2013年湖南高考理科数学试题及答案(word版)

1、绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于 【 b 】a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是【 d 】a抽签法 b随机数法 c系统抽样法 d分层抽样法 3. 在锐角中，角a, b所

2、对的边长分别为. 若，则角a等于a b c d 【 d 】 4. 若变量满足约束条件，则的最大值是 【 c 】a b c d 5. 函数的图像与函数的图像的交点个数为 【 b 】a3 b2 c1 d0 6. 已知是单位向量，. 若向量满足，则的取值范围是 a b c d 【 a 】7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于a b c d 【 c 】8. 在等腰直角三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于 a b c d 【 d 】二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分

3、.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9. 在平面直角坐标系中，若直线 (t为参数) 过椭圆 (为参数) 的右顶点，则常数 . 答案: 310. 已知,，则的最小值为 . 答案: 1211. 如图2，在半径为的o中, 弦ab, cd相交于点 p，则圆心o到弦cd的距离为 . 答案: (二) 必做题（12-16题）12. 若，则常数t的值为 . 答案: 313. 执行如图3所示的程序框图，如果输入 ，则输出的的值为 .答案: 914设是双曲线的两个焦点，p是c上一点，若，且的最小内角为，则c的离心率为 . 答案: 15设为数列的前n项和，则（1）_

4、；（2）_.答案: (1) ; (2) 16设函数（1）记集合不能构成三角形的三条边长，且，则 所对应的的零点的取值集合为_.（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） ，使不能构成一个三角形的三条边长； 若为钝角三角形，则使 答案：(1) （2） 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数，.（i）若是第一象限角，且，求的值；（ii）求使成立的x的取值集合。解： （i）由得. 又是第一象限角，所以，从而（ii）等价于，即.于是. 从而，即故使成立的x的取值集合为18（本小题满分12分）某人在如图4

5、所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量y（单位：kg）与它的 “相近” 作物株数x之间的关系如下表所示：x1234y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（i）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率；（ii）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.解：（i）所种作物的总株数n=1+2+3+4+5=15. 其中三角形内部的株数为3,边界上的作物株数为12 从三角形内部和边界上分别随机选取一株的不

6、同结果有3×1236种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好 “相近” 的概率为；（ii）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量y的分布列因为，记为与其“相近”作物恰有k株的作物株数 (k=1, 2, 3, 4)，则 所以由得，；，故所求的分布列为y51484542p 所求的数学期望为19（本小题满分12分）如图5，在直棱柱（i）证明：；（ii）求直线所成角的正弦值。解法（i）如图，因为，所以. 又，所以.而，所以.（ii）因为，所以直线所成角等于直线ad与平面所成角（记为）连结，因为棱柱是直棱柱，且，所

7、以，从而又，所以四边形为正方形，于是故，于是由（i）可知：，所以，故在直角梯形abcd中，因为，所以，从而，故，即 从而易得，即. 连，在中，. 得即直线所成角的正弦值为。解法2. （i）易知ab，ad，两两垂直，如图，以点a为坐标原点，ab，ad，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。设ab=t ，则相关各点坐标为，.从而，.因为，所以，解得或（舍去）于是，又因为，所以，即. （ii）由（i）知，.设是平面的一个法向量，则 ，即令x=1，得。设直线所成角为，则 =.即直线所成角的正弦值为。20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，将从点m出发沿纵、横方向到达点n的任一路径

8、成为m到n的一条“l路径”。如图6所示的路径都是m到n的“l路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xoy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点p处修建一个文化中心。（i）写出点p到居民区a的“l路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（ii）若以原点o为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“l路径”不能进入保护区，请确定点p的位置，使其到三个居民区的“l路径”长度之和最小。解：设点p的坐标为（x，y）. （i）点p到居民区a的“l路径”长度最小值为，。（ii）由题可知，点p到三外居民区的“l路径”长度之和的最小值为点p分别到三个居民区的“l路径”长度最小值之和(记为d)的最小

9、值.(1) 当时，因为 (*)当且仅当x=3时，不等式(*)中的等号成立。 又因为（*）当且仅当时，不等式（*）等号成立.所以，当且仅当x=3时等号成立. 类似可得，当且仅当y=1时等号成立.故当点p位于（3,1）时，p到三个居民区的“l路径”长度之和最小，且最小值为45. (2) 时，由于“l路径”不能进入保护区，所以由（1）知，故 . 综上所述，在点p（3,1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“l路径”长度之和最小.21（本小题满分13分）过抛物线的焦点f作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点a，b，相交于点c，d。以ab，cd为直径的圆m，圆n（m，n为圆心）的公共弦所在

10、的直线记为。（i）若，证明: ；（ii）若点m到直线的距离的最小值为，求抛物线e的方程。解：（i）由题意，抛物线e的焦点f(0, )，直线的方程为.由得 .设a，b两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数解。从而 ， 所以点m的坐标为，同理可得点n的坐标为，.于是由题设，所以.故.（ii）由抛物线的定义得 ，所以，从而圆m的半径故圆m的方程为，化简得.同理可得圆n的方程为.于是圆m，圆n的公共弦所在直线l的方程为.又，则l的方程为.因为p>0，所以点m到直线l的距离 .故当时，d取最小值. 由题设，解得p=8.故所求的抛物线e的方程为.22（本小题满分13分）已知，函数.（i）记求的表达式；（ii）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（i）当时， ；当时，. 因此，当时，f(x)在（0，a）上单调递减；当时，f(x)在上单调递增. 若，则f(x) 在0，4上单调递减， 若，则f(x) 在0，a上单调递减，在（a，4）上单调递增.所以 . 而，故当时，；当时，综上所述，（ii）由（i）可知，若，则f(