与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

1、与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE = CF，请 你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF = DE证明：连结 DB,DF，设DB, AC交于点0四边形 ABCD为平行四边形AO = 0C, DO = 0B/ AE = FC.A0 - AE = 0C - FC 即 OE 二 OF.四边形EBFD为平行四边形.

2、BF = DEC图1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2,在平行四边形 ABCD 中,对角线AC和BD相交于点0,如果AC = 12,BD =10, AB = m，那么m的取值范围是（）A1 ： m ： 11b2 : m ： 22c10 ： m : 12d5 ： m 6解：将线段 DB沿DC方向平移，使得 DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形在 ACE 中，AC =12,CE = BD =10, AE =2AB =2m.1210 : 2m ： 12 10，即 2 2m ： 22 解得 1 ： m ： 11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平

3、行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 = AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点F.AC2 =AE2 CE2 = AB2 -BE2 (BC -BE)2 =AB2 BC 2 - 2BE BC2 2 2 2 2 222BD = DF 2 BF2 =(CD -CF2) (BC CF) =CD2 BC2 2BC CF则 AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE四边形 ABCD为平行四边形.AB / CD 且 AB 二 CD , AD 二 B

4、C /ABC ZDCF . AEB =. DFC =90° . ABE 三 DCF- BE =CF2 2 2 2 2 2 AC BD 二 AB BC CD DAF第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。FA CDF 也 KAF CE 二 DF 1 = 2J Z1 £3 =90。/2 £3=900 CPB =900,则 KPB =900例4 :已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP二AB证明：延长CF交BA的延长线于点 K四边形 ABCD为正方形 AB / CD 且 AB 二 CD , C

5、D 二 AD , . BAD " BCD D = 90° K又 J . D = DAK = 90°, DF = AF11 AK 二 CD 二 AB/ CECD,DF AD22J BCD 二 D =90° BCE也 CDF AP =AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础 上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于 F，则有AED s . FEC， :FAB s . ：FEC , AED FABFD第六类：把对角线

6、交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,在平行四边形 ABCD中，AN二BN,BEBC , NE3交BD于F，求BF : BD解：连结AC交BD于点0 ,连结ONBD四边形 ABCD为平行四边形 OA = OC,OB =0D =-2,1口1BEBFAN =BN- ON / BC 且 ON 二-BC22ONFO1BEBC BE : ON =2:3 BF23FO3BF 2 BF : BD =1:5BO 5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件

7、。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和 口。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。梯形的辅助线口诀：梯形冋题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出咼。如果出 现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形 问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 常见的几种 辅助线的作法如下：

8、作法图形平移腰，转化 为三角形、平行四 边形。1 P/7Q f H C平移对角线。转化为三角形、平行四边形。A»CB MXcAD延长两腰，转化为三角形。EB C作咼，转化为 直角三角形和矩 形。AdBAcEF C中位线与腰中点连线。刁B二FB < C（一）、平移1、平移一腰:例1.如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90°, AB/ DC； AD= 15, A吐AEB16, BO 17.求 CD的长.解：过点D作DE/ BC交AB于点E.又AB/CD所以四边形BCDE!平行四边形.所以 DE= BO 17, CD= BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得aE=

9、 dE-aD,即卩 aU= 172- 152= 64.所以AE= 8.所以 BE= AB-AE= 16-8 = 8.即 CD= 8.例2如图，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取D M值范围解：过点B作BM/AD交CD于点一在厶 BCM中, BM=AD=,4CM=CD DM=CD AB=8- 3=5,所以BC的取值范围是：5-4<BC<屏 4,即卩 1<BC<92、平移两腰：例 3 如图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B+Z C=90° , AD=1 BC=3 E、F 分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。解：过点E

10、分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得Z EG+Z EHGZ B+Z C=90°则厶EGH是直角三角形因为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点11所以 EF GH (BC - BG -CH ) 2211(BC - AE - DE ) BC -(AE DE )2211(BC _ AD)(3 _1) =1223、平移对角线：例 4、已知：梯形 ABC冲，AD/BC, AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面积.解：如图，作DE/ AC,交BC的延长线于E点.ADH AD/ BC 二四边形ACED是平行四边形 BE=BC+CE=BC+AD=4+

11、,=DE=AC=4BD ED 12BE 二"5在 DBE中, BD=3, DE=4 BE=5S梯形ABCD(AD BC) DH2 - 2作 DHL BC于 H,贝U DH例 5 女口图，在等腰梯形 ABCD中, AD/BC, AD=3 BC=7 BD=52，求证：ACL BDRC解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，贝U DE=BC CE=BD= 2 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=3 7=10。在等腰梯形ABCD中, AC=BD= 2 ,所以在 ACE中, AC2 CE ®2)2 ®2)2=10°=AE

