线性平稳时间序列模型

1、第三章 线性平稳时间序列模型第一节第一节 时间序列的预处理时间序列的预处理一、平稳性检验一、平稳性检验二、二、纯随机性检验纯随机性检验返回本节首页下一页上一页时间序列的预处理时间序列的预处理返回本节首页下一页上一页时间序列平稳性平稳性检验检验平稳性时间序列非平稳性时间序列纯随机纯随机性检验性检验白噪声序列(纯随机序列)平稳非白噪声序列无规律可循，分析结束arma模型1.确定性分析2.随机性分析（arima模型）一、平稳性检验一、平稳性检验1.平稳性定义（性质）2.平稳性检验的方法3. 应用举例返回本节首页下一页上一页1.平稳性定义知识回顾严平稳严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为

2、只严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。发生变化时，该序列才能被认为平稳。宽平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。列的主要性质近似稳定。 返回本节首页下一页上一页2.平稳性检验方法(1)通过时间序列的趋势

3、图来判断(2)通过自相关函数(acf)判断特征根检验法单位根检验法非参数检验法图检验方法图检验方法返回本节首页下一页上一页图检验（特点）这种方法是通过观察时间序列的趋势图和自相关图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。(1)时序图检验（判断准则）根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及无周期特征(2)自相关图检验（判断准则）平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相平稳序列通常具

4、有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。列的自相关系数会很快地衰减向零。若时间序列的自相关函数在k3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。若序列无趋势若序列无趋势，但是具有季节性但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞12，24，36的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，8，12， )，并且随着时滞的增加变得较小。n若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类

5、似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12， 等处。3.应用举例应用举例例例1 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验1951年年2005年我国居民消费价格指数年我国居民消费价格指数的的平稳性平稳性例例2 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验1990年年1月月1997年年12月我国工业总产值序列的平月我国工业总产值序列的平稳性稳性例例3 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验19491949年年19981998年北京市每年最高气温序列的平稳性年北京市每年最高气温序列的平稳性返回本节首页下一页上一页

6、例例1 居民消费价格指数时序图居民消费价格指数时序图返回例题例例1居民消费价格指数自相关图居民消费价格指数自相关图返回例题例例2 gip时序图时序图返回例题例例2 gip相关图相关图返回例题例例3 北京市最高气温时序图北京市最高气温时序图返回例题例例3 北京市最高气温自相关图北京市最高气温自相关图返回例题二、二、纯随机性检验纯随机性检验 （一）纯随机序列的定义（一）纯随机序列的定义（二）纯随机性的性质（二）纯随机性的性质（三）纯随机性检验（三）纯随机性检验返回本节首页下一页上一页（一）纯随机序列的定义（一）纯随机序列的定义纯随机序列也称为纯随机序列也称为白噪声序列白噪声序列，它满足如，它满足如

7、下两条性质下两条性质 tststststttext, 0,),()2(,) 1 (2并不是所有平稳序列都值得建模！并不是所有平稳序列都值得建模！纯随机序列无法预测，无法进一步建模！纯随机序列无法预测，无法进一步建模！返回本节首页下一页上一页标准正态白噪声序列时序图标准正态白噪声序列时序图 （二）白噪声序列的性质（二）白噪声序列的性质 纯随机性纯随机性 各序列值之间没有任何相关关系，即为各序列值之间没有任何相关关系，即为 “ “没有记忆没有记忆”的序列的序列 方差齐性方差齐性( (平稳平稳) ) 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到

8、的未知参数估计值才是准确的、用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的有效的00k(k)， )0(2tdx返回本节首页下一页上一页（三）纯随机性检验（三）纯随机性检验 1.1.检验原理检验原理2.2.假设条件假设条件3.3.检验统计量检验统计量 4.4.判别原则判别原则5.5.应用举例应用举例返回本节首页下一页上一页1.1.检验原理检验原理: :barlett定理定理 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为观察期数为 的观察序列，那么该序列的的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零

9、，方差为序列观察期数倒数从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布的正态分布0, )1, 0(knnkn返回本节首页下一页上一页2.2.假设条件假设条件原假设：延迟期数小于或等于原假设：延迟期数小于或等于 期的序列期的序列值之间相互独立值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于备择假设：延迟期数小于或等于 期的序期的序列值之间有相关性列值之间有相关性 1, 0210mhm：mkmhk，：至少存在某个1, 01mm返回本节首页下一页上一页3.3.检验统计量检验统计量q统计量统计量 （大样本）（大样本）lb统计量统计量 （小样本）（小样本）)(212mnqmkk)()()2(212mknnnlb

10、mkk返回本节首页下一页上一页4.4.判别原则判别原则拒绝原假设拒绝原假设当检验当检验统计量大于统计量大于 分位点分位点，或该统计量，或该统计量的的p值小于值小于 时时，则可以以，则可以以 的置信水平的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设接受原假设当检验统计量小于当检验统计量小于 分位点，或该统计量分位点，或该统计量的的p值大于值大于 时，则认为在时，则认为在 的置信水平的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定纯随机序列的假定 21( )m121( )m1返回本节首页下一页上一页

11、5.5.应用举例应用举例例4：标准正态白噪声序列纯随机性检验。例3 续 对19491998年北京市最高气温序列做白噪声检验。例5 对1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验。 返回本节首页下一页上一页例例4：标准正态白噪声序列纯随机性检验标准正态白噪声序列纯随机性检验样本自相关图样本自相关图返回例题检验结果检验结果延迟q统计量检验q统计量值p值延迟6期4.34350.63延迟12期14.1710.29由于p值显著大于显著性水平 ，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。返回例题例3 续 对19491998年北京市最高气温序列做白噪声检验。自相关图返回例题例例3

