲地出发往乙地走了 12分钟，依题意,其间必有-部

48、公共汽车从他的后面开过来存小然后他立即掉头（掉头时间忽略不计），再走12分钟返回到甲地，依 题意，又必有2部电车与他迎面相遇p = a 于是，在2416 丿分钟的时间内（12 + 12 = 24）从甲地发出了 3部车（1 + 2 = 3）,得发 车间隔为# = 8 （分钟）.说明2为什么例5-1与例4-1有相同的结构呢？我们也 拿一个工程问题（类似于例42）来与例51作比较：5-2 一件工程，甲单独干一半6天完成，乙单独干一半12天完成，甲乙合起来一齐干，整个工程几天完成？ 解 设工程量为s,则甲单独干的工作效率为丄色，乙单2 6独干的工作效率为丄色，甲乙合起来的工作效率为2 12 2（6 1

49、2丿所以，一齐干完全工程所需要的时间为r = = 8 （天）（取 了 s = 12）5 丄 s 2 + 1十6 12例5-1与例5-2列表对照如下（左右两边有“相当于”的对应关系）：例51：发车间隔问题例5-2：工程问题一个发车间隔里的路程为s千米设工程量为s每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车, 汽车与人对向的相对速度为色千米/分甲单独干一半6天完成，甲单独干的工作效率却每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，乙单独干一半12天完成，乙汽车与人同向的相对速度为色千米/分12单独干的工作效率为丄e2 12汽车自己的速度偌)千米/分甲乙合起来的工作效率为1 ( s s ) +2(6 12丿发车间

50、隔时间2s2甲乙合起来完成工程的天 _ 2s25 s11+ +6 126 125 s11+ +6 126 12有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问 题迅速识别，并提取相应的方法加以解决.比如，下述几个 问题都有“工程问题”的共同结构：例6向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙头 12小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？例7有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要6 小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走 甲乙同样的距离需要几小时？例8从甲地到乙地，客车需°小时，货车需b小时，现 两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相 遇？例9某公路由上坡、

51、下坡两个等长的路段组成，已知一 汽车上坡时速度为a千米/小时，下坡时时速度为6千米/小 时，求这部汽车在整段路面上的平均速度.例10妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米.若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米?例11妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米.若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例12如图8,在直线。上平放有3个面积相等的矩形,图8其高分别为2米，3米，6米.现作一 平行于底的直线b,使截得三部分阴影 面积之和恰好等于一个矩形的面积，求 恥之间的距离.2-2-5案例5：从数线段说起例131直线上有"个点

52、人,角，人（q2）,请问，图中有几条线段？这是一个很基本的问题，有多种方法求解.如解法1 （加法）取左端点，将所求的线段分为"-1类:第1类，以£为左端点的线段有“-1条；第2类，以短为左端点的线段有2条； 第-1类，以4-为左端点的线段有1条.相加得线段总数为（”_l） + （”_2） + . + 2 + = "（；j）.条）解法2 （加法）取互不重叠的基本线段有“-1条，由基 本线段相邻2条，相邻3条，相邻-1条组成的线段分别有（-2）,（-3）,2,1条,相加得线段总数为（”_1） + （”_2） + 2 + = "（； 1）.条）解法3 （乘法）

53、线段由两端点组成，取第一个端点有“种 方法，取第二个端点有“-1种方法，相乘有重复，故得线段 总数为丛凹.（条）2评析用加法的思维比较显浅，但依赖于点的位置顺 序，将点放到空间或平面其局限性立即暴露出来.用乘法思 维稍为复杂，但有一般性，就是从“个点取2个点，有也卫2种不同的取法，对应着丛型条线段.有2例13-2平面（或空间）上有"个点（让2）,两 两连一条线段，共有丛口条.2解 平面（或空间）上的刃个点两两连线，每一个点都 与另外“-1个点连线，“个点计算便有”（“-1）条连线，但在这 个计算中，每条线都重复计算了 1次，故得呼i2感悟 这个积累可以作为基本问题，并以此为基础去解决

54、更多的问题.将畑2）个同学任意分成两组，给两组之间的每两个同学都拉上一条绳子（同一组内的同学不拉绳子），继 续这一过程，只要某组的同学数大于1,就把这组同学再随 意分成两组，并给两组之间的每两个同学再拉一条绳子，直 至每组只有1个同学为止.求过程结束时绳子的总数.(1) 探索 特殊化分组，发现结果.对“个同学作(-1)+1分组，用"-1条绳子.对“-1个同学作(-2) + 1分组，用“-2条绳子.依此类推，最后对2个同学作1 + 1分组，用1条绳子. 对这个特殊的分组，绳子的总数为n” =(”_1) + (”_2)+ .+ 2 + ="叮).(条)由此发现，这与“数线段”的

55、结果是一样的.当然，对任 意分组是否成立还需要证明，但是，证明的目标已经有了.(2) 郑;:记得例13-2的求解有一个乘法原理的视角: 每一个点都与另外"-1个点连线，"个点计算便有”("-1)条连 线，但在这个计算中，每条线都重复计算了 1次 故得心.2现在来作类比，点对应着人，连线对应着拉绳子，每一 个点都与另外"-1个点连线对应着每一个人都与另外“-1个 人拉绳子，这样一来，思路应该是通的.(3) 证明将”个同学记为知每人,任取其中1个同 学a (l<z<n),当全体同学被分成两组时，4与另一组中的 每一个同学都拉有绳子，当a所在的组继续分成两小组时，a 又与另一小组中的每一个同学都拉有绳子，依此类推，直至 每组只有1个同学时，4就与a之外的”-1个同学都拉有绳子.令2i,2,n 可得(_1)但在这个计算中，每条绳子都 重复计算了 1次，故得绳子总数为咛条.(4) 感悟 例1