12、2 ,从而ACL CE,于是ACL BD例 6 如图,在梯形 ABCD中, AB/CD , AC=15cr, BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形ABCD勺面积。H C E解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E , 则四边形ACED是平行四边形,即 S.abD =S. ACD 二S.DcES梯形 ABCD = S DBE由勾股定理得EH = . DE? _DH? AC2 -DH2=15 -12 =9( cm)BH 八BD2 DH 2 = ；202 一122 =16( cm)1 1 2S DBE BE DH (916) 12 =150(cm )所以D 22，即梯形ABCD勺面积是15

13、0cm。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 女口图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B=50°,Z C=8C° , AD=2 BC=5 求CD的长。解：延长BA CD交于点E。在厶 BCE中, Z B=50°，/ C=80°。所以/ E=50°,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3例8.如图所示，四边形ABCD中, AD不平行于BC, AO BD, AD= BC.判断B四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD1等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图

14、所示. AO BD AD= BC, A吐 BA DABA CBA.Z DAB=Z CBA. Eg EB.又 AD= BC 二 DE= CE / EDI ECD.而/ E+Z EABZ EBA=Z E+Z EDCbZ ECD= 180 / EDGZ EAB 二 DC/ AB.又AD不平行于BC四边形ABCD是等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9女口图6 ,在直角梯形 ABC冲,AD/BC, AB丄AD, BC=CD BE! CD于点E, 求证：AD=DE解：连结BD,由 AD/BC，得Z ADBZ DBE由 BC=CD 得Z DBCZ BDC 所以Z ADBZ BD

15、E又Z BADZ DEB=90 , BD=BD 所以 Rt BA医 Rt BED 得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一条高例10女口图，在直角梯形 ABC冲，AB/DC,Z ABC=90 , AB=2DC对角线AC丄BD,垂足为F,过点F作EF/AB，交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰 梯形。I证：过点D作DGL AB于点G,则易知四边形DGB（是矩形，所以DC=BG因为AB=2D（所以AG=GB从而 DA=DB 于是/ DAB2 DBA又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCD中 AD/BC, AB=CDZ ABC=60 , AD=3c

16、rp BC=5c求： 腰AB的长； 梯形ABCD勺面积.解:作 AE! BC于 E, DF丄 BC于 F,又；AD/ B(四边形 AEFD是矩形， EF=AD=3cm AB=DC1.BE 二 FC (BC -EF) = 1cm2在 Rt ABE中，/ B=60° , BE=1cm AB=2BE=2cm AE =、3BE =、 3cmc(AD+BCAE ,2S梯形 abcd 4- 3cm2例12如图，在梯形 ABCDK AD为上底，AB>CD求证：BD>AC证：作AE! BC于 E,作DF! BC于F,则易知 AE=DF在 Rt ABE和 Rt DCF中,因为 AB>

17、CD AE=DF所以由勾股定理得BE>CF即BF>CE在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例13如图，在梯形 ABC冲，AB/DC，O是BC的中点，/ AOD=90，求证:AB+ CD=AD1证：取AD的中点E，连接0E则易知0E是梯形ABCD勺中位线，从而0E*（AB+ CD 在厶AOC中，/ AOD=90，AE=DE1 所以OE AD 2由、得AB+ CD=AD2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。S G C例14如图，在梯形 AB

18、CD中, AD/BC，E、F分别是BD AC的中点，求证：1(1) EF/AD; (2) EF (BC - AD)2证：连接DF,并延长交BC于点G,易证 AFDA CFG 贝U AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF> BDG勺中位线1从而 EF/BG，且 EF BG2因为 AD/BG, BG =BC _CG =BC _AD1 所以 EF/AD, EF （BC - AD）23、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例 15、在梯形 ABCD中, AD/ BC， / BAD=90, 和 BE,求/ AEB=N CBE解：分别延长AE与BC，并交于F

19、点vZ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=18&-Z BAD=90E是DC上的中点，连接AEA又 v AD/ BCZ DAEZ F（两直线平行内错角相等）Z AEDZ FEC （对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）F CB ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF中/ FBA=90 且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在厶 FEB中 / EBFW FEB/ AEBW EBF+ / FEB=2/ CBE例16、已知：如图，在梯形ABC冲，AD/BC, AB丄BC E是CD中点，试问:线段AE和BE之间有怎样的大小关系？解：AE=BE理由如下：AD延长AE,与BC延长线交于点F.v DE=CEZ AEDZ CEFZ DAEZ F ADEA FCEA_ 二BCF AE=EF AB丄 BC， 二 BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD中, AD/BC, E 为 DC中点，EF丄 AB于 F 点，AB=3cm EF=5cm求梯形ABCD勺面积.解：如图，过