12、续续 白噪声检验结果白噪声检验结果延迟阶数q统计量检验q检验统计量的值p值65.3840.496126.17210.907由于p值显著大于显著性水平 ，所以不能拒绝序列纯随机的原假设。因而可以认为北京市最高气温的变动属于纯随机波动。这说明我们很难根据历史信息预测未来年份的最高气温。返回例题例例5 时序图时序图返回例题例例5自相关图自相关图返回例题例例5 白噪声检验结果白噪声检验结果延迟阶数q统计量检验q检验统计量的值p值665.1510.00011271.773q)无关。三、自回归移动平均模型，arma（p,q）1.自回归移动平均模型的一般形式如果xt即有ar模型特性，又有ma模型的特性，那么

13、它可以用如下的线性模型来描述：qtqtttptptttaaaaxxxx22112211其中：(1)at是白噪声序列是白噪声序列,(2)那么我们就说xt满足自回归移动平均模型，记为arma(p,q)。返回本节首页下一页上一页例如例如arma(2,1)112211tttttaaxxxarma(3,2)2211332211tttttttaaaxxxx 从以上可以看出ar、ma、arma(p,q)等模型均可以看作是 arma(p,p-1) 模型的特例，这为我们提供了一种很好的建模策略，即建模时，可以通过逐渐增加arma(p,p-1) 模型的阶数，逐渐找到最有效的模型。参见课本p41思考：如果思考：如果

14、xt是一个非零均值的平是一个非零均值的平稳时间序列，怎么对其建立模型？稳时间序列，怎么对其建立模型？ptptpttttptpttttttaxxxxaxxxxararmaxxeex21221122111:,)()()()(:0)(其中可以估计如下模型未知若模型的一般形式可写为例如模型建立则可对序列于是设2.arma(p,q)模型的另一种表示方式 用bk表示k步线性推移算子或延迟算子(backward shift operator, delay operator) ,则有)( ,为常数cccbaabxxbkkttkkttk并令： qqppbbbbbbbb22122111那么，arma(p,q)可简

15、写为：ttabxb)( bb,把 看作算子b的多项式，通常假定它们之间不出现公共因子。例如例如 ttttttttabxbbarmaabxmaaxbbaraxbar12211221111:1 , 21:11:21:1四、 求和自回归移动平均模型（arima ,integrated autoregressive moving average model）前面我们讨论的都是对平稳时间序列建立模型。 如果序列xt是非平稳的，那么我们必须对其进行d次差分，把它变为平稳的序列dxt，然后用arma(p,q)作为它的模型，此时就称对原始序列xt建立了arima(p,d,q)模型。其中：p为自回归部分项数，q

16、指移动平均项数d为使序列平稳之前必须对其差分的次数返回本节首页下一页上一页arima(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之转化为平稳序列，然后对平稳序列建立arma(2,2)模型。例如：例如：arima(p,0,q)就相当于arma(p,q)。arima(p,0,0)就相当于ar(p)。arima(0,0,q)就相当于ma(q)。对于一个arima(p,d,q)也可以用推移算子b表示如下 ttdabxbb)()1(其中 tddqqppxbbbbbbbbb)1 (11221221一、时间序列模型的平稳性二、时间序列模型的可逆性三、自回归模型的平稳性条件四、移动平均模型的可逆性条件第四节

17、 arma模型的平稳性和可逆性返回本节首页下一页上一页一、时间序列模型的平稳性（stationarity）平稳性的定义：如果一个时间序列模型可以写成如下形式：2211ttttaaax其中，xt为零均值平稳序列，at为白噪声，且满足条件 就称该模型是平稳的。（上式又称wold展开式）002)1(,jj返回本节首页下一页上一页.,)(000)()(0)(,0222022这是过程平稳的条件因此必须有在由于平稳过程的方差存且可以证明如下结论对于上式jjoikiiakttkajttjjattxxejjxaexvarxe对于一个有限阶的ma(q)模型)0(10122qjqjjjjqiij因为qtqtttt

18、aaaax2211总有：所以，一个有限阶有限阶的ma(q)模型总是平稳的。二、时间序列模型的可逆性 (ivertibility)如果一个时间序列（未必平稳）的模型可以写成如下形式：tttttaxxxx332211其中：at为白噪声，且有那么，就称这个模型是可逆的。 11jj返回本节首页下一页上一页对于一个有限阶的自回归模型ar(p)tptptttaxxxx2211总有：pjjjj1111所以，一个有限阶有限阶的ar(p)模型总是可逆的。自回归表示有助于理解预测机制，box和jenkins证明，在预测时，一个非可逆过程是毫无意义的。一个可逆过程不一定是平稳的，对于一个有限阶的ar(p)模型： 为

19、推移算子其中bbbbbpp2211 ttaxb三、自回归过程的平稳性条件(stationarity condition)它是平稳过程的必要条件是 : 的根都在单位圆外，即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值必须大于1 0b 0b返回本节首页下一页上一页后同这时即为复数时当22,baiba注注 ttabx1移项得推导过程如下由 ttaxb 根据数学知识，上式可以展开为幂级数，即 3322101:)(1bbbbaababxjjtjttt其中根据平稳性的条件有：即级数 必须收敛。而要满足这个条件，则必须有 : 的根都在单位圆外。 02jj 332211bbbb 0b通过上述推导，可以得出如下结论：通过上述推导，可